第六章立體幾何初步
§6.1 兩條直線之間的位置關係
一、知識導學
1. 平面的基本性質.公理1：
如果一條直線上的兩點在乙個平面內，那麼這條直線上所有的點都在這個平面內.公理2：如果兩個平面有乙個公共點，那麼它們還有其他公共點，且所有這些公共點的集合是一條過這個公共點的直線.
公理3：經過不在同一條直線上的三點，有且只有乙個平面.推論1：
經過一條直線和這條直線外的一點，，有且只有乙個平面.推論2：經過兩條相交直線，有且只有乙個平面.
推論3：經過兩條平行直線，有且只有乙個平面.
2. 空間兩條直線的位置關係，包括：相交、平行、異面.
3. 公理4：平行於同一條直線的兩條直線平行.
定理4：如果乙個角的兩邊和另乙個角的兩邊分別平行並且方向相同，那麼這兩個角相等.推論：
如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那麼這兩組直線所成的銳角（或直角）相等.
4. 異面直線.異面直線所成的角；兩條異面直線互相垂直的概念；異面直線的公垂線及距離.
5. 反證法.會用反證法證明一些簡單的問題.
二、疑難知識導析
1．異面直線是指不同在任何乙個平面內，沒有公共點.強調任何乙個平面.
2．異面直線所成的角是指經過空間任意一點作兩條分別和異面的兩條直線平行的直線所成的銳角（或直角）.一般通過平移後轉化到三角形中求角，注意角的範圍.
3．異面直線的公垂線要求和兩條異面直線垂直並且相交，
4．異面直線的距離是指夾在兩異面直線之間公垂線段的長度.求兩條異面直線的距離關鍵是找到它們的公垂線.
5．異面直線的證明一般用反證法、異面直線的判定方法：如圖，如果b,a且a,a,則a與b異面.
三、經典例題導講
[例1]在正方體abcd-abcd中,o是底面abcd的中心，m、n分別是稜dd、dc的中點，則直線om( ).
a .是ac和mn的公垂線. b .垂直於ac但不垂直於mn.
c .垂直於mn，但不垂直於ac. d .與ac、mn都不垂直.
錯解:b.
錯因：學生觀察能力較差，找不出三垂線定理中的射影.
正解：a.
[例2]如圖，已知在空間四邊形abcd中,e,f分別是ab,ad的中點，g,h分別是bc,cd上的點,且,求證:直線eg,fh,ac相交於一點.
錯解：證明：、f分別是ab,ad的中點,
∥bd,ef=bd,
又, gh∥bd,gh=bd,
四邊形efgh是梯形，設兩腰eg,fh相交於一點t,
,f分別是與fh交於一點.
直線eg,fh,ac相交於一點
正解：證明：、f分別是ab,ad的中點,
∥bd,ef=bd,
又, gh∥bd,gh=bd,
四邊形efgh是梯形，設兩腰eg,fh相交於一點t,
平面abc,fh平面acd,
t面abc,且t面acd,又平面abc平面acd=ac,
,直線eg,fh,ac相交於一點t.
[例3]判斷：若a,b是兩條異面直線，p為空間任意一點，則過p點有且僅有乙個平面與a,b都平行.
錯解：認為正確.
錯因：空間想像力不夠.忽略p在其中一條線上，或a與p確定平面恰好與b平行，此時就不能過p作平面與a平行.
正解：假命題．
[例4] 如圖，在四邊形abcd中，已知ab∥cd，直線ab，bc，ad，dc分別與平面α相交於點e，g，h，f．求證：e，f，g，h四點必定共線（在同一條直線上）．
分析：先確定乙個平面，然後證明相關直線在這個平面內，最後證明四點共線．
證明 ∵ ab//cd， ab，cd確定乙個平面β．
又∵ab ∩α＝e，abβ， eα，eβ，
即 e為平面α與β的乙個公共點．
同理可證f，g，h均為平面α與β的公共點．
∵ 兩個平面有公共點，它們有且只有一條通過公共點的公共直線，
∴ e，f，g，h四點必定共線．
點評：在立體幾何的問題中，證明若干點共線時，先證明這些點都是某兩平面的公共點，而後得出這些點都在二平面的交線上的結論．
[例5]如圖，已知平面α，β，且α∩β＝．設梯形abcd中，ad∥bc，且abα，cdβ，求證：ab，cd，共點（相交於一點）．
分析：ab，cd是梯形abcd的兩條腰，必定相交於一點m，只要證明m在上，而是兩個平面α，β的交線，因此，只要證明m∈α，且m∈β即可．
證明： ∵ 梯形abcd中，ad∥bc，
∴ab，cd是梯形abcd的兩條腰．
∴ ab，cd必定相交於一點，
設 ab ∩cd＝m．
又∵ abα，cdβ，∴ m∈α，且m∈β．
∴ m∈α∩β．
又∵ α∩β＝，∴ m∈，
即 ab，cd，共點．
點評：證明多條直線共點時，與證明多點共線是一樣的．
[例6]已知：a，b，c，d是不共點且兩兩相交的四條直線，求證：a，b，c，d共面．
分析：弄清楚四條直線不共點且兩兩相交的含義：四條直線不共點，包括有三條直線共點的情況；兩兩相交是指任何兩條直線都相交．在此基礎上，根據平面的性質，確定乙個平面，再證明所有的直線都在這個平面內．
證明 1若當四條直線中有三條相交於一點，不妨設a，b，c相交於一點a ∴ 直線d和a確定乙個平面α．
又設直線d與a，b，c分別相交於e，f，g，
則 a，e，f，g∈α．
∵ a，e∈α，a，e∈a，
∴ aα．
同理可證 bα，cα．
∴ a，b，c，d在同一平面α內．
2當四條直線中任何三條都不共點時，如圖．
∵ 這四條直線兩兩相交，
則設相交直線a，b確定乙個平面α．
設直線c與a，b分別交於點h，k，
則 h，k∈α．
又∵ h，k∈c，∴ cα．
同理可證 dα．
∴ a，b，c，d四條直線在同一平面α內．
點評：證明若干條線(或若干個點)共面的一般步驟是：首先由題給條件中的部分線(或點)確定乙個平面，然後再證明其餘的線(或點)均在這個平面內．本題最容易忽視「三線共點」這一種情況．因此，在分析題意時，應仔細推敲問題中每一句話的含義．
[例7] 在立方體abcd－a1b1c1d1中，
（1）找出平面ac的斜線bd1在平面ac內的射影；
（2）直線bd1和直線ac的位置關係如何？
（3）直線bd1和直線ac所成的角是多少度？
解：(1)鏈結bd, 交ac於點o .
(2)bd1和ac是異面直線.
(3)過o作bd1的平行線交dd1於點m，鏈結ma、mc，則∠moa或其補角即為異面直線ac和bd1所成的角.
不難得到ma＝mc，而o為ac的中點，因此mo⊥ac，即∠moa＝90°，
∴異面直線bd1與ac所成的角為90°.
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