競賽講座09－圓
基礎知識
如果沒有圓，平面幾何將黯然失色．
圓是一種特殊的幾何圖形，應當掌握圓的基本性質，垂線定理，直線與圓的位置關係，和圓有關的角，切線長定理，圓冪定理，圓和圓的位置關係，多邊形與圓的位置關係．
圓的幾何問題不是獨立的，它與直線形結合起來，將構成許多豐富多彩的、漂亮的幾何問題，「三角形的心」，「幾何著名的幾何定理」，「共圓、共線、共點」，「直線形」 將構成圓的綜合問題的基礎．
本部分著重研究下面幾個問題：
1．角的相等及其和、差、倍、分；
2．線段的相等及其和、差、倍、分；
3．二直線的平行、垂直；
4．線段的比例式或等積式；
5．直線與圓相切；
6．競賽數學中幾何命題的等價性．
命題分析
例1．已知為平面上兩個半徑不等的⊙和⊙的乙個交點，兩圓的外公切線分別為，、分別為、的中點，求證：．
例2．證明：唯一存在三邊長為連續整數且有乙個角為另乙個角的兩倍的三角形．
例3．延長至，以為直徑作半圓，圓心為，是半圓上一點，為銳角．**段上，在半圓上，∥，且，∥．求證：．
例4．求證：若乙個圓外切四邊形有兩條對邊相等，則圓心到另外兩邊的距離相等．
例5．設是△中最小的內角，點和將這個三角形的外接圓分成兩段弧，是落在不含的那段弧上且不等於與的乙個點，線段和的垂直平分線分別交線段於和，直線和相交於．證明：．
例6．菱形的內切圓與各邊分別切於，在與上分別作⊙切線交於，交於，交於，交於，求證：∥．
例7．⊙和⊙與△的三邊所在直線都相切，為切點，並且的延長線交於點．求證：直線與垂直．
例8．在圓中，兩條弦相交於點，為弦上嚴格在、之間的點．過的圓在點的切線分別交直線、於．已知，求（用表示）．
例9．設點和是△的邊上的兩點，使得．又設和分別是△、△的內切圓與的切點．求證：．
例10．設△滿足，，過作△外接圓的切線，交直線於，設關於直線的對稱點為，由到所作垂線的垂足為，的中點為，交於點，證明直線為△外接圓的切線．
例11．兩個圓和被包含在圓內，且分別現圓相切於兩個不同的點和．經過的圓心．經過和的兩個交點的直線與相交於點和，直線和直線分別與相交於點和．求證：與相切．
例12．已知兩個半徑不相等的⊙和⊙相交於、兩點，且⊙、⊙分別與⊙內切於、兩點．求證：的充要條件是、、三點共線．
例13．在凸四邊形中，與不平行，⊙過、且與邊相切於點，⊙過、且與邊相切於點．⊙和⊙相交於、，求證：平分線段的充要條件是∥．
例14．設凸四邊形的兩條對角線與互相垂直，且兩對邊與不平行．點為線段與的垂直平分線的交點，且在四邊形的內部．求證：、、、四點共圓的充要條件為．
訓練題1．△內接於⊙，，過、兩點⊙的切線交於，為的中點，求證：（1）；（2）．
2．已知分別是△外接圓上不包含的弧的中點，分別和、相交於、兩點，分別和、相交於、兩點，分別和、相交於、兩點．求證：的充要條件是△為等邊三角形．
3．以△的邊為直徑作半圓，與、分別交於點和，過、作的垂線，垂足分別為、．線段、交於點．求證：．
4．在△中，已知內的旁切圓與相切於，內的旁切圓與相切於，過和的中點和作一直線，求證：直線平分△的周長，且與的平分線平行．
5．在△中，已知，過該三角形的內心作直線平行於交於．在邊上取點使得．求證：．
6．半圓圓心為，直徑為，一直線交半圓於，交於（）．設是△與△的外接圓除點外之另一交點．求證：為直角 ．
7．已知，是銳角△的角平分線，，，且．求證：．
8．為△的邊上任一點，分別為△、△、△的內切圓半徑；分別為這三個三角形的旁切圓半徑（在內部）．
求證：．
9．設是△的邊上的乙個內點，交△外接圓於，、是分別到和的垂足，是直徑為的圓．證明：與⊙相切當且僅當．
10．若是圓的弦，是的中點，過任意作弦和，連分別交於，則．
11．設為△的垂心，為該三角形外接圓上的一點，是高的垂足，並設與都是平行四邊形，與交於．證明：∥．
12．在△中，的平分線分別交及三角形的外接圓於和，是內切圓圓心．證明：（1）；（2）．
九年級數學上冊
第二十四章圓 測試1 圓 學習要求 理解圓的有關概念，掌握圓和弧的表示方法，掌握同圓的半徑相等這一性質 課堂學習檢測 一 基礎知識填空 1 在乙個 內，線段oa繞它固定的乙個端點o 另乙個端點a所形成的 叫做圓 這個固定的端點o叫做 線段oa叫做 以o點為圓心的圓記作 讀作 2 戰國時期的 墨經 中...
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