【原題】在梯形abcd中，∠adc=90°，ab∥dc，ab=1，dc=2，，p為平面abcd外一點，pad是正三角形，且pa⊥ab，
求：（1）平面pbc和平面pad所成二面角的大小；
（2）d點到平面pbc的距離．
【錯誤分析】：本題是乙個無稜二面角的求解問題.確定二面角的稜，進而找出二面角的平面角.
無稜二面角稜的確定有以下三種途徑：①由二面角兩個麵內的兩條相交直線確定稜，②由二面角兩個平面內的兩條平行直線找出稜，③補形構造幾何體發現稜；
【解析】（1）設ad∩bc=e，可知pe是平面pbc和平面pad的交線，依題設條件得pa=ad=ae，則∠epd=90°，pd⊥pe又pa⊥ab，da⊥ab，故ab⊥平面pad．∵ dc∥ab，∴ dc⊥平面pad．由pe⊥pc得pe⊥pd，∠dpc是平面pbc與平面pad所成二面角的平面角．，dc=2，tan，．
（2）由於pe⊥pd，pe⊥pc，故pe⊥平面pdc，因此平面pdc⊥平面pbc，作dh⊥pc，h是垂足，則dh是d到平面pbc的距離．
在rt△pdc中，，dc=2，，．
平面pbc與平面pad成二面角的大小為arctan，d到平面pbc的距離為
【原題】如圖，在四稜錐中，底面四邊長為1的菱形，, , ,m為oa的中點，為的中點
（ⅰ）證明：直線；（ⅱ）求異面直線ab與md所成角的大小；（ⅲ）求點b到平面ocd的距離。
【錯誤分析】：線面平行的證明、異面直線所成的角，點到直線的距離，既可以用綜合方法求解，也可以用向量方法求解，後者較簡便，但新課標地區文科沒學空間向量。
【解析】（1）證明：取ob中點e，連線me，ne
又（2） 為異面直線與所成的角（或其補角）作連線
， 所以與所成角的大小為
（3）點a和點b到平面ocd的距離相等，連線op,過點a作
於點q，
又,線段aq的長就是點a到平面ocd的距離
，，所以點b到平面ocd的距離為
【原題】在直三稜柱中，，，是的中點，是上一點，且．
（1）求證： 平面；
（2）求三稜錐的體積；
（3）試在上找一點，使得平面．
【解析】：為中點
，又直三稜柱中：底面
底面，，平面， 平面．在矩形中：，
， ，即， ，平面；
（2）解： 平面
=； （3）當時，平面．
證明：連，設，連， 為矩形，為中點，為中點，，平面，平面平面．
【易錯點點睛】直線和平面平行的判定定理及性質定理在解題時往往交替使用．證線面平行往往轉化為證線線平行，而證線線平行又將轉化為證線面平行．在應用線面平行的判定與性質定理時，要注意認清條件，另外這兩個定理在證題時往往需要在交替使用，但要注意這種交替不是迴圈，而是步步向前推進的．由已知想性質定理，由結論想判定定理．
【原題】如圖，四邊形abcd是正方形，pb平面abcd， ma平面abcd，pb＝ab＝2ma．求證：
（ⅰ）平面amd∥平面bpc；
（ⅱ）平面pmd平面pbd；
【錯誤分析】：證明面面平行與垂直，是必考題型，解題時要由已知想性質，由求證想判定，即分析法與綜合法相結合尋找證明思路.
【解析】因為pb平面abcd，ma平面abcd，
所以pb∥ma．因pb平面bpc，ma平面bpc，
所以ma∥平面bpc．同理da∥平面bpc，
因為ma平面amd，ad平面amd，
ma∩ad＝a，所以平面amd∥平面bpc．
（2）連線ac，設ac∩bd＝e，取pd中點f，
連線ef，mf． 因abcd為正方形，所以e為bd中點．
因為f為pd中點，所以efpb．
因為ampb，所以amef．所以aefm為平行四邊形．
所以mf∥ae．因為pb平面abcd，ae平面abcd，所以pbae．所以mfpb． 因為abcd為正方形，所以acbd．所以mfbd．所以mf平面pbd．又mf平面pmd．所以平面pmd平面pbd．
【易錯點點睛】在證明兩平面垂直時，一般方法是從現有的直線中尋找平面的垂線；若沒有這樣的直線，則可通過作輔助線來解決，而作輔助線則應有理論根據並且要有利於證明，不能隨意新增，在有平面垂直時，一般要用性質定理，在乙個平面內作交線的垂線，使之轉化為線面垂直，然後再轉化為線線垂直．「線線垂直」、「線面垂直」、「面面垂直」間的轉化是解決這類問題的關鍵．
【原題】.直稜柱中，底面abcd是直角梯形，
∠bad＝∠adc＝90°，．
（ⅰ）求證：ac⊥平面bb1c1c；
（ⅱ）在a1b1上是否存一點p，使得dp與平面bcb1與
平面acb1都平行？證明你的結論．
【錯誤分析】：要從底面、側面、稜(特別是側稜)和截面(對角面及平行於底面的截面)四個方面掌握幾何性質，能應用這些性質研究線面關係．
【解析】（ⅰ） 直稜柱中，bb1⊥平面abcd，
bb1⊥ac． ……2分又∠bad＝∠adc＝90°，，
∴，∠cab＝45°，∴， bc⊥ac．……5分
又，平面bb1c1c， ac⊥平面bb1c1c． …7分
（ⅱ）存在點p，p為a1b1的中點． ………8分
證明：由p為a1b1的中點，有pb1‖ab，且pb1＝ab．………9分
又∵dc‖ab，dc＝ab， dc ∥pb1，且dc＝ pb1，
∴dc pb1為平行四邊形，從而cb1∥dp．……11分
又cb1面acb1，dp面acb1， dp‖面acb1．……13分
同理，dp‖面bcb1．………14分
【原題】如圖，在四稜錐p－abcd中，pa底面abcd,
dab為直角，ab‖cd，ad=cd=2ab, e、f分別為pc、cd的中點.（ⅰ）試證：cd平面bef；（ⅱ）設pa＝k·ab,且二面角e-bd-c的平面角大於,求k的取值範圍.
