(2011-09-21 09:45:51)
（3）質數、合數與分解質因數
〖老師告訴你〗
質數與合數是數論裡最基本、最重要的概念之一，許多有趣的課題都與它緊密相關。例如著名的哥德**猜想就是乙個關於質數、合數的問題。
1、質數與合數
乙個大於1的自然數，如果除了1和它本身，再不能被其它自然數整除，那麼它就叫做質數（也叫素數）。
例如，100以內的質數共有25個，從小到大依次是：2、3、5、7、11、13、17、19、23、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
乙個大於1的自然數，如果除了1和它本身，還能被其它自然數整數，那麼它就叫做合數。
例如：4、6、8、10、12、14、……都是合數。根據質數、合數的定義，每個質數只有兩個約數：
1和它們本身；每個合數至少有三個約數：1、它本身、其它約數。例如6的約數除1和6外，還有2、3，所以6是合數。
要特別記住：1既不是質數，也不是合數。
全體自然數可以分成三類：（1）1（自然數的單位），（2）質數，（3）合數。質數有無限多個，合數也有無限多個。
最小的質數是2，最小的合數是4。在質數中只有2是偶數，其餘的質數全是奇數。
2．質因數與分解質因數
如果乙個質數是某個自然數的約數，那麼這個質數就叫做這個自然數的乙個因數。
例如，質數2和3都是36的約數，所以2和3都是36的質因數。6是36的約數，但6不是質數，所以6不是36的質數因數。
把乙個自然數表示成因數相乘的形式，可以有多種方法。例如，12=2×6=3×4=2×2×3。但把12表示成質因數相乘的形式，則只有一種方法：2×2×3。
「算術基本定理」說的就是這一事實：任何乙個合數都可以表示成若干個質因數相乘的形式，如果不考慮質因數的順序，這種表示方法是唯一的。
把乙個合數表示成質因數相乘積的形式，叫做把這個合數分解質因數。
在分解質因數時，相同質因數連乘可以寫成乘方的形式。例如，
600=2×2×2×3×5×5=
3．約數的個數
我們利用分解質因數來解決求乙個數的約數個數問題。
例如求72是所有約數寫出來就是：1、2、4、8、3、9、6、12、24、18、36、72。它們利用由2 的約數（1、2、2 、2 ）與3 的約數（1、3、3 ）兩兩相乘得到，也就是可以用下面的數陣形式列出：
13322×32×3
2 2×32×3
2 2×32×3
這個數陣共有4行、3列，包含了72的全部12（12=4×3）個約數。
一般地，我們有如下重要結論：
乙個大於1的整數的約數個數，等於它的質因數分解式中每個質因數的指數加1後的連乘積。
〖請你讀一讀〗
例1．有三張卡片在它們上面各寫著乙個數字1、2、3，從中抽出一張、二張、三張，按任意次序排列起來，可以得到不同的一位數、二位數、三位數。請你將其中的質數都寫出來。
【分析與解答】因為1、2、3三個數字之和是6，可知抽三張卡片時，無論按什麼順序排列後所得的三位數都能被3整除，所以它們都不是質數。
從中任取二張卡片，按不同的順序排列的兩位數有：12、21、13、31、23、32，其中13、31和23是質數；從中任取一張卡片得到的一位數中2和3是質數。
這樣，所求的質數共有2、3、13、23和31五個。
答：所求的質數共有2、3、13、23和31五個。
例2．用1、2、3、4、5、6、7、8、9這九個數字組成質數，如果每個數字都要用到，並且只能用一次，那麼這九個數字最多能組成多少個質數。
【分析與解答】由「每個數字都要用到，且只能用一次，同時組成的質數的個數最多」的條件，可知組成質數時，注意盡可能將合數4、6、8、9和最小自然數1組成兩位數，還要注意質數的含義。因為8和9可以組成質數89，還可以組成合數98。而4和6不可以組成質數，但6和1可以組成質數61，剩下的4可以與3組成質數43。
這樣九個數組成2、5、7、43、61和89六個質數。
答：這樣九個數組成2、5、7、43、61和89六個質數。
例3．360這個數有約數？這些約數的和是多少？
【分析與解答】360=2×2×2×3×3×5，所以360的任何乙個約數都等於至多三個2（可以是零個，下同），至多兩個3和至多乙個5的積。如果我們把下面的式子（1+2+4+8）×（1+3+9）×（1+5）展開成乙個和式，和式中的每乙個加數都是在每個括號裡各取乙個數相乘的積。由前面的分析不難看出，360的每乙個約數都附帶好是這個展開式中的乙個加數。
由於第乙個括號裡有4個數，第二個括號裡有3個數，第二個括號裡2個數，所以這個展開式中的加數個數為4×3×2=24，而這也就是360的約數的個數。另一方面，360的所有約的和就等於這個展開式的和，因而也就等於（1+2+4+8）×（1+3+9）×（1+5）=15×13×6=1170。
答：360的約數有24個，這些約數的和是1170。
例4．有8個不同約數的自然數中，最小的乙個是多少？
【分析與解答】因為8=1×8=2×4=2×2×2，所以所求自然數，只可能有三種情況：x ，x ×x ，x ×x ×x ，其中x 、x 、x 是不同的質數。
