平面的基本性質
公理1 如果一條直線上的兩點在乙個平面內，那麼這條直線上所有的點都在這個平面內.
公理2 如果兩個平面有乙個公共點，那麼它們有且只有一條通過這個點的公共直線.
公理3 經過不在同一直線上的三個點，有且只有乙個平面.
根據上面的公理，可得以下推論.
推論1 經過一條直線和這條直線外一點，有且只有乙個平面.
推論2 經過兩條相交直線，有且只有乙個平面.
推論3 經過兩條平行直線，有且只有乙個平面.
空間線面的位置關係
共面平行—沒有公共點
(1)直線與直線相交—有且只有乙個公共點
異面(既不平行，又不相交)
直線在平面內—有無數個公共點
(2)直線和平面直線不在平面內平行—沒有公共點
直線在平面外) 相交—有且只有一公共點
(3)平面與平面相交—有一條公共直線(無數個公共點)
平行—沒有公共點
異面直線的判定
證明兩條直線是異面直線通常採用反證法.
有時也可用定理「平面內一點與平面外一點的連線，與平面內不經過該點的直線是異面直線」.
線面平行與垂直的判定
(1)兩直線平行的判定
①定義：在同乙個平面內，且沒有公共點的兩條直線平行.
②如果一條直線和乙個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那麼這條直線和交線平行，即若a∥α,a β，α∩β=b,則a∥b.
③平行於同一直線的兩直線平行，即若a∥b,b∥c,則a∥c.
④垂直於同一平面的兩直線平行，即若a⊥α，b⊥α，則a∥b
⑤兩平行平面與同乙個平面相交，那麼兩條交線平行，即若b,則a∥b
⑥如果一條直線和兩個相交平面都平行，那麼這條直線與這兩個平面的交線平行，即若α∩β=b,a∥α,a∥β，則a∥b.
(2)兩直線垂直的判定
1.定義：若兩直線成90°角，則這兩直線互相垂直.
2.一條直線與兩條平行直線中的一條垂直，也必與另一條垂直.即若b∥c,a⊥b,則a⊥c
3.一條直線垂直於乙個平面，則垂直於這個平面內的任意一條直線.即若a⊥α,bα，a⊥b.
4.如果一條直線與乙個平面平行，那麼這條直線與這個平面的垂線垂直.即若a∥α,b⊥α,則a⊥b.
5.三個兩兩垂直的平面的交線兩兩垂直，即若且α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c，則a⊥b,b⊥c,c⊥a.
(3)直線與平面平行的判定
①定義：若一條直線和平面沒有公共點，則這直線與這個平面平行.
②如果平面外一條直線和這個平面內的一條直線平行，則這條直線與這個平面平行.即若aα,bα，a∥b,則a∥α.
③兩個平面平行，其中乙個平面內的直線平行於另乙個平面，即若α∥β,lα，則l∥β.
④如果乙個平面和平面外的一條直線都垂直於同一平面，那麼這條直線和這個平面平行.即若α⊥β,l⊥β，lα，則l∥α.
⑤在乙個平面同側的兩個點，如果它們與這個平面的距離相等，那麼過這兩個點的直線與這個平面平行，即若aα，bα，a、b在α同側，且a、b到α等距，則ab∥α.
⑥兩個平行平面外的一條直線與其中乙個平面平行，也與另乙個平面平行，即若α∥β,aα，aβ，a∥α，則α∥β.
⑦如果一條直線與乙個平面垂直，則平面外與這條直線垂直的直線與該平面平行，即若a⊥α,bα，b⊥a，則b∥α.
⑧如果兩條平行直線中的一條平行於乙個平面，那麼另一條也平行於這個平面(或在這個平面內)，即若a∥b,a∥α,b∥α(或bα)
(4)直線與平面垂直的判定
①定義：若一條直線和乙個平面內的任何一條直線垂直，則這條直線和這個平面垂直.
