直線和圓的位置關係
教學目標
(一)教學知識點
1．理解直線與圓有相交、相切、相離三種位置關係．2．了解切線的概念，探索切線與過切點的直徑之間的關係．
(二)能力訓練要求
1．經歷探索直線與圓位置關係的過程，培養學生的探索能力．2．通過觀察得出「圓心到直線的距離d和半徑r的數量關係」與「直線和圓的位置關係」的對應與等價，從而實現位置關係與數量關係的相互轉化．
(三)情感與價值觀要求
通過探索直線與圓的位置關係的過程，體驗數學活動充滿著探索與創造，感受數學的嚴謹性以及數學結論的確定性．在數學學習活動中獲得成功的體驗，鍛鍊克服困難的意志，建立自信心．
教學重點
經歷探索直線與圓位置關係的過程．理解直線與圓的三種位置關係．了解切線的概念以及切線的性質．
教學難點：經歷探索直線與圓的位置關係的過程，歸納總結出直線與圓的三種位置關係．探索圓的切線的性質．
教學過程
ⅰ．創設問題情境，引入新課
[師]我們在前面學過點和圓的位置關係，請大家回憶它們的位置關係有哪些？
[生]圓是平面上到定點的距離等於定長的所有點組成的圖形．即圓上的點到圓心的距離等於半徑；圓的內部到圓心的距離小於半徑；圓的外部到圓心的距離大於半徑．因此點和圓的位置關係有三種，即點在圓上、點在圓內和點在圓外．也可以把點與圓心的距離和半徑作比較，若距離大於半徑在圓外，等於半徑在圓上，小於半徑在圓內．
[師]本節課我們將模擬地學習直線和圓的位置關係．
ⅱ．新課講解
1．複習點到直線的距離的定義
[生]從已知點向已知直線作垂線，已知點與垂足之間的線段的長度叫做這個點到這條直線的距離．
如圖，c為直線ab外一點，從c向ab引垂線，d為垂足，則線段cd即為點c到直線ab的距離．
2．探索直線與圓的三種位置關係
[師]直線和圓的位置關係，我們在現實生活中隨處可見，只要大家注意觀察，這樣的例子是很多的．如大家請看課本113頁，觀察圖中的三幅**，地平線和太陽的位置關係怎樣？作乙個圓，把直尺的邊緣看成一條直線，固定圓，平移直尺，直線和圓有幾種位置關係？
[生]把太陽看作圓，地平線看作直線，則直線和圓有三種位置關係；把直尺的邊緣看成一條直線，則直線和圓有三種位置關係．
[師]從上面的舉例中，大家能否得出結論，直線和圓的位置關係有幾種呢？
[生]有三種位置關係：
[師]直線和圓有三種位置關係，如下圖：
它們分別是相交、相切、相離．
當直線與圓相切時(即直線和圓有唯一公共點)，這條直線叫做圓的切線(tangent line)．
當直線與圓有兩個公共點時，叫做直線和圓相交．
當直線與圓沒有公共點時，叫做直線和圓相離．
因此，從直線與圓有公共點的個數可以斷定是哪一種位置關係，你能總結嗎？
[生]當直線與圓有唯一公共點時，這時直線與圓相切；
當直線與圓有兩個公共點時，這時直線與圓相交；
當直線與圓沒有公共點時，這時直線與圓相離．
[師]能否根據點和圓的位置關係，點到圓心的距離d和半徑r作比較，類似地推導出如何用點到直線的距離d和半徑r之間的關係來確定三種位置關係呢？
[生]如上圖中，圓心o到直線l的距離為d，圓的半徑為r，當直線與圓相交時，d＜r；當直線與圓相切時，d＝r；當直線與圓相離時，d＞r，因此可以用d與r間的大小關係斷定直線與圓的位置關係．
[師]由此可知：判斷直線與圓的位置關係有兩種方法．一種是從直線與圓的公共點的個數來斷定；一種是用d與r的大小關係來斷定．
投影片(§3．5．1a)
(1)從公共點的個數來判斷：
直線與圓有兩個公共點時，直線與圓相交；直線與圓有唯一公共點時，直線與圓相切；直線與圓沒有公共點時，直線與圓相離．
(2)從點到直線的距離d與半徑r的大小關係來判斷：
d＜r時，直線與圓相交；
d＝r時，直線與圓相切；
d＞r時，直線與圓相離．
投影片(§3．5．1b)
[例1]已知rt△abc的斜邊ab＝8cm，ac＝4cm．
(1)以點c為圓心作圓，當半徑為多長時，ab與⊙c相切？
(2)以點c為圓心，分別以2cm和4cm的長為半徑作兩個圓，這兩個圓與ab分別有怎樣的位置關係？
分析：根據d與r間的數量關係可知：
d＝r時，相切；d＜r時，相交；d＞r時，相離．
解：(1)如上圖，過點c作ab的垂線段cd．
∵ac＝4cm，ab＝8cm；
∴cosa＝，
∴∠a＝60°．
∴cd＝acsina＝4sin60°＝2 (cm)．
因此，當半徑長為2cm時，ab與⊙c相切．