又因為要求的自然數是最小的，則質數x 、x 、x 應盡最小，所以這個數有三種可能：
（1）2 =128
（2）3×2 =24（2×3 >3×2 ）
（3）2×3×5=30。
因此，有8個約數的最小自然數是24。
答：有8個約數的最小自然數是24。
試一試：有5個不同約數的自然數中，最小的乙個是多少？
例5．恰好有6個約數的兩位數共有多少個？
【分析與解答】根據自然數n所有不同約數的個數計算公式：t =（r +1）×（r +1）×……×（r +1）進行解答。
因為6=1×6=2×3，所以有r =1－1=0，r =6－1=5和r =2－1=1，r =3－1=2兩種組合形式。根據所求數值是兩位數的條件，可知應為小於25的質數作為質因數進行搭配組合。
r =0，r =5組合形式：2 =32一種；
r =1，r =2組合形式：
2 ×3 =182 ×5 =502 ×7 =98
3 ×2 =123 ×5 =755 ×2 =20
5 ×3 =457 ×2 =287 ×3 =63
11 ×2 =4411×3 =9913×2 =52
17 ×2 =6819×2 =7623×2 =92
共十五種。
因此，恰好有6個約數的兩位數共有16個。
答：恰好有6個約數的兩位數共有16個。
例6．在面前有乙個長方體，它的正面和上面的面積之和是209，如果它的長、寬、高都是質數，那麼這個長方體的體積是多少？
【分析與解答】因為長方體的正面和上面的面積之和為長×高+長×寬=長×（高+寬）=209，所以我們只要將209分解成乙個質數與另兩個質數和的乘積，即可求得長方體的長、寬 、高。
因為209=11×19，又因為小於19的質數有2、3、5、7、11、13、17。其中不存在兩個和為11的質數；而只有2+17=19。所以209=11×（2+17），即長方體的體積是11×2×17=374。
試一試：邊長1公尺的正方體2100個，堆成乙個實心長方體。它的高是10公尺，長、寬都大於高。問長方體的長和寬的和是幾公尺？
例7．將下列八個數平均分成兩組，使這兩組數的乘積相等：
0.140.330.350.30.750.391.431.69
【分析與解答】根據所給數的特點，把它們都擴大100倍將小數化成整數：14、33、35、30、75、39、143、169後，只需將這些數分成等積的兩組即可。
要使兩組數的乘積相等，這兩組數中的每個因數雖然不一定相等，但是他們所含有的質因數必須相同。因此，先將這八個整數分解質因數：14=2×7，33=3×11，35=5×7，30=2×3×5，75=3×5×5，39=3×13，143=11×13，169=13×13。
其中質因數3、5、13各有四個，質因數2、7、11各有兩個，這樣所分的每組四個數中應有質因數3、5、13各兩個，質因數2、7、11各乙個。
按上述進行組合即得75×14×169×33=35×30×143×39
因此，原題等式為0.75×0.14×1.69×0.33=0.35×0.3×1.43×0.39。
另外還有一種分法，你不妨試一試。
試一試：把20、26、33、35、39、42、44、55、91等九個數分成三組，使每組的數的乘積相等。
例8．把26、33、34、35、63、85、91和143分成若干組，要求每一組中任意兩個數的最大公約數是1，那麼至少要分成多少組？
【分析與解答】根據每組中任意兩個數的最大公約數是1的條件，可知每組中的數是兩兩互質的關係，即每組中的任意兩個數所含有的質因數沒有相同的。通過分解質因數的方法將這八個數按題意進行搭配組合。
26=2×13，33=3×11，34=2×17，35=5×7，85=5×17，91=7×13，143=11×13，63=3×3×7。
其中26、91、143都含有質因數13，因此它們必須分為三組。又91還含有質因數7，所以含有質因數7的另外兩個數35和63只能分別分在另外兩組裡，然後將其它的數33，34，85按題目要求搭配組合，即為：26，35；33，85，91和34，63，143三個陣列。
質數和合數
大橋一小馮慶田 教學內容 教材23 24頁例1及做一做 教學目標 1 理解質數和合數的概念，知道他們之間的聯絡和區別 2 找出100以內的所有質數，能判斷乙個數是質數還是合數，會把自然數按因數的個數進行分類 3 經歷質數和合數的認識及辨別過程，培養觀察 比較 歸納概括的能力 4 培養學生的探索精神，...
質數和合數反思
質數和合數是本單元學習內容的乙個轉折點，在教學中，我運用了自主 合作 的教學方法，使學生在參與中產生求知慾望，調動學習積極性。首先讓學生獨立寫出1 20這20個數的因數，再根據因數多少進行分類，然後以小組為單位交流，學生通過交流，知道可以分為幾種情況，並感悟到，自然數按照因數的個數可以分為質數 合數...
4 5質數和合數
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