時間120分鐘，滿分150分。
一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．(2010·全國ⅱ文，7)若曲線y＝x2＋ax＋b在點(0，b)處的切線方程是x－y＋1＝0，則( )
a．a＝1，b＝1
b．a＝－1，b＝1
c．a＝1，b＝－1
d．a＝－1，b＝－1
[答案] a
[解析] y′＝2x＋a，∴y′|x＝0＝(2x＋a)|x＝0＝a＝1，
將(0，b)代入切線方程得b＝1.
2．一物體的運動方程為s＝2tsint＋t，則它的速度方程為( )
a．v＝2sint＋2tcost＋1
b．v＝2sint＋2tcost
c．v＝2sint
d．v＝2sint＋2cost＋1
[答案] a
[解析] 因為變速運動在t0的瞬時速度就是路程函式y＝s(t)在t0的導數，s′＝2sint＋2tcost＋1，故選a.
3．曲線y＝x2＋3x在點a(2,10)處的切線的斜率是( )
a．4b．5c．6
d．7[答案] d
[解析] 由導數的幾何意義知，曲線y＝x2＋3x在點a(2,10)處的切線的斜率就是函式y＝x2＋3x在x＝2時的導數，y′|x＝2＝7，故選d.
4．函式y＝x|x(x－3)|＋1( )
a．極大值為f(2)＝5，極小值為f(0)＝1
b．極大值為f(2)＝5，極小值為f(3)＝1
c．極大值為f(2)＝5，極小值為f(0)＝f(3)＝1
d．極大值為f(2)＝5，極小值為f(3)＝1，f(－1)＝－3
[答案] b
[解析] y＝x|x(x－3)|＋1
＝∴y′＝
x變化時，f′(x)，f(x)變化情況如下表：
∴f(x)極大＝f(2)＝5，f(x)極小＝f(3)＝1
故應選b.
5．(2009·安徽理，9)已知函式f(x)在r上滿足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，則曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程是( )
a．y＝2x－1
b．y＝x
c．y＝3x－2
d．y＝－2x＋3
[答案] a
[解析] 本題考查函式解析式的求法、導數的幾何意義及直線方程的點斜式．
∵f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，
∴f(2－x)＝2f(x)－x2－4x＋4，
∴f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，
∴曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線斜率為2，切線方程為y－1＝2(x－1)，∴y＝2x－1.
6．函式f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3時取得極值，則a等於( )
a．2b．3c．4
d．5[答案] d
[解析] f′(x)＝3x2＋2ax＋3，
∵f(x)在x＝－3時取得極值，
∴x＝－3是方程3x2＋2ax＋3＝0的根，
∴a＝5，故選d.
7．設f(x)，g(x)分別是定義在r上的奇函式和偶函式．當x<0時，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，則不等式f(x)g(x)<0的解集是( )
a．(－3,0)∪(3，＋∞)
b．(－3,0)∪(0,3)
c．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
d．(－∞，－3)∪(0,3)
[答案] d
[解析] 令f(x)＝f(x)·g(x)，易知f(x)為奇函式，又當x<0時，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，即f′(x)>0，知f(x)在(－∞，0)內單調遞增，又f(x)為奇函式，所以f(x)在(0，＋∞)內也單調遞增，且由奇函式知f(0)＝0，∴f(0)＝0.
又由g(－3)＝0，知g(3)＝0
∴f(－3)＝0，進而f(3)＝0
於是f(x)＝f(x)g(x)的大致圖象如圖所示
∴f(x)＝f(x)·g(x)<0的解集為(－∞，－3)∪(0,3)，故應選d.
8．下面四圖都是同一座標系中某三次函式及其導函式的圖象，其中一定不正確的序號是( )
a．①②
b．③④
c．①③
d．①④
[答案] b
[解析] ③不正確；導函式過原點，但三次函式在x＝0不存在極值；④不正確；三次函式先增後減再增，而導函式先負後正再負．故應選b.
9．(2010·湖南理，5) dx等於( )
a．－2ln2
b．2ln2
c．－ln2
d．ln2
[答案] d
[解析] 因為(lnx)′＝，
所以dx＝lnx|＝ln4－ln2＝ln2.
10．已知三次函式f(x)＝x3－(4m－1)x2＋(15m2－2m－7)x＋2在x∈(－∞，＋∞)是增函式，則m的取值範圍是( )
a．m<2或m>4
b．－4c．2d．以上皆不正確
[答案] d
[解析] f′(x)＝x2－2(4m－1)x＋15m2－2m－7，
由題意得x2－2(4m－1)x＋15m2－2m－7≥0恆成立，∴δ＝4(4m－1)2－4(15m2－2m－7)
＝64m2－32m＋4－60m2＋8m＋28
＝4(m2－6m＋8)≤0，
∴2≤m≤4，故選d.
