導數在函式中的應用
楊照宇北京石油附中 100083
一：考試說明要求：
1 利用導數研究函式的單調性(其中多項式函式不超過三次；
2 函式的極值、最值（其中多項式函式不超過三次）
二導數是研究函式單調性的主要工具，尤其是對於非基本函式（如高次，未知函式）的單調性。基本函式可以不用求導。
例題：（1）討論單調區間；
分析：函式的定義域為，，極值點
解：拓展1：有了單調區間，我們可以做什麼？
可以繪製原函式的草圖，對於一些問題我們就可以採取數形結合來解決；還可以求最值極值等問題。比如
1 有兩個交點，求a的範圍；
1）所以只有1個交點，不符合。
2），所以，所以所以
2 分析：因為極值點是改變函式在區間上的單調性，所以我們要討論極值點的位置關係。
1）當a1時，
2）當時，
3）當a>e時，顯然函式上單調遞減，
其最小值為
綜上所述，a的值為
拓展2在與函式最值問題緊密相關的還有一類問題，是恆成立問題。恆成立問題往往是轉化為最值問題來研究。比如這個最值問題，你能改編成一道恆成立問題麼？
3 分析：該問題可以轉化為，所以問題就與②類似。
1）當a1時， 又
2）當時，
3）當a>e時，顯然函式上單調遞減，
其最小值為
綜上所述，a的值為
與之對比出現的還有一類問題：存在性問題。你能把這道題改編為存在性問題麼？
4 分析：該問題轉化為，所以問題就與②③類似。
1）當a1時， 又
2）當時，
3）當a>e時，顯然函式上單調遞減，
其最大值為
綜上所述，a的值為
小結：③④這兩個問題學生容易混淆，可以打乙個比方幫助學生理解。比如：
要想證明該班同學身高全都大於1.6公尺，那我們只需說明最矮的那個同學身高大於1.6公尺即可；要想證明該班同學存在乙個身高大於1.
9公尺的，只需說明班級最高的同學身高大於1.9公尺即可。
5 分析：關注到條件我們就可以發現該題本質上是一類恆成立問題。由於要證明的不等式兩端都有變數，所以我們要先進行變形，，把變數移項到一邊，這樣，問題就轉化為，即轉化為求
在上的最大值即可。
解：令，
總結：從這幾類問題中，我們可以歸納出，無論是最值問題還是恆成立問題，還是存在性問題，還是不等式證明問題，看似五花八門，其實他們的核心問題只有乙個，那就是討論單調區間。所以導數這部分題的要抓住核心問題，就是學會討論函式的單調區間。
教案 導數在研究函式中的應用
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