(2)由(1)可知，圓心c到ab的距離d＝2cm，所以，當r＝2cm時，d＞r，⊙c與ab相離；
當r＝4cm時，d＜r，⊙c與ab相交．
3．議一議(投影片§3．5．1c)
(1)你能舉出生活中直線與圓相交、相切、相離的例項嗎？
(2)上圖(1)中的三個圖形是軸對稱圖形嗎？如果是，你能畫出它們的對稱軸嗎？
(3)如圖(2)，直線cd與⊙o相切於點a，直徑ab與直線cd有怎樣的位置關係？說一說你的理由．
對於(3)，小穎和小亮都認為直徑ab垂直於cd．你同意他們的觀點嗎？
[師]請大家發表自己的想法．
[生](1)把乙隻筷子放在碗上，把碗看作圓，筷子看作直線，這時直線與圓相交；
自行車的輪胎在地面上滾動，車輪為圓，地平線為直線，這時直線與圓相切；
雜技團中騎自行車走鋼絲中的自行車車輪為圓，地平線為直線，這時直線與圓相離．
(2)圖(1)中的三個圖形是軸對稱圖形．因為沿著d所在的直線摺疊，直線兩旁的部分都能完全重合．對稱軸是d所在的直線，即過圓心o且與直線l垂直的直線．
(3)所謂兩條直線的位置關係，即為相交或平行，相交又分垂直和斜交，直線cd與⊙o相切於點a，直徑ab與直線cd垂直，因為圖(2)是軸對稱圖形，ab是對稱軸，所以沿ab對折圖形時，ac與ad重合，因此∠bac＝∠bad＝90°．
[師]因為直線cd與⊙o相切於點a，直徑ab與直線cd垂直，直線cd是⊙o的切線，因此有圓的切線垂直於過切點的直徑．
這是圓的切線的性質，下面我們來證明這個結論．
在圖(2)中，ab與cd要麼垂直，要麼不垂直．假設ab與cd不垂直，過點o作一條直徑垂直於cd、垂足為m，則om＜oa，即圓心o到直線cd的距離小於⊙o的半徑，因此cd與⊙o相交，這與已知條件「直線cd與⊙o相切」相矛盾，所以ab與cd垂直．
這種證明方法叫反證法，反證法的步驟為第一步假設結論不成立；第二步是由結論不成立推出和已知條件或定理相矛盾．第三步是肯定假設錯誤，故結論成立．
ⅲ．課堂練習
隨堂練習
ⅳ．課時小結
本節課學習了如下內容：
1．直線與圓的三種位置關係．
(1)從公共點數來判斷．
(2)從d與r間的數量關係來判斷．
2．圓的切線的性質：圓的切線垂直於過切點的半徑．
3．例題講解．
ⅴ．課後作業
習題3．7
ⅵ．活動與**
如下圖，a城氣象台測得颱風中心在a城正西方向300千公尺的b處，並以每小時10千公尺的速度向北偏東60°的bf方向移動，距颱風中心200千公尺的範圍是受颱風影響的區域．
(1)a城是否會受到這次颱風的影響？為什麼？
(2)若a城受到這次颱風的影響，試計算a城遭受這次颱風影響的時間有多長？
分析：因為颱風影響的範圍可以看成以颱風中心為圓心，半徑為200千公尺的圓，a城能否受到影響，即比較a到直線bf的距離d與半徑200千公尺的大小．若d＞200，則無影響，若d≤200，則有影響．
解：(1)過a作ac⊥bf於c．
在rt△abc中，∵∠cba＝30°，ba＝300，
∴ac＝absin30°＝300×＝150(千公尺)．
∵ac＜200，∴a城受到這次颱風的影響．
(2)設bf上d、e兩點到a的距離為200千公尺，則颱風中心**段de上時，對a城均有影響，而在de以外時，對a城沒有影響．
∵ac＝150，ad＝ae＝200，
∴dc＝．
∴de＝2dc＝100．
∴t＝＝10(小時)．
答：a城受影響的時間為10小時．
人教版九年級上冊《24 2 2直線和圓的位置關係 2 》教案
直線和圓的位置關係 2 教學目標 一 教學知識點 1 能判定一條直線是否為圓的切線 2 會過圓上一點畫圓的切線 3 會作三角形的內切圓 二 能力訓練要求 1 通過判定一條直線是否為圓的切線，訓練學生的推理判斷能力 2 會過圓上一點畫圓的切線，訓練學生的作圖能力 三 情感與價值觀要求 經歷觀察 實驗 ...
九年級數學上冊
第二十四章圓 測試1 圓 學習要求 理解圓的有關概念，掌握圓和弧的表示方法，掌握同圓的半徑相等這一性質 課堂學習檢測 一 基礎知識填空 1 在乙個 內，線段oa繞它固定的乙個端點o 另乙個端點a所形成的 叫做圓 這個固定的端點o叫做 線段oa叫做 以o點為圓心的圓記作 讀作 2 戰國時期的 墨經 中...
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