11．已知f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在區間[－1,2]上是減函式，那麼b＋c( )
a．有最大值
b．有最大值－
c．有最小值
d．有最小值－
[答案] b
[解析] 由題意f′(x)＝3x2＋2bx＋c在[－1,2]上，f′(x)≤0恆成立．所以即
令b＋c＝z，b＝－c＋z，如圖
過a得z最大，
最大值為b＋c＝－6－＝－.故應選b.
12．設f(x)、g(x)是定義域為r的恆大於0的可導函式，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，則當aa．f(x)g(x)>f(b)g(b)
b．f(x)g(a)>f(a)g(x)
c．f(x)g(b)>f(b)g(x)
d．f(x)g(x)>f(a)g(x)
[答案] c
[解析] 令f(x)＝
則f′(x)＝<0
f(x)、g(x)是定義域為r恆大於零的實數
∴f(x)在r上為遞減函式，
當x∈(a，b)時， >
∴f(x)g(b)>f(b)g(x)．故應選c.
二、填空題(本大題共4個小題，每小題4分，共16分．將正確答案填在題中橫線上)
13[答案]
[解析] 取f(x)＝－，
從而f′(x)＝
則＝f(－1)－f(－2)
＝－＋＝－＝.
14．若函式f(x)＝的單調增區間為(0，＋∞)，則實數a的取值範圍是________．
[答案] a≥0
[解析] f′(x)＝′＝a＋，
由題意得，a＋≥0，對x∈(0，＋∞)恆成立，
∴a≥－，x∈(0，＋∞)恆成立，∴a≥0.
15．(2009·陝西理，16)設曲線y＝xn＋1(n∈n*)在點(1,1)處的切線與x軸的交點的橫座標為xn，令an＝lgxn，則a1＋a2＋…＋a99的值為________．
[答案] －2
[解析] 本小題主要考查導數的幾何意義和對數函式的有關性質．
k＝y′|x＝1＝n＋1，
∴切線l：y－1＝(n＋1)(x－1)，
令y＝0，x＝，∴an＝lg，
∴原式＝lg＋lg＋…＋lg
＝lg××…×＝lg＝－2.
16．如圖陰影部分是由曲線y＝，y2＝x與直線x＝2，y＝0圍成，則其面積為________．
[答案] ＋ln2
[解析] 由，得交點a(1,1)
由得交點b.
故所求面積s＝dx＋dx
＝x＋lnx＝＋ln2.
三、解答題(本大題共6個小題，共74分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17．(本題滿分12分)(2010·江西理，19)設函式f(x)＝lnx＋ln(2－x)＋ax(a>0)．
(1)當a＝1時，求f(x)的單調區間；
(2)若f(x)在(0,1]上的最大值為，求a的值．
[解析] 函式f(x)的定義域為(0,2)，
f ′(x)＝－＋a，
(1)當a＝1時，f ′(x)＝，所以f(x)的單調遞增區間為(0，)，單調遞減區間為(，2)；
(2)當x∈(0,1]時，f ′(x)＝＋a>0，
即f(x)在(0,1]上單調遞增，故f(x)在(0,1]上的最大值為f(1)＝a，因此a＝.
18．(本題滿分12分)求曲線y＝2x－x2，y＝2x2－4x所圍成圖形的面積．
[解析] 由得x1＝0，x2＝2.
由圖可知，所求圖形的面積為s＝(2x－x2)dx＋| (2x2－4x)dx|＝(2x－x2)dx－(2x2－4x)dx.
因為′＝2x－x2，
′＝2x2－4x，
所以s＝－＝4.
19．(本題滿分12分)設函式f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)．
(1)若曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處與直線y＝8相切，求a，b的值；
(2)求函式f(x)的單調區間與極值點．
[分析] 考查利用導數研究函式的單調性，極值點的性質，以及分類討論思想．
[解析] (1)f′(x)＝3x2－3a.
因為曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處與直線y＝8相切，
所以即解得a＝4，b＝24.
(2)f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)．
當a<0時，f′(x)>0，函式f(x)在(－∞，＋∞)上單調遞增，此時函式f(x)沒有極值點．
當a>0時，由f′(x)＝0得x＝±.
當x∈(－∞，－)時，f′(x)>0，函式f(x)單調遞增；
當x∈(－，)時，f′(x)<0，函式f(x)單調遞減；
當x∈(，＋∞)時，f′(x)>0，函式f(x)單調遞增．
此時x＝－是f(x)的極大值點，x＝是f(x)的極小值點．
20．(本題滿分12分)已知函式f(x)＝x2＋lnx.
(1)求函式f(x)的單調區間；
(2)求證：當x>1時， x2＋lnx[解析] (1)依題意知函式的定義域為，
∵f′(x)＝x＋，故f′(x)>0，
∴f(x)的單調增區間為(0，＋∞)．
(2)設g(x)＝x3－x2－lnx，
∴g′(x)＝2x2－x－，
∵當x>1時，g′(x)＝>0，
∴g(x)在(1，＋∞)上為增函式，
∴g(x)>g(1)＝>0，
∴當x>1時， x2＋lnx21．(本題滿分12分)設函式f(x)＝x3－x2＋6x－a.
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