（1）了解指數函式模型的實際背景.
（2）理解有理指數冪的含義，了解實數指數冪的意義，掌握冪的運算.
（3）理解指數函式的概念，理解指數函式的單調性，掌握指數函式圖象通過的特殊點.
（4）知道指數函式是一類重要的函式模型.
一、指數與指數冪的運算
1．根式
（1）次方根的概念與性質
（2）根式的概念與性質
【注】速記口訣：
正數開方要分清，根指奇偶大不同，
根指為奇根乙個，根指為偶雙胞生．
負數只有奇次根，算術方根零或正，
正數若求偶次根，符號相反值相同．
負數開方要慎重，根指為奇才可行，
根指為偶無意義，零取方根仍為零．
2．實數指數冪
（1）分數指數冪
①我們規定正數的正分數指數冪的意義是.
於是，在條件下，根式都可以寫成分數指數冪的形式.
②正數的負分數指數冪的意義與負整數指數冪的意義相仿，我們規定且
.③0的正分數指數冪等於0，0的負分數指數冪沒有意義.
（2）有理數指數冪
規定了分數指數冪的意義之後，指數的概念就從整數指數冪推廣到了有理數指數.整數指數冪的運算性質對於有理數指數冪也同樣適用，即對於任意有理數，均有下面的運算性質：
①；②；
③.（3）無理數指數冪
對於無理數指數冪，我們可以從有理數指數冪來理解，由於無理數是無限不迴圈小數，因此可以取無理數的不足近似值和過剩近似值來無限逼近它，最後我們也可得出無理數指數冪是乙個確定的實數.
一般地，無理數指數冪是乙個確定的實數.有理數指數冪的運算性質同樣適用於無理數指數冪.
二、指數函式的圖象與性質
1．指數函式的概念
一般地，函式叫做指數函式，其中是自變數，函式的定義域是.
【注】指數函式的結構特徵：
(1)底數：大於零且不等於1的常數；
(2)指數：僅有自變數x；
(3)係數：ax的係數是1.
2．指數函式的圖象與性質
【注】速記口訣：
指數增減要看清，抓住底數不放鬆；
反正底數大於0，不等於1已表明；
底數若是大於1，圖象從下往上增；
底數0到1之間，圖象從上往下減；
無論函式增和減，圖象都過(0,1)點．
3．有關指數型函式的性質
(1)求復合函式的定義域與值域
形如的函式的定義域就是的定義域．
求形如的函式的值域，應先求出的值域，再由單調性求出的值域．若a的範圍不確定，則需對a進行討論．
求形如的函式的值域，要先求出的值域，再結合的性質確定出的值域．
(2)判斷復合函式的單調性
令u=f(x)，x∈m，n]，如果復合的兩個函式與的單調性相同，那麼復合後的函式在m，n]上是增函式；如果兩者的單調性相異(即一增一減)，那麼復合函式在m，n]上是減函式．
(3)研究函式的奇偶性
一是定義法，即首先是定義域關於原點對稱，然後分析式子與f(x)的關係，最後確定函式的奇偶性．
二是圖象法，作出函式的圖象或從已知函式圖象觀察，若圖象關於座標原點或y軸對稱，則函式具有奇偶性．
考向一指數與指數冪的運算
指數冪運算的一般原則
(1)有括號的先算括號裡的，無括號的先做指數運算．
(2)先乘除後加減，負指數冪化成正指數冪的倒數．
(3)底數是負數，先確定符號；底數是小數，先化成分數；底數是帶分數的，先化成假分數．
(4)若是根式，應化為分數指數冪，盡可能用冪的形式表示，運用指數冪的運算性質來解答．
(5)有理數指數冪的運算性質中，其底數都大於零，否則不能用性質來運算．
(6)將根式化為指數運算較為方便，對於計算的結果，不強求統一用什麼形式來表示．如果有特殊要求，要根據要求寫出結果．但結果不能同時含有根號和分數指數，也不能既有分母又含有負指數.
典例1 化簡並求值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）原式
；（2）原式
．1．已知,求下列各式的值：
（12）.
考向二與指數函式有關的圖象問題
指數函式y=ax(a＞0，且a≠1)的圖象變換如下：
【注】可概括為：函式y=f(x)沿x軸、y軸的變換為「上加下減，左加右減」．
典例2函式y=ax－a(a＞0，且a≠1)的圖象可能是
【答案】c
【解析】當x=1時，y=a1－a=0，所以y=ax－a的圖象必過定點(1,0)，結合選項可知選c.
