立體幾何初步
1、 柱、錐、臺、球的結構特徵
（1）稜柱：定義：有兩個面互相平行，其餘各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。
分類：以底面多邊形的邊數作為分類的標準分為三稜柱、四稜柱、五稜柱等。
表示：用各頂點字母，如五稜柱或用對角線的端點字母，如五稜柱
幾何特徵：兩底面是對應邊平行的全等多邊形；側面、對角面都是平行四邊形；側稜平行且相等；平行於底面的截面是與底面全等的多邊形。
（2）稜錐
定義：有乙個面是多邊形，其餘各面都是有乙個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體
分類：以底面多邊形的邊數作為分類的標準分為三稜錐、四稜錐、五稜錐等
表示：用各頂點字母，如五稜錐
幾何特徵：側面、對角面都是三角形；平行於底面的截面與底面相似，其相似比等於頂點到截面距離與高的比的平方。
（3）稜臺：定義：用乙個平行於稜錐底面的平面去截稜錐，截面和底面之間的部分
分類：以底面多邊形的邊數作為分類的標準分為三稜態、四稜臺、五稜臺等
表示：用各頂點字母，如五稜臺
幾何特徵：①上下底面是相似的平行多邊形 ②側面是梯形 ③側稜交於原稜錐的頂點
（4）圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉,其餘三邊旋轉所成的曲面所圍成的幾何體
幾何特徵：①底面是全等的圓；②母線與軸平行；③軸與底面圓的半徑垂直；④側面展開圖是乙個矩形。
（5）圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉軸,旋轉一周所成的曲面所圍成的幾何體
幾何特徵：①底面是乙個圓；②母線交於圓錐的頂點；③側面展開圖是乙個扇形。
（6）圓台：定義：用乙個平行於圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分
幾何特徵：①上下底面是兩個圓；②側面母線交於原圓錐的頂點；③側面展開圖是乙個弓形。
（7）球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的幾何體
幾何特徵：①球的截面是圓；②球面上任意一點到球心的距離等於半徑。
2、空間幾何體的三檢視
定義三檢視：正檢視（光線從幾何體的前面向後面正投影）；側檢視（從左向右）、
俯檢視（從上向下）
注：正檢視反映了物體上下、左右的位置關係，即反映了物體的高度和長度；
俯檢視反映了物體左右、前後的位置關係，即反映了物體的長度和寬度；
側檢視反映了物體上下、前後的位置關係，即反映了物體的高度和寬度。
3、空間幾何體的直觀圖——斜二測畫法
斜二測畫法特點：①原來與x軸平行的線段仍然與x平行且長度不變；
②原來與y軸平行的線段仍然與y平行，長度為原來的一半。
4、柱體、錐體、台體的表面積與體積
（1）幾何體的表面積為幾何體各個面的面積的和。
（2）特殊幾何體表面積公式（c為底面周長，h為高，為斜高，l為母線）
（3）柱體、錐體、台體的體積公式
，， ，
（4）球體的表面積和體積公式： ；
5、空間點、直線、平面的位置關係
（1）平面
① 平面的概念： a.描述性說明； b.平面是無限伸展的；
② 平面的表示：通常用希臘字母α、β、γ表示，如平面α（通常寫在乙個銳角內）；
也可以用兩個相對頂點的字母來表示，如平面bc。
③ 點與平面的關係：點a在平面內，記作；點不在平面內，記作
點與直線的關係：點a的直線l上，記作：a∈l； 點a在直線l外，記作al；
直線與平面的關係：直線l在平面α內，記作lα；直線l不在平面α內，記作lα。
（2）公理1：如果一條直線的兩點在乙個平面內，那麼這條直線是所有的點都在這個平面內。
（即直線在平面內，或者平面經過直線）
應用：檢驗桌面是否平； 判斷直線是否在平面內
用符號語言表示公理1：
a∈lb∈l => l α
a∈αb∈
（3）公理2：經過不在同一條直線上的三點，有且只有乙個平面。
推論：一直線和直線外一點確定一平面；兩相交直線確定一平面；兩平行直線確定一平面。
公理2及其推論作用：①它是空間內確定平面的依據 ②它是證明平面重合的依據
符號表示為：
a、b、c三點不共線 => 有且只有乙個平面α，使a∈α、b∈α、c∈α。
（4）公理3：如果兩個不重合的平面有乙個公共點,那麼它們有且只有一條過該點的公共直線
符號：平面α和β相交，交線是a，記作α∩β＝a。
符號語言：
公理3的作用：
①它是判定兩個平面相交的方法。
②它說明兩個平面的交線與兩個平面公共點之間的關係：交線必過公共點。
③它可以判斷點在直線上，即證若干個點共線的重要依據。
（5）公理4：平行於同一條直線的兩條直線互相平行
符號表示為：設a、b、c是三條直線
a∥bc∥b
強調：公理4實質上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質都適用。
公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據。
（6）空間直線與直線之間的位置關係
① 異面直線定義：不同在任何乙個平面內的兩條直線
② 異面直線性質：既不平行，又不相交。
③ 異面直線判定：過平面外一點與平面內一點的直線與平面內不過該店的直線是異面直線
④ 異面直線所成角：直線a、b是異面直線，經過空間任意一點o，分別引直線a』∥a，b』∥b，則把直線a』和b』所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角。兩條異面直線所成角的範圍是（0°，90°]，若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條異面直線互相垂直。
