馬麗君（集寧師範學院數學系）
我們知道，一元函式在點取得極值的充分條件是：函式在點處具有一階二階連續導數，是駐點，即。若，則為的極小值點（或極大值點）
對於多元函式，其中，有與上面一元函式取得極值的充分條件相對應的結論。
定義1.設元函式，其中，對各自變數具有一階連續偏導數，則稱
為的梯度，記作。
引理設元函式，其中，對各自變數具有一階連續偏導數，則在點取得極值的必要條件是：
證明：引理成立是顯然的，即極值點函式可導，則該點的偏導數等於零。
定義2.設元函式，對各自變數具有二階連續偏導數，是的駐點，現定義在點處的矩陣為：由於各二階偏導數連續，即，所以為實對稱矩陣。
定理設元函式，其中，具有對各自變數的二階連續偏導數，是的駐點，則
（1） 當正定時，是的極小值點；
（2） 當負定時，是的極大值點；
（3） 當不定時，不是的極大值點
證明：由在點處的泰勒公式
其中，是其中，比高階的無窮小
對於駐點，由引理結果，則上述泰勒展開式又可寫為：
由此可見，當正定時，在點的某去心鄰域內就有，
多元函式的極值
例1 求函式在條件下的極值。解令得1 又2 3 由 1 得 當時得，故得，代入 2 3 式得 解得穩定點，由對稱性得，也是穩定點。下面用幾種不同的方法判別穩定點是否極值點。1 通過判別最值來求極值 注意約束集為單位圓，是有界閉集，故在其上必有最大 小 值，且最值必在穩定點達到。比較穩定點的函式值 最...
關於多元函式的極值和最值計算
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1 2函式的極值
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函式的極值問題
姓名 毋秀花 qq 632570262 郵箱 詳細位址 焦作市第六中學 郵編 454171 從2012高考透析函式極值問題 焦作市第六中學毋秀花 函式貫穿了高中數學教學的始終，在高中數學教學中占有非常重要的地位.函式極值是函式的乙個重要性質，是歷年高考的乙個高頻知識點，高考是如何考查函式極值這個知識...
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