2．函式(0＜a＜1)的圖象的大致形狀是
考向三指數函式單調性的應用
1．比較冪的大小的常用方法：
(1)對於底數相同，指數不同的兩個冪的大小比較，可以利用指數函式的單調性來判斷；
(2)對於底數不同，指數相同的兩個冪的大小比較，可以利用指數函式圖象的變化規律來判斷；
(3)對於底數不同，且指數也不同的冪的大小比較，可先化為同底的兩個冪，或者通過中間值來比較．
2．解指數方程或不等式
簡單的指數方程或不等式的求解問題．解決此類問題應利用指數函式的單調性，要特別注意底數a的取值範圍，並在必要時進行分類討論．
典例3設，則的大小關係是
ab．cd．【答案】a
【名師點睛】不管是比較指數式的大小還是解含指數式的不等式，若底數含有引數，需注意對引數的值分與兩種情況討論.
3．設，則的大小關係是
a． b．
c． d．
典例4設函式，若，則實數a的取值範圍是
ab．cd．【答案】c
【解析】當時，不等式可化為，即，解得；
當時，不等式可化為，所以．故的取值範圍是，故選c．
【名師點睛】利用指數函式的單調性，分別討論當及時，的取值範圍，最後綜合即可得出結果．
4．已知函式的定義域是a，值域是b，則
a．0b．
c．1d．(－∞，0)
考向四指數型函式的性質及其應用
1．指數型函式中引數的取值或範圍問題
應利用指數函式的單調性進行合理轉化求解，同時要特別注意底數a的取值範圍，並當底數不確定時進行分類討論．
2．指數函式的綜合問題
要把指數函式的概念和性質同函式的其他性質(如奇偶性、週期性)相結合，同時要特別注意底數不確定時，對底數的分類討論.
典例5函式的圖象
a．關於原點對稱 b．關於直線y=x對稱
c．關於x軸對稱 d．關於y軸對稱
【答案】d
5．若函式f(x)=3x＋3－x與g(x)=3x－3－x的定義域均為r，則
a．f(x)與g(x)均為偶函式b．f(x)為奇函式，g(x)為偶函式
c．f(x)與g(x)均為奇函式d．f(x)為偶函式，g(x)為奇函式
典例6的值域是
ab．cd．【答案】c
6．已知a＞0，且a≠1，若函式f(x)=2ax－4在區間1,2]上的最大值為10，則a
1．化簡=
a． b．
c． d．
2．如圖中的曲線c1，c2，c3，c4是指數函式的圖象，已知對應函式的底數的值可取為，，，，則相應於曲線c1，c2，c3，c4，依次為
a．，，， b．，，，
c．，，， d．，，，
3．已知函式f(x)的定義域是(1,2)，則函式f(2x)的定義域是
a．(0,1b．(2,4)
c．(，1d．(1,2)
4．已知a=0.80.7，b=0.80.9，c=1.20.8，則a，b，c的大小關係是
a．a＞b＞cb．b＞a＞c
c．c＞b＞ad．c＞a＞b
5．設函式則滿足的的取值範圍是
ab．cd．6．已知函式，、、，且，，，則
的值a．一定等於零b．一定大於零
c．一定小於零d．正負都有可能
7．已知函式f(x)=|2x－1|，af(c)>f(b)，則下列結論中，一定成立的是
a．a<0，b<0，c<0 b．a<0，b≥0，c>0
c．2－a<2c d．2a＋2c<2
8．已知定義在上的函式(為實數)為偶函式，記
，則的大小關係為
ab．cd．9．已知函式f(x)=x2－bx＋c滿足f(0)=3，且對任意實數x都有f(1＋x)=f(1－x)，則f(bx)與f(cx)的大小關係是________．
10．已知是定義在r上的偶函式，且對恆成立，當時，，則________．
1．（2023年高考新課標ⅰ卷）已知集合a=，b=，則
ab．cd．2．（2023年高考北京卷）已知函式，則
a．是奇函式，且在r上是增函式b．是偶函式，且在r上是增函式
c．是奇函式，且在r上是減函式d．是偶函式，且在r上是減函式
3．(2023年高考新課標ⅲ卷)已知，，，則
ab．cd．
2 4指數與指數函式
時間 45分鐘滿分 100分 一 選擇題 每小題7分，共35分 1 下列等式 2a 3 中一定成立的有 a 0個b 1個 c 2個d 3個 2 把函式y f x 的圖象向左 向下分別平移2個單位長度得到函式y 2x的圖象，則 a f x 2x 2 2b f x 2x 2 2 c f x 2x 2 2...
考點19指數與指數函式
1 根式的性質 1 n a 2 當n為奇數時 a 當n為偶數時 2 有理數指數冪 1 冪的有關概念 正整數指數冪 an 零指數冪 a0 1 a 0 負整數指數冪 a p a 0，p n 3 有理數指數冪的性質 1 aras ar s a 0，r，s q 2 ar s ars a 0，r，s q 3 ...
4 2指數函式
對數函式的實際應用舉例 例1 2000年我國國內生產總值 gdp 為89 442億元，如果我國gdp年均增長 左右，按照這個增長速度 在2000年的基礎上，經過多少年以後，我國gdp才能實現比2000年翻兩番的目標？解 假設經過x年實現gdp比2000年翻兩番，根據題意，得，即 所以答 經過大約19...