說明：（1）判定空間直線是異面直線方法：①根據異面直線的定義；②異面直線的判定定理
（2）在異面直線所成角定義中，空間一點o是任取的，而和點o的位置無關。
②求異面直線所成角步驟：
a、利用定義構造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點選在特殊的位置上。 b、證明作出的角即為所求角 c、利用三角形來求角
（7）等角定理：如果乙個角的兩邊和另乙個角的兩邊分別平行，那麼這兩角相等或互補。
（8）空間直線與平面之間的位置關係
直線在平面內——有無數個公共點．
三種位置關係的符號表示： aα a∩α＝aa∥α
（9）平面與平面之間的位置關係：平行——沒有公共點；α∥β
相交——有一條公共直線。α∩β＝b
6、空間中的平行問題
（1）直線與平面平行的判定及其性質
線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內一條直線平行,則該直線與此平面平行。
簡記為： 線線平行線面平行
符號表示：
a α
b β => a∥α
a∥b線面平行的性質定理：如果一條直線和乙個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，
那麼這條直線和交線平行。線面平行線線平行
符號表示：
a∥αa>a∥b
α∩β= b
作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。
（2）平面與平面平行的判定及其性質
兩個平面平行的判定定理
（1）如果乙個平面內的兩條相交直線都平行於另乙個平面，那麼這兩個平面平行
（線面平行→面面平行），
符號表示：
a β
b β
a∩b = p =>β∥α
a∥αb∥α
（2）如果在兩個平面內，各有兩組相交直線對應平行，那麼這兩個平面平行。
（線線平行→面面平行），
（3）垂直於同一條直線的兩個平面平行，
兩個平面平行的性質定理
（1）如果兩個平面平行，那麼某乙個平面內的直線與另乙個平面平行。（面面平行→線面平行）
（2）如果兩個平行平面都和第三個平面相交，那麼它們的交線平行。（面面平行→線線平行）
符號表示：
α∥βα∩γ= a =>a∥b
β∩γ= b
作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行
7、空間中的垂直問題
（1）線線、面面、線面垂直的定義
①兩條異面直線的垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，就說這兩條異面直線互相垂直。
②線面垂直：如果一條直線和乙個平面內的任何一條直線垂直，就說這條直線和這個平面垂直。lp
α ③平面和平面垂直：如果兩個平面相交，所成的二面角（從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形）是直二面角（平面角是直角），就說這兩個平面垂直。
（2）垂直關係的判定和性質定理
①線面垂直判定定理和性質定理
判定定理：如果一條直線和乙個平面內的兩條相交直線都垂直，那麼這條直線垂直這個平面。
性質定理：如果兩條直線同垂直於乙個平面，那麼這兩條直線平行。
②面面垂直的判定定理和性質定理
判定定理：如果乙個平面經過另乙個平面的一條垂線，那麼這兩個平面互相垂直。
性質定理：如果兩個平面互相垂直，那麼在乙個平面內垂直於他們的交線的直線垂直於另乙個平面。
8、空間角問題
（1）直線與直線所成的角
①兩平行直線所成的角：規定為。
②兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大於直角的角，叫這兩條直線所成的角。
③兩條異面直線所成的角：過空間任意一點o，分別作與兩條異面直線a，b平行的直線，形成兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大於直角的角叫做兩條異面直線所成的角。
（2）直線和平面所成的角
①平面的平行線與平面所成的角：規定為。 ②平面的垂線與平面所成的角：規定為。
③平面的斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角。
求斜線與平面所成角的思路類似於求異面直線所成角：「一作，二證，三計算」。
在「作角」時依定義關鍵作射影，由射影定義知關鍵在於斜線上一點到面的垂線，
在解題時，注意挖掘題設中兩個主要資訊：（1）斜線上一點到面的垂線；（2）過斜線上的一點或過斜線的平面與已知面垂直，由麵麵垂直性質易得垂線。
（3）二面角和二面角的平面角
①二面角的定義：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的稜，這兩個半平面叫做二面角的面。
高中數學立體幾何
必修21.已知某個幾何體的三檢視如下，根據圖中標出的尺寸 單位 cm 可得這個幾何體的體積是 2.某幾何體的三檢視如圖所示，則該幾何體的體積為 3 如圖,在稜長為a的正方體abcd a1b1c1d1中,e f g分別是cb cd cc1的中點.1 求證 平面ab1d1 平面efg 2 求證 平面aa...
高中數學立體幾何
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高中數學立體幾何總結
考試內容 平面及其基本性質 平面圖形直觀圖的畫法 數學探索版權所有平行直線 對應邊分別平行的角 異面直線所成的角 異面直線的公垂線 異面直線的距離 數學探索版權所有平行平面的判定與性質 平行平面間的距離 二面角及其平面角 兩個平面垂直的判定與性質 數學探索版權所有多面體 正多面體 稜柱 稜錐 球 數...