1．函式的單調性
(1)單調函式的定義
(2)單調區間的定義：
若函式y＝f(x)在區間d上是增函式或減函式，則稱函式y＝f(x)在這一區間具有(嚴格的)單調性，區間d叫作函式y＝f(x)的單調區間．
2．函式的最值
[難點正本疑點清源]
1．函式的單調性是區域性性質
函式的單調性，從定義上看，是指函式在定義域的某個子區間上的單調性，是區域性的特徵．在某個區間上單調，在整個定義域上不一定單調．
2．函式的單調區間的求法
函式的單調區間是函式定義域的子區間，所以求解函式的單調區間，必須先求出函式的定義域．對於基本初等函式的單調區間可以直接利用已知結論求解，如二次函式、對數函式、指數函式等；
如果是復合函式，應根據復合函式的單調性的判斷方法，首先判斷兩個簡單函式的單調性，再根據「同則增，異則減」的法則求解函式的單調區間．
3．單調區間的表示
單調區間只能用區間表示，不能用集合或不等式表示；如有多個單調區間應分別寫，不能用並集符號「∪」聯結，也不能用「或」聯結．
4.單調性判斷方法： 1.定義 2.影象 3.復合函式理論
注：證明函式的單調性用定義法的步驟：取值—作差—變形—確定符號—下結論。
1．若函式f(x)＝|2x＋a|的單調遞增區間是[3，＋∞)，則a
2．函式f(x)＝log5(2x＋1)的單調增區間是
3．(課本改編題)函式f(x)＝在[1,2]的最大值和最小值分別是
4．已知函式y＝f(x)在r上是減函式，a(0，－2)、b(－3,2)在其影象上，則不等式－25．如果函式f(x)＝ax2＋2x－3在區間(－∞，4)上是單調遞增的，則實數a的取值範圍是( )
a．a>b．a≥－
c．－≤a<0d．－≤a≤0
答案 (1) －6 (2) (3)，1 (4) (－3,0) (5) d
題型一函式單調性的判斷
例1 試討論函式f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的單調性．
思維啟迪：可利用定義或影象法討論函式的單調性．(也可分類常數)
解設－1當a>0時，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函式f(x)在(－1,1)上遞減；
當a<0時，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)(1)已知a>0，函式f(x)＝x＋(x>0)，證明函式f(x)在(0，]上是減函式，在[，＋∞)上是增函式；
(2)求函式y＝的單調區間．
答案(1)證明 （略）(2)y＝的單調減區間為(－∞，－3]，單調增區間為[2，＋∞)．
題型二利用函式單調性求引數
例2 若函式f(x)＝在(－∞，－1)上是減函式，求實數a的取值範圍．
思維啟迪：利用函式的單調性求引數的取值範圍，解題思路為視引數為已知數，依據函式的影象或單調性定義，確定函式的單調區間，與已知單調區間比較求參．
答案 a的取值範圍是(－∞，－1)．
**提高已知函式的單調性確定引數的值或範圍，可以通過解不等式或轉化為不等式恆成立問題求解；需注意的是，若函式在區間[a，b]上是單調的，則該函式在此區間的任意子集上也是單調的．
(1)若函式f(x)＝(2a－1)x＋b是r上的減函式，則a的取值範圍為
(2)函式y＝在(－1，＋∞)上單調遞增，則a的取值範圍是( )
a．a＝－3b．a<3
c．a≤－3d．a≥－3
答案 (1) (2)c
題型三利用函式的單調性求最值
例3 已知函式f(x)對於任意x，y∈r，總有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且當x>0時，f(x)<0，f(1)＝－.
