第4章不定積分
不定積分的概念和性質
【教學目的】：
1. 理解原函式的概念；
2. 理解不定積分的定義，及幾何意義；
3. 掌握不定積分的基本公式和性質；
4. 會用直接積分法計算不定積分。
【教學重點】：
1. 原函式的概念；
2. 不定積分的概念及幾何意義；
3. 不定積分的基本公式和性質。
【教學難點】：
1. 基本積分公式；
2. 用直接積分法計算不定積分。
【教學時數】：2學時
【教學過程】：
4.1.1原函式與不定積分
定義1 如果在區間i上，可導函式的導數為，即或（），那麼函式就稱為(或)在區間i上的原函式．
如果有乙個原函式，那麼就有無窮多個原函式．
設是的另乙個原函式，則任意的，有．於是
所以(為某個常數)這表明與只差乙個常數．因此當為任意常數時，表示式就可以表示的全體原函式，也就是說，的全體原函式所組成的集合，即函式族．
定義2 如果是在某區間上的乙個原函式，那麼（為任意常數）稱為在該區間上的不定積分．即=．其中符號稱為積分號，稱為被積函式，稱為被積表示式，稱為積分變數．
由上面的討論可知，若是的乙個原函式，那麼=（為任意常數）．因此，求函式的不定積分，只需求出被積函式的乙個原函式再加上積分常數，求不定積分的方法稱為積分法．
從不定積分的定義，即可知不定積分與微分(求導)互為逆運算：
由於是的原函式，所以或．
又由於是的原函式，所以．
由此可見微分運算(以記號表示)與求不定積分的運算(簡稱積分運算以記號表示)是互逆的，記號與一起時或者抵消，或者抵消後差一常數．
例3 求．
解當時，由於，所以是在內的乙個原函式，因此在內，有 ．
當時，由於，所以是在內的乙個原函式，因此在內 ．
把以上結果綜合起來，得 ．
4.1.2不定積分的幾何意義
因為不定積分=是的原函式的一般表示式，所以它對應的圖形是一族積分曲線，稱它為積分曲線族．
積分曲線族有如下特點：
（1）積分曲線族中任意一條積分曲線都可以由曲線沿軸方向上、下平移得到；
（2）由於，即橫座標相同的點處，所有曲線的切線都是互相平行的．
4.1.3基本積分公式表
（1）（為常數）； （2）；
（3）； （4），；
（56）；
（7）；（8）；
（9）； （10）；
（11）； （12）．
4.1.4不定積分的性質
性質1 設函式的原函式存在，則
．性質2 設函式的原函式存在，為非零常數，則．
例6 求．
解 注意到被積函式中是冪函式，和是指數函式，而是常數，它們的積分公式是不同的．
【教學小節】：
通過本節的學習，理解原函式、不定積分的概念及幾何意義，熟記基本積分公式，掌握不定積分性質並學會使用直接積分法計算不定積分。
【課後作業】：無
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