②如果一條直線和乙個平面內的兩條相交直線都垂直，那麼這條直線垂直於這個平面.即若mα，nα，m∩n=b,l⊥m,l⊥n,則l⊥α.
③如果兩條平行線中的一條垂直於乙個平面，那麼另一條也垂直於同一平面.即若l∥a,a⊥α,則l⊥α.
④一條直線垂直於兩個平行平面中的乙個平面，它也垂直於另乙個平面，即若α∥β,l⊥β，則l⊥α.
⑤如果兩個平面互相垂直，那麼在乙個平面內垂直於它們交線的直線垂直於另乙個平面，即若α⊥β,a∩β=α，lβ，l⊥a,則l⊥α.
⑥如果兩個相交平面都垂直於第三個平面，則它們的交線也垂直於第三個平面，即若α⊥γ,β⊥γ,且a∩β=α,則a⊥γ.
(5)兩平面平行的判定
①定義：如果兩個平面沒有公共點，那麼這兩個平面平行，即無公共點α∥β.
②如果乙個平面內有兩條相交直線都平行於另乙個平面，那麼這兩個平面平行，即若a,bα，a∩b=p,a∥β,b∥β,則α∥β.
③垂直於同一直線的兩平面平行.即若α⊥a,β⊥a,則α∥β.
④平行於同一平面的兩平面平行.即若α∥β,β∥γ,則α∥γ.
⑤乙個平面內的兩條直線分別平行於另一平面內的兩條相交直線，則這兩個平面平行，即若a,bα,c,dβ,a∩b=p,a∥c,b∥d,則α∥β.
(6)兩平面垂直的判定
①定義：兩個平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那麼這兩個平面互相垂直，即二面角α－a－β=90°α⊥β.
②如果乙個平面經過另乙個平面的一條垂線，那麼這兩個平面互相垂直，即若l⊥β,lα，則α⊥β.
③乙個平面垂直於兩個平行平面中的乙個，也垂直於另乙個.即若α∥β，α⊥γ，則β⊥γ.
直線在平面內的判定
(1)利用公理1：一直線上不重合的兩點在平面內，則這條直線在平面內.
(2)若兩個平面互相垂直，則經過第乙個平面內的一點垂直於第二個平面的直線在第乙個平面內，即若α⊥β,a∈α，ab⊥β，則abα.
(3)過一點和一條已知直線垂直的所有直線，都在過此點而垂直於已知直線的平面內，即若a∈a,a⊥b，a∈α,b⊥α，則aα.
(4)過平面外一點和該平面平行的直線，都在過此點而與該平面平行的平面內，即若pα，p∈β，β∥α，p∈a,a∥α，則aβ.
(5)如果一條直線與乙個平面平行，那麼過這個平面內一點與這條直線平行的直線必在這個平面內，即若a∥α,a∈α，a∈b,b∥a,則bα.
存在性和唯一性定理
(1)過直線外一點與這條直線平行的直線有且只有一條；
(2)過一點與已知平面垂直的直線有且只有一條；
(3)過平面外一點與這個平面平行的平面有且只有乙個；
(4)與兩條異面直線都垂直相交的直線有且只有一條；
(5)過一點與已知直線垂直的平面有且只有乙個；
(6)過平面的一條斜線且與該平面垂直的平面有且只有乙個；
(7)過兩條異面直線中的一條而與另一條平行的平面有且只有乙個；
(8)過兩條互相垂直的異面直線中的一條而與另一條垂直的平面有且只有乙個.
射影及有關性質
(1)點在平面上的射影自一點向平面引垂線，垂足叫做這點在這個平面上的射影，點的射影還是點.
(2)直線在平面上的射影自直線上的兩個點向平面引垂線，過兩垂足的直線叫做直線在這平面上的射影.
和射影面垂直的直線的射影是乙個點；不與射影面垂直的直線的射影是一條直線.