(1)求證：f(x)在r上是減函式；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．
思維啟迪：問題(1)對於抽象函式的問題要根據題設及所求的結論來適當取特殊值，證明f(x)為單調減函式的首選方法是用單調性的定義來證．問題(2)用函式的單調性即可求最值．
**提高對於抽象函式的單調性的判斷仍然要緊扣單調性的定義，結合題目所給性質和相應的條件，對任意x1，x2在所給區間內比較f(x1)－f(x2)與0的大小，或與1的大小．有時根據需要，需作適當的變形：如x1＝x2·或x1＝x2＋x1－x2等；利用函式單調性可以求函式最值．
已知定義在區間(0，＋∞)上的函式f(x)滿足f＝f(x1)－f(x2)，且當x>1時，f(x)<0.
(1)求f(1)的值；
(2)判斷f(x)的單調性；
(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．
忽視函式的定義域
典例：1(10分)求函式y＝log (x2－3x)的單調區間．
2設函式是奇函式（、、都是整數），
且，.（1）求、、的值；
（2）當，的單調性如何？用單調性定義證明你的結論；
溫馨提醒函式的單調區間是函式定義域的子區間，所以求解函式的單調區間，必須先求出函式的定義域．如果是復合函式，應該根據復合函式單調性的判斷方法，首先判斷兩個簡單函式的單調性，根據同增異減的法則求解函式的單調區間．由於思維定勢的原因，容易忽視定義域，導致錯誤．
函式的單調性與最值
典例：(12分)函式f(x)對任意的m、n∈r，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，並且x>0時，恒有f(x)>1.
(1)求證：f(x)在r上是增函式；
(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)<2.
審題視角 (1)對於抽象函式的單調性的證明，只能用定義．應該構造出f(x2)－f(x1)並與0比較大小．(2)將函式不等式中的抽象函式符號「f」運用單調性「去掉」是本小題的切入點．要構造出f(m)規範解答
(1)證明設x10，
∵當x>0時，f(x)>1，∴f(x2－x1)>1.[2分]
f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，[4分]
∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0f(x1)∴f(x)在r上為增函式．[6分]
解函式不等式問題的一般步驟：
第一步：確定函式f(x)在給定區間上的單調性；
第二步：將函式不等式轉化為f(m)第三步：運用函式的單調性「去掉」函式的抽象符號「f」，
轉化成一般的不等式或不等式組；
第四步：解不等式或不等式組確定解集；
第五步：反思回顧．檢視關鍵點，易錯點及解題規範．
溫馨提醒本題對函式的單調性的判斷是乙個關鍵點．不會運用條件x>0時，f(x)>1.構造不出f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1的形式，找不到問題的突破口．第二個關鍵應該是將不等式化為f(m)方法與技巧
1． 可以根據定義判斷或證明函式的單調性．
2． 求函式的單調區間：
首先應注意函式的定義域，函式的單調區間都是其定義域的子集；其次掌握一次函式、二次函式等基本初等函式的單調區間．常用方法：根據定義，利用影象和單調函式的性質；利用導數的性質．
函式的單調性與最值
1 函式的單調性 1 單調函式的定義 2 單調區間的定義 如果函式y f x 在區間d上是增函式或減函式，那麼就說函式y f x 在這一區間具有 嚴格的 單調性，區間d叫做y f x 的單調區間 2 函式的最值 思考辨析 判斷下面結論是否正確 請在括號中打 或 1 在增函式與減函式的定義中，可以把 ...
函式的單調性與最值
1 函式的單調性 1 單調函式的定義 2,單調性性質。點一函式單調性的判定及證明 1.判斷函式的單調性並證明你的結論 2.已知a 0，函式f x x x 0 證明函式f x 在 0，上是減函式，在 上是增函式 練習 下列函式中，在上單調遞增的是 a b c d3.已知函式 1 作出其圖象 2 由圖象...
第5講函式的單調性與最值
2014跳出題海 高考數學總複習高分攻略 第5講函式的單調性與最值 時間 45分鐘分值 100分 1 下列函式中，滿足 對任意x1，x2 0，當x1f x2 的是 a f x b f x x 1 2 c f x ex d f x ln x 1 2 函式f x 1 在 3，4 上 a 有最小值無最大值...