【學習要求】
1.了解指數函式的實際背景,理解指數函式的概念;
2.掌握指數函式的圖象及性質;
3.初步學會運用指數函式來解決問題.
【學法指導】
通過了解指數函式的實際背景,認識數學與現實生活及其他學科的聯絡;通過展示函式圖象,用數形結合的方法從具體到一般地探索、概括指數函式的性質.
填一填：知識要點、記下疑難點
1.指數函式的定義:一般地,函式 y＝ax (a>0,a≠1,x∈r)叫做指數函式.
2.指數函式y＝ax (a>0,a≠1)的圖象過定點 (0,1).
3.指數函式y＝ax (a>0,a≠1,x∈r),當a>1時,在(－∞,＋∞)上是單調增函式當0研一研：問題**、課堂更高效
[問題情境]印度的舍罕國王打算重賞西洋棋的發明人.這位聰明的大臣說:「陛下,請你在這張棋盤的第乙個小格內,賞給我一粒麥子,在第二個小格內給兩粒,在第三個小格內給四粒,照這樣下去,每一小格內都比前一小格加一倍.
直到擺滿棋盤上64格」,國王說:「你的要求不高,會如願以償的」.於是,下令把一袋麥子拿到寶座前,計算麥粒的工作開始了.
還沒到第二十小格,袋子已經空了,一袋又一袋的麥子被扛到國王面前來,但是,麥粒數一格接一格地增長得那樣迅速,很快看出,即使拿出來全印度的糧食,國王也兌現不了他對象棋發明人許下的諾言.想一想,共需要多少粒麥子？
**點一指數函式的概念
問題1某種細胞**時,由1個**成2個,2個**成4個,4個**成8個,…,乙個細胞**x次後,得到細胞的個數為y,則y與x的函式關係是什麼呢？
答：x＝0,y＝1;x＝1,y＝2;x＝2,y＝2×2＝4;x＝3,y＝22×2＝8,…,y＝2x.
問題2 一種放射性物質不斷衰變為其他物質,每經過1年剩留的質量約是原來的84%.這種物質的剩留量隨時間(單位:年)變化的函式關係是怎樣的？
答：設最初的質量為1,時間變化量用x表示,剩留量用y表示,則經過x年,y＝0.84x.
問題3 在上述兩問題關係式中,如果用字母a代替2和0.84,那麼以上兩個函式的解析式都可以表示成什麼形式？
答：表示成y＝ax的形式.
小結：指數函式的定義:一般地,函式y＝ax (a>0,a≠1,x∈r)叫做指數函式.
問題4 指數函式的定義中為什麼規定了a>0且a≠1?
答：將a如數軸所示分為:a<0,a＝0,01五部分進行討論:
(1)如果a<0,比如y＝(－4)x,這時對於x＝,x＝等,在實數範圍內函式值不存在;
(2)如果a＝0,
(3)如果a＝1,y＝1x＝1,是個常值函式,沒有研究的必要;
(4)如果01即a>0且a≠1,x可以是任意實數.
例1 在下列的關係式中,哪些是指數函式,為什麼？
(1)y＝2x＋2; (2)y＝(－2)x; (3)y＝－2x; (4)y＝πx; (5)y＝x2; (6)y＝(a－1)x(a>1,且a≠2).
解：只有(4),(6)是指數函式,因為它們滿足指數函式的定義;(1)中解析式可變形為y＝2x·22＝4·2x,不滿足指數函式的形式;(2)中底數為負,所以不是;(3)中解析式多一負號,所以不是;(5)中指數為常數,所以不是;(6)中令b＝a－1,則y＝bx,b>0且b≠1,所以是.
小結：根據指數函式的定義, a是乙個常數,ax的係數為1,且a＞0,a≠1.指數字置是x,其係數也為1,凡是不符合這些要求的都不是指數函式.
跟蹤訓練1 指出下列函式哪些是指數函式:
(1)y＝4x; (2)y＝x4; (3)y＝(－4)x; (4)y＝xx; (5)y＝(2a－1)x.
解：(1)、(5)為指數函式; (2)自變數在底數上,所以不是;
(3)底數－4<0,所以不是; (4)底數x不是常數,所以不是.
**點二指數函式的圖象與性質
導引為了研究指數函式的圖象,我們來看下面兩組指數函式的圖象,第一組y＝2x,y＝x的圖象;第二組y＝3x,y＝x的圖象.
問題1 圖象分別在哪幾個象限？這說明了什麼？
答：圖象分布在第
一、二象限,說明值域為.
問題2 圖象有什麼特徵？猜想圖象的上公升、下降與底數a有怎樣的關係？對應的函式的單調性如何？
答：它們的圖象都在x軸上方,向上無限伸展,向下無限接近於x軸;當底數大於1時圖象上公升,為增函式;當底數大於0小於1時圖象下降,為減函式.
問題3 圖象過哪些特殊的點？這與底數的大小有關係嗎？
答：不論底數a>1還是0問題4 函式圖象有什麼關係？可否利用y＝2x或y＝3x的圖象畫出y＝x或y＝x的圖象？
答：通過圖象看出y＝2x與y＝x的圖象關於y軸對稱,y＝3x與y＝x的圖象也關於y軸對稱.所以能利用y＝2x或y＝3x的圖象通過對稱性畫出y＝x或y＝x的圖象.