【錯誤分析】：1.先假設存在，再去推理，下結論： 2.運用推理證明計算得出結論，或先利用條件特例得出結論，然後再根據條件給出證明或計算。
【解析】（ⅰ）證：由已知dfab且dad為直角，故abfd是矩形，從而cdbf.
因此tan∠ehg==由k＞0知是銳角，故要使＞，必須＞tan=解之得，k的取值範圍為k＞
【原題】已知正方體，是底對角線的交點.求證：
(1)面；(2）面．
證明：（1）鏈結，設
鏈結， 是正方體是平行四邊形
且又分別是的中點，且是平行四邊形面，面
面(2)面又
同理可證
又面【原題】已知△bcd中，∠bcd=90°，bc=cd=1，ab⊥平面bcd，∠adb=60°，e、f分別是ac、ad上的動點，且
（ⅰ）求證：不論λ為何值，總有平面bef⊥平面abc；
（ⅱ）當λ為何值時，平面bef⊥平面acd？ (14分)
證明：（ⅰ）∵ab⊥平面bcd， ∴ab⊥cd，
∵cd⊥bc且ab∩bc=b， ∴cd⊥平面abc
又∴不論λ為何值，恒有ef∥cd，∴ef⊥平面abc，ef平面bef,
∴不論λ為何值恒有平面bef⊥平面abc
（ⅱ）由（ⅰ）知，be⊥ef，又平面bef⊥平面acd，
∴be⊥平面acd，∴be⊥ac
∵bc=cd=1，∠bcd=90°，∠adb=60°，
由ab2=ae·ac 得
故當時，平面bef⊥平面acd
小題練習：
1．若乙個幾何體的三檢視都是等腰三角形，則這個幾何體可能是
a．圓錐 b．正四稜錐 c．正三稜錐 d．正三稜臺
2．線段在平面內，則直線與平面的位置關係是
a、 b、 c、由線段的長短而定 d、以上都不對
3．垂直於同一條直線的兩條直線一定
a、平行b、相交 c、異面d、以上都有可能
4．在乙個側置的正三稜錐容器內放入乙個鋼球，鋼球恰與稜錐的四個面都接觸，過稜錐的
一條側稜和高作截面，正確的截面圖形是
abcd
5、下列說法正確的是
a、三點確定乙個平面b、四邊形一定是平面圖形
c、梯形一定是平面圖形 d、平面和平面有不同在一條直線上的三個交點
6、在正方體中，下列幾種說法正確的是
a、 b、 c、與成角 d、與成角
7、下列命題中：（1）、平行於同一直線的兩個平面平行；（2）、平行於同一平面的兩個平面平行；（3）、垂直於同一直線的兩直線平行；（4）、垂直於同一平面的兩直線平行.其中正確的個數有
a、1b、2c、3d、4
8、在空間四邊形各邊上分別取四點，如果與能相交於點，那麼
a、點必在直線上 b、點必在直線bd上
c、點必在平面內d、點必在平面外
9．空間四邊形abcd中，若，則與所成角為
a、 b、 c、 d、
10.平面與平面平行的條件可以是（ ）
a.內有無窮多條直線與平行b.直線a//,a//
c.直線a,直線b,且a//,b// d.內的任何直線都與平行
11.在稜長為1的正方體上，分別用過共頂點的三條稜中點的平面截該正方體,則截去8個三稜錐後,剩下的凸多面體的體積是
abcd、
12.正六稜臺的兩底邊長分別為1cm,2cm,高是1cm,它的側面積為
a． cm2 b． cm2 c． cm2 d．3cm2
13．將一圓形紙片沿半徑剪開為兩個扇形，其圓心角之比為3∶4. 再將它們卷成兩個圓錐側
面，則兩圓錐體積之比為
高中數學專題 立體幾何專題
命題趨向 高考對空間想象能力的考查集中體現在立體幾何試題上，著重考查空間點 線 面的位置關係的判斷及空間角等幾何量的計算 既有以選擇題 填空題形式出現的試題，也有以解答題形式出現的試題 選擇題 填空題大多考查概念辨析 位置關係 空間幾何量的簡單計算求解，考查畫圖 識圖 用圖的能力 解答題一般以簡單幾...
高中數學立體幾何
必修21.已知某個幾何體的三檢視如下，根據圖中標出的尺寸 單位 cm 可得這個幾何體的體積是 2.某幾何體的三檢視如圖所示，則該幾何體的體積為 3 如圖,在稜長為a的正方體abcd a1b1c1d1中,e f g分別是cb cd cc1的中點.1 求證 平面ab1d1 平面efg 2 求證 平面aa...
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立體幾何 一 空間直線，平面之間的關係2011 08 06 一.基礎知識 1.空間直線的關係 空間的兩條直線有三種關係。重點掌握 異面直線所稱的角 異面直線定理 2.空間直線和平面的位置關係有三種關係。其中 和統稱直線在平面外。重點掌握 直線和平面平行的判定定理 性質定理。3.空間兩個平面的位置關係...