２０１４年第１０期中學數學月刊６１
董建奎 （江蘇省清浦中學 ２２３００２）
由於學生認知水平、理解水平的不同，解題中
出現錯誤屬於正常現象．評析錯誤可讓學生認知更深刻、理解更透徹．本文是針對學生在一次練習
中錯誤率較高的乙個問題進行講評，目的是幫助
學生認清產生錯解的根源，實現對等差數列的概念和性質更深刻的理解．１展示錯解，暴露思維
題目已知兩個等差數列｛ｎ ｝和｛ｂ ｝的前」
項和分別為ｓ和 ，且一 ｛ ，求賽．
上課時，通過實物投影將學生三種常見的有
代表性的錯解展示出來，讓學生討論並進行辨析，
通過學生合作**，找出錯因．
生１：因為一
，所以可設ｓ 一７ ＋
４５，ｔ 一」＋３，於是ａ６一ｓ６一ｓ５—７，ｂ６一ｔ６一
一ｌ，所以一７．
ｄ６生２：因為一７ｎ＋４５，
所以可設ｓ ＝＝＝ｋ（７
＋４５），ｔ 一ｋ（」＋３），於是ａ６一ｓ６一ｓ５—７ｋ，ｂ６一
ｔ６一ｔ５＝愚，所以ｕ＿６—７．
口６生３：因為一。
一 ｏｏ一
』ｌｄｌ十ｊｌ十
，－一－１ｏ．
錯因分析生１、生２的解法，表明等差數列｛ａ ｝和｛ｂ ｝的前項和都是」的一次式，而等差數列如果不是常數列，它的前項和ｓ 是乙個形
如ａ 。＋ｂｎ的二次式，因為本題並沒有指明等差數列是常數列這樣的條件，所以生１、生２都犯了偷換題設條件的錯誤．生３錯用了等差數列性質，若 ＋」一是＋ｚ，則ａ 十ａ ＝＆ ＋ａ ，特別地當２ｍ
—ｋ４－ｚ時，２ａ 一＆ ＋ａ ，而很多學生錯記為ａｚ一
ａｋ十ａ１．
２尋找正確解法
分析等差數列前ｎ項和是關於的二次式
（不含常數），可以得解法１；利用等差數列求和公
式與性質，可以得解法２．這兩種方法是解決這類
ｉ司題的常用解法，也是通性通法．
解法１設於是ａ６一ｓ 一一ｔ６～ｔ 一１４ｋ，故
一ｂ６７』
解法２由＿ａ６
一一一０６
０６ｄｔ十ｂｌ１
１１×ｓ６１
１１×』
３**一般規律
**ｌ能否利用上面的解法進一步解決下標和相同的這類數列問題？
如：上題條件不變，求譬０７一ｏ１
和±±**２ 能否將原問題進一步推廣？
結論１設』一
十一，（），則０
一，（２ 一１）．
結論２當 ＋。一ｎ＋ 時，則甍｛等一
ｆ（ｍ４－一１）．
**３能否利用上面的解法進一步解決下
標和不相同的這類數列問題？
如：上題條件不變，求善和等｛
**４能否將原問題進一步推廣？
結論３設』一，
，ｍ—ｒ ｊ０－
』２ｍ－１．
４ 檢驗成果，挑戰考題
（１）（２００７湖北高考題）已知兩個等差數列｛口 ｝和｛ｂ ｝的前」項和分別為５ 和ｔ ，且ｏｎ—
７ｎ＂４
４５，則使得０
為整數的正整數的個數是ｒ５．
（２）（２０１２蘇北四市）已知兩個等差數列｛ａ ｝和｛ｂ ｝的前竹項和分別為ｓ 和ｔ ，若一
６２ 中學數學月刊２０１４年第１０期
太陽高度角與方位角的計算與研判
汪和平 （安徽省潛山野寨中學２４６３０９）
在地球上不問緯度地區的不同日期不同時刻，太陽在天空中高度角與方位角是不同的．在天
射緯度不變（平太陽日），地球上某地的水平地面是地球球面上過該地的切面．
２運用向量計算太陽高度角與方位角
地球上過觀測地ａ地的經線指示南（ｓ）北（ｎ），北極點為最北，其四周均為南方；南極點為最南，其四周均為北方．緯線指示東（ｅ）西（ｗ），
文學中通常運用球面角來進行計算，高中學生
在**這類問題時理解很困難．事實上，運用空間
向量等初等數學知識也能實現太陽高度角與方位角的計算與研ｙ．－０．
１地球的運動規律及其表示
東西方向為無限方向．赤道面、ａ地地平圈都與過ａ地的經線面垂直．如圖１，設地球（）的球面上過ａ地的經線與赤道交於ｄ點，設某日某時太陽
地球與太陽之間的位置關係與地球的運動有關．地球的運動主要有兩種：繞過南北兩極的地軸