問題5 你能根據具體函式的圖象抽象出指數函式y＝ax的哪些性質？(定義域、值域、特殊點、單調性、最大(小)值、奇偶性)
答：定義域為r,值域為,過(0,1)點,a>1時為增函式,0小結：指數函式的圖象與性質:
例2 已知指數函式f(x)＝ax(a>0且a≠1)的圖象過點(3,π),求f(0),f(1),f(－3)的值.
解：將點(3,π),代入f(x)＝ax,得到f(3)＝π,即a3＝π,解得:a＝π,於是f(x)＝π,
所以f(0)＝π0＝1,f(1)＝π ＝,f(－3)＝π－1＝.
小結：要求指數函式f(x)＝ax(a>0且a≠1)的解析式,只需要求出a的值,要求a的值,只需乙個已知條件即可.
跟蹤訓練2 已知指數函式y＝(2b－3)ax經過點(1,2),求a,b的值.
解：由於函式y＝(2b－3)ax是指數函式,所以2b－3＝1,即b＝2.將點(1,2)代入y＝ax,得a＝2.
例3 求下列函式的定義域與值域:
(1)y＝2;(2)y＝－|x|;(3)y＝4x＋2x＋1＋1.
解：(1)令x－4≠0,得x≠4.
∴定義域為.
∵≠0,
∴2≠1,∴y＝2的值域為.
(2)定義域為x∈r.∵|x|≥0,∴y＝－|x|＝|x|≥0＝1,故y＝－|x|的值域為.
(3)定義域為x∈r.
由y＝4x＋2x＋1＋1＝(2x)2＋2·2x＋1＝(2x＋1)2,
且2x>0,∴y>1.故y＝4x＋2x＋1＋1的值域為.
小結：函式y＝af(x)(a>0且a≠1)與函式f(x)的定義域相同.求與指數函式有關的函式的值域時,要利用指數函式本身的要求,並利用好指數函式的單調性.
跟蹤訓練3 求下列函式的定義域、值域:
(1)y＝0.3 ;(2)y＝3.
解：(1)由x－1≠0得x≠1,所以函式定義域為.
由≠0得y≠1,所以函式值域為.
(2)由5x－1≥0得x≥,所以函式定義域為.
由≥0得y≥1,所以函式值域為.
練一練：當堂檢測、目標達成落實處
1.下列各函式中,是指數函式的是d )
解析：只有y＝()x符合指數函式y＝ax(a＞0且a≠1)的形式.
2.函式f(x)＝的定義域是a )
a.(－∞,0b.[0c.(－∞,0d
解析：由1－2x≥0得2x≤1,根據y＝2x的圖象可得x≤0,選a.
3.函式f(x)＝(a>1)的圖象的大致形狀是 ( )
解析：當x>0時,f(x)＝ax,由於a>1,函式是增函式;
當x<0時,f(x)＝－ax ,與f(x)＝ax(x<0)關於x軸對稱,只有選項c符合.
課堂小結：
1.判斷乙個函式是否是指數函式,關鍵是看解析式是否符合y＝ax(a>0且a≠1)這一結構形式,即ax的係數是1,指數是x且係數為1.
2.指數函式y＝ax(a>0且a≠1)的性質分底數a>1,03.由於指數函式y＝ax(a>0且a≠1)的定義域是r,即x∈r,所以函式y＝af(x)(a>0且a≠1)與函式f(x)的定義域相同.
4.求函式y＝af(x)(a>0且a≠1)的值域的方法如下:
(1)換元,令t＝f(x),並求出函式t＝f(x)的定義域;
(2)求t＝f(x)的值域t∈m;
(3)利用y＝at的單調性求y＝at在t∈m上的值域.
4 2指數函式
對數函式的實際應用舉例 例1 2000年我國國內生產總值 gdp 為89 442億元，如果我國gdp年均增長 左右，按照這個增長速度 在2000年的基礎上，經過多少年以後，我國gdp才能實現比2000年翻兩番的目標？解 假設經過x年實現gdp比2000年翻兩番，根據題意，得，即 所以答 經過大約19...
2 4指數與指數函式
時間 45分鐘滿分 100分 一 選擇題 每小題7分，共35分 1 下列等式 2a 3 中一定成立的有 a 0個b 1個 c 2個d 3個 2 把函式y f x 的圖象向左 向下分別平移2個單位長度得到函式y 2x的圖象，則 a f x 2x 2 2b f x 2x 2 2 c f x 2x 2 2...
2 1指數函式小結
高一數學 必修1 問題拓展評價單 課題 2.1 指數函式小結 編號 bx1 2.1 序號 02 學習目標 1 理解n次方根概念及n次方根的性質，理解有理指數冪涵義 無理指數冪意義，掌握分數指數冪的運算。2 理解指數函式的概念和意義，理解指數函式的單調性和特殊點。3 根據指數函式的影象特點總結指數函式...