第3章導數的應用
函式的極值與最值
【教學目的】：
1. 理解函式的極值的概念；
2. 掌握求函式的極值的方法；
3. 了解最大值和最小值的定義；
4. 掌握求函式的最值的方法；
5. 會求簡單實際問題中的最值。
【教學重點】：
1. 函式極值的第一充分條件，第二充分條件；
2. 導數不存在情況下極值的判定；
3. 函式最值的求解方法；
4. 函式的最值的應用。
【教學難點】：
1. 導數不存在情況下極值的判定；
2. 區分函式的駐點、拐點、極值點以及最值點；
3. 區分極值點與極值，最值點與最值；
4. 函式的最值的應用。
【教學時數】：2學時
【教學過程】：
3.3.1函式的極值
從圖3-7可以看出，函式在點、處的函式值、比它們近旁各點的函式值都大；在點、、處的函式值、、比它們近旁各點的函式值都小，因此，給出函式極值的如下定義：
一般地， 設函式在的某鄰域內有定義，若對於鄰域內不同於的所有，均有，則稱是函式的乙個極大值，稱為極大值點；若對於鄰域內不同於的所有，均有，則稱是函式的乙個極小值，稱為極小值點.
函式的極大值與極小值統稱為極值，極大值點和極小值點統稱為極值點.
注意可導函式的極值點必是它的駐點，但反過來是不成立的，即可導函式的駐點不一定是它的極值點.
極值的第一充分條件設函式在點的鄰域內可導且，則
（1）如果當取左側鄰近的值時，；當取右側鄰近的值時，，則為函式的極大值點，為極大值；
（2）如果當取左側鄰近的值時，；當取右側鄰近的值時，，則為函式的極小值點，為極小值；
（3）如果當取左右兩側側鄰近的值時，不改變符號，則函式在處沒有極值.
根據上述定理，求可導函式的極值點和極值的步驟如下：
（1）確定函式的定義域；
（2）求函式的導數，並求出函式的全部駐點以及不可導點；
（3）列表考察每個駐點（及不可導點）左右鄰近的符號情況以及不可導點的情況，根據定理2.12判定極值點和極值.
例2 求函式的極值.
解（1）函式的定義域為；
（2）；
（3）令，得駐點.當時，導數不存在；
（4）列表討論如下：
由上表知，函式的極大值為，極小值為.
極值的第二充分條件設函式在點的鄰域內具有二階導數且，，則
（1）當時，函式在處取得極大值；
（2）當時，函式在處取得極小值.
注意當，且時，則上述方法失效，此時仍用第一充分條件來判定.
3.3.2 函式的最大值與最小值
求函式在閉區間上的最值的步驟如下：
（1）求出函式的導數，並求出所有的駐點及不可導點；
（2）計算函式在這些點和端點處的函式值；
（3）將這些值加以比較，其中最大的為最大值，最小的為最小值.
注意 （1）在求函式的最大值或最小值時，如果已知該函式在某個區間內只有乙個極值點，那麼在包含該極值點的此區間內，極大值就是最大值，極小值就是最小值．
（2）在求函式的最大值或最小值時，如果已知該函式在某個區間內完全單調，則兩個端點即為最值點，兩端點處的函式值較大的為最大值，較小的為最小值。
例6 用一塊邊長為的正方形鐵皮，在其四角各截去一塊面積相等的小正方形，做成無蓋的鐵盒.問截去的小正方形邊長為多少時，做出的鐵盒容積最大？
解設截去的小正方形的邊長為，鐵盒的容積為.根據題意，得
於是，問題歸結為：求為何值時，函式在區間內取得最大值.
令，解得，.
因此，在區間內函式只有乙個駐點，又由問題的實際意義知，函式的最大值在內取得.所以，當時，函式取得最大值.即當所截去的正方形邊長為時，鐵盒的容積為最大.
【教學小節】：
通過本節的學習，學會應用導數求解函式的極值與最值，並能夠解決實際生活中遇到的簡單最值問題。
【課後作業】：無
高等數學第九章多元函式極值典型問題
1 設函式在處取得極值，試求常數a，並確定極值的型別 2 求函式在區域上的最大值和最小值 3 04研 設是由確定的函式，求的極值點和極值 4 求函式在條件 其中 下的條件極值 1 設函式在處取得極值，試求常數a，並確定極值的型別 分析這是二元函式求極值的反問題，即知道取得極值，只需要根據可導函式取得...
高等數學 上冊 總複習題
高等數學a 1 複習題 一 函式與極限 1 判斷下列每個命題是否正確 1 若數列滿足，則數列在的任一鄰域之外 其中 數列中的點至多只有有限多個。2 若數列滿足 且，則。3 設，且，則存在，當時，有。4 若函式的極限存在，則在的任一鄰域內一定有界。5 若函式在處沒有定義，則極限一定不存在。2 設極限 ...
高等數學 上冊 教案17不定積分的概念和性質
第4章不定積分 不定積分的概念和性質 教學目的 1.理解原函式的概念 2.理解不定積分的定義，及幾何意義 3.掌握不定積分的基本公式和性質 4.會用直接積分法計算不定積分。教學重點 1.原函式的概念 2.不定積分的概念及幾何意義 3.不定積分的基本公式和性質。教學難點 1.基本積分公式 2.用直接積...