的白轉運動和繞太陽的公轉運動．地球自轉從北往下看是逆時針（自西向東）方向，這導致太陽週日運動．由於黃赤交角的存在，地球公轉運動使太陽直射點在地球上南北來回移動，移動範圍為一年乙個週期，即太陽的周年運動，導致地球上出現一年四季更替現象；
直射地球上ｂ地（直射光線過地球球心），過ｂ的經線與赤道交於ｃ點．以地球球心ｏ為座標原點，
ｏｄ所在直線為２７２軸，地軸ｏｎ所在直線為軸，建立空間直角座標系０一．；ｃｙｚ．設地球半徑為一臼，ａ（）ｂ一 ，則ａ為觀測地ａ處的緯度數，一若
由於地球球面上的人習慣於憑自己的感官判斷太陽在天空中的位置，太陽在不同的觀測地的地平面以上的天空中的運動稱為該地太陽週日視運
ａ地在北半球，則 ＞０，若ａ在南半球，則ａ＜０．＿為太陽直射點ｂ地的緯度數，２３。２６
２３。２６ １２
．≤ ≤
為ａ地與太陽直射點ｂ地的經度差
動．因此，地球上任意觀測地ａ的白天太陽高度（太陽時角），對於某日ａ地白晝ｔ時刻（地方時，正午時刻為１２時）有０一（ｆ一向東為負角，向西為正角．
角與方位角與觀測地的緯度、太陽直射緯度、時刻
（太陽時角）有關．
若不考慮太陽光線穿過大氣層時的折射、太
在天文學中通常用天球來度量天體的位置，所謂天球就是以空間中某一定點為球心，一般情
陽的視面角、高山阻擋、海拔高度等因素的影響，相對於地球而言太陽是乙個面光源，照射到地球｝：的太陽光是一組平行光線．假設一天中太陽直
況下天體與該球心之問的距離是無窮遠的，故以
足夠遠的距離為半徑作乙個球面，天體的位置可中學生出現的錯解，教師怎樣才能有效地幫助學生認識產生錯誤的原因，使學生從錯誤中走出來呢？實際教學中，許多教師喜歡採用「告訴」的方法，一是針對學生解題**現的錯誤，進行集中講評，告知學生錯因和注意事項，要求學生不要再犯類似的錯誤，稱為「亡羊補牢」；二是對學生容易出錯的問題，提前暗示，事先提出，叫做「防患於未然」．但效果怎樣呢？本節課重視並合理地開發日常教學中的錯誤資源，注意在學生的錯誤中生成**課題，引導學生開展**活動，可以大大地激
｛半，且為整數，則正整數ｎ的值為１５．
（３）（２０ｌ３屆蘇錫常鎮、連雲港、徐州六市聯
考）已知兩個等差數列｛｝和｛６ ｝的前ｎ項和分
別為ｓ 和ｔ ，若
一＝＝＝，則＋
ｂ６＋ｂ１５７８』
５拓展延續
思考題：建議同學們課後通過模擬的方法，看
等比數列是否有類似性質？若有，請寫出結論．
解題教學是數學教學的重要組成部分，學生在解題過程**現錯誤是正常的．面對日常教學
發學生課堂參與的熱情，讓「死」的知識「活」起來，讓「靜」的課堂「動」起來．
如何處理學生打架
在乙個鍋裡吃飯，碗勺難免會磕磕碰碰，同乙個班內的學生一處生活，一處學習，久之難免會發生一些摩擦。矛盾久積，或者情緒衝動之下，難免還會動起手腳，甚至大打出手。最嚴重的可能還會把矛盾激化，叫來校外的閒雜人員，把局面搞得不可收拾。這對每一位班主任都是乙個考驗，是乙個無法迴避的教育研究課題。有的年輕班主任曾...
如何處理學生間的矛盾
有些弱小的學生受到同學欺負，又不知怎樣協調好與那些 壞 同學間的關係，他們大多選擇告老師或家長。不管他們告到哪，最終還得咱們老師來面對和處理。同學間有了矛盾或糾紛，官司 告了過來，教師又怎能夠坐視不理？多數教師通常的做法是 將爭吵 打鬧的雙方叫到一起，先了解事發的緣由及經過，然後依據校紀 班規作出評...
如何處理學生的相處問題
彭福才我們知道，影響學生學習的影響很多，比如 家長之間的關係不融洽，鬧矛盾影響學生的心情 教師的某些不當言行也會挫傷學生的積極性，打擊學生的學習興趣，從而影響其學習成績 不良的學習習慣和生活方式也會影響他們的學習 等等。諸如此類影響學生成績，進而影響學生健康發展的因素太多了。但是，我們絕大多數老師可...