(3)圖形在平面上的射影乙個平面圖形上所有的點在乙個平面上的射影的集合叫做這個平面圖形在該平面上的射影.
當圖形所在平面與射影面垂直時，射影是一條線段；
當圖形所在平面不與射影面垂直時，射影仍是乙個圖形.
(4)射影的有關性質
從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段中：
(i)射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段也較長；
(ii)相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段的射影也較長；
(iii)垂線段比任何一條斜線段都短.
空間中的各種角
等角定理及其推論
定理若乙個角的兩邊和另乙個角的兩邊分別平行，並且方向相同，則這兩個角相等.
推論若兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，則這兩組直線所成的銳角(或直角)相等.
異面直線所成的角
(1)定義：a、b是兩條異面直線，經過空間任意一點o，分別引直線a′∥a,b′∥b,則a′和b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a和b所成的角.
(2)取值範圍：0°＜θ≤90°.
(3)求解方法
①根據定義，通過平移，找到異面直線所成的角θ；
②解含有θ的三角形，求出角θ的大小.
直線和平面所成的角
(1)定義和平面所成的角有三種：
(i)垂線面所成的角的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角.
(ii)垂線與平面所成的角直線垂直於平面，則它們所成的角是直角.
(iii)一條直線和平面平行，或在平面內，則它們所成的角是0°的角.
(2)取值範圍0°≤θ≤90°
(3)求解方法
①作出斜線在平面上的射影，找到斜線與平面所成的角θ.
②解含θ的三角形，求出其大小.
二面角及二面角的平面角
(1)半平面直線把平面分成兩個部分，每一部分都叫做半平面.
(2)二面角條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的稜，這兩個平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一稜一半平面組成.
若兩個平面相交，則以兩個平面的交線為稜形成四個二面角.
二面角的大小用它的平面角來度量，通常認為二面角的平面角θ的取值範圍是
0°＜θ≤180°
(3)二面角的平面角
①以二面角稜上任意一點為端點，分別在兩個麵內作垂直於稜的射線，這兩條射線所組成的角叫做二面角的平面角.
②二面角的平面角具有下列性質：
(i)二面角的稜垂直於它的平面角所在的平面，即ab⊥平面pcd.
(ii)從二面角的平面角的一邊上任意一點(異於角的頂點)作另一面的垂線，垂足必在平面角的另一邊(或其反向延長線)上.
(iii)二面角的平面角所在的平面與二面角的兩個面都垂直，即平面pcd⊥α，平面pcd⊥β.
③找(或作)二面角的平面角的主要方法.
(i)定義法
(ii)垂面法
(4)求二面角大小的常見方法
①先找(或作)出二面角的平面角θ，再通過解三角形求得θ的值.
②利用面積射影定理
s′=s·cosα
其中s為二面角乙個麵內平面圖形的面積，s′是這個平面圖形在另乙個面上的射影圖形的面積，α為二面角的大小.
③利用異面直線上兩點間的距離公式求二面角的大小.
空間的各種距離
點到平面的距離
(1)定義麵外一點引乙個平面的垂線，這個點和垂足間的距離叫做這個點到這個平面的距離.
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立體幾何 一 平面的基本性質 公理1 如果一條直線上的兩點在乙個平面內，那麼這條直線上所有的點都在這個平面內.公理2 如果兩個平面有乙個公共點，那麼它們有且只有一條通過這個點的公共直線.公理3 經過不在同一直線上的三個點，有且只有乙個平面.根據上面的公理，可得以下推論.推論1 經過一條直線和這條直線...
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4.如果一條直線與乙個平面平行，那麼這條直線與這個平面的垂線垂直.即若a b 則a b.5.三個兩兩垂直的平面的交線兩兩垂直，即若且 a,b,c，則a b,b c,c a.直線與平面平行的判定 定義 若一條直線和平面沒有公共點，則這直線與這個平面平行.如果平面外一條直線和這個平面內的一條直線平行，則...