１２中學數學研究２０１４年第８期
視關問哄翊 。江蘇省丹陽高階中學 （２１２３００）史建軍
注問形識佃
解題是教師牢固掌握數學教學內容、數學知識和技能的必要途徑，也是一位教師勝任教學崗位，站穩三尺講台的重要前提，更是教師教學能力的體現
和主要標誌，而注重解題反思是教師熟練掌握解題方法，領會數學思想方法，從而提高教學能力的重要途徑．
解題反思是對解題活動的反思，對解題過程的深層次的再思考，是同化，是探索，是發現，是深究數學解題活動中所涉及的知識、方法、思路、策略等，具有較強的科學研究的性質．解題反思是教師一種行
之有效的再學習方式，一般可從以下三個方面進行．
１．思本質：剖析問題本質，優化知能結構
１．１透視問題本質，深化知識縱橫聯絡
《普通高中數學課程標準（實驗）》指出：在進
行基礎知識教學和基本技能的訓練中，應重視對數學本質的認識和理解．因此，在研究具體數學問題時
ｂｃｃ ｂ 內一動點，若ｐ到直線
圖１ｂｃ與直線ｃ ｄ 距離相等，則動點ｐ的軌跡所在的
曲線是．
解析：ｐ到直線ｃ ｄ 的距離即ｐ到點ｃ。均距離．因此，本問題即ｐ到定點ｃ，的距離與直線ｂｃ距離相等，根據圓錐曲線的統一定義知，ｐ的軌跡是拋物線．
反思：這是乙個典型的以立體幾何為設計情境考察圓錐曲線定義的問題．本問題的難點在於要透視立體幾何這個「形」，剖析圓錐曲線統一定義的「質」，從而達到強化「形」與「質」之間的聯絡，深化「立幾」與「解幾」知識網路的目的．
１．２ 品味蘊含知識，優化知能體系結構
高中數學問題靈活多變，對同乙個知識點，命題
者可以從不同的角度和側面或以不同的層面和題型
來考查．因此，解題後應反思問題所涉及的知識，以便對知識查缺補漏，加深理解，靈活運用，從而優化井睫
的如ｃ剖內圖
知識結構，強化能力體系．
例２已知實數滿足ａ１＋ａ２＋ａ３
＝０，ａｉａ４＋口２口４一貝０時刪
４的取值範圍是．—
—枷靴機一一虹解析：由得ａ３＝一（ａ１＋口２）代入口 ＞ⅱ ＞。，可得一 １＜
口２口４一口２＝０，．．口又ｎ４≠１，
一～ｕ１．．
＝，．．．一
÷＜＜口＜
反思：本題涉及四個交量，關係錯綜複雜．由ａ４＋４一ｎ２＝０可得口４＋（口４—１）
＝０．此時只要由和ａ１＞ａ２＞ａ３求出的範圍即可，這也是突破本題的關鍵．初看問
ⅱｌ題感到無從下手，但反思、品味後發現其實並不陌生，乙個熟悉的問題是：已知）＝ａｘ ＋＋ｃ，其
中口求 ，一ｃ的取值範圍．兩者形
異質同，對這個知識點的品味過程，不僅優化了知識結構，更從深層次上強化了能力體系．
２．思過程：總結解題規律。提煉解題思想
２．１回味解題方法，總結規律，舉一反三
羅增儒先生在他的《數學解題學引論》裡說：分
析典型問題的解題過程是學會解題乃至提高解題能力的有效途徑．解題後應及時總結解題方法與規律，
淡化特殊技巧，注重對通性通法的掌握．通過解題反
思，不僅可以充分理解和掌握本題的解題規律和方法，更對同型別的其他問題了然於胸，觸類旁通．
例３ 等差數列｛ａ ｝，｛ｂ ｝的前ｎ項和分別為
．ｓ，若對任意正整數凡都磚＝囂＝
解析：由條件知｛ａ ｝，｛ｂ ｝均為等差數列，故設ｓ ＝ｋｎ（２ｎ一３），＝ｋｎ（４ｎ一一５ ，
２０１４年第８期中學數學研究ｌ３
８ｋ』．囂＝．
反思：很多教師通常會利用公式 ：魯來解
ｕｒ』２ｎ一１
知一３ｘ＝一１有３個解，
３ｘ＝２有２個解，共５個解；同理當ｃ＝一２時，方程共５個解．
一這類問題，但這種方法技巧性太強，沒有體現通性通法，更沒有體現這類問題的本質，因此沒有推廣價
綜上所述，當ｉｃ ｉ＝２時，函式ｙ ｈ（）有５個零
圖２值．若將原題變為：等差數列｛ａ｝，｛ｂ｝的前ｎ項和
點；當ｌｃｌ＜２時，函式ｙ＝｜ｉｌ（）有９個零點．
分別為ｓ，，對任意正整數凡都有 ＝ｌ ，則
反思：本題是２０１２江蘇高考第１８題，第（３）問涉及復合函式的零點問題，難度較大．其實處理「復．
用上述方法如何求解？若充分利用等
差數列前凡項和公式的結構特點，設ｓ ＝ｋｎ（２ｎ一３），＝ｋｎ（４ｎ一一５ｋ，ｂ ＝８ｋｎ一
７ 』－．．＝，
＝ １９
．問題迎刃而解，不難發現這種方法可以求解任意兩項的比值．
當學生感嘆於教師某種解題方法的精妙時，我們越應該反思這種方法的普遍價值．其實，很多令人
嘆為觀止的技巧只適用於某些特定環境，否則只能
一籌莫展，而那些其貌不揚的方法卻能默默無聞的
以不變應萬變，具有很強的適應性．
２．２ 回歸數學思想，居高臨下，融會貫通注重數學思想方法的統帥作用，掌握數學的基
本原理和方法（即數學思想方法），在數學思想、方法的高度上掌握數學概念、數學知識和數學方法，學
會如何學習和如何思維，才能形成乙個既有肉體又有靈魂的鮮活的數學知識結構，達到居高臨下，融會貫通的至高境界．
例４（２０１２江蘇高考）若ａ，ｂ∈ｒ，ｉ和一１是函式．廠（）＝＋ｎ ＋的兩個極值點．
（１）求ａ和ｂ的值；
（２）設函式ｇ（ｘ）的導函式ｇ （）＝）＋２，
求ｇ（ｘ）的極值點；
（３）設一ｃ，其中ｃ∈［一２，２］，求函式ｙ＝ｈ（）的零點個數．
解析：（１）（２）略．（３）即求方程 （）一
）＝ｃ，ｃ∈［一２，２］√＾（）＝一３ｘ的解的個數．由
．廠（）＝一３ｘ的影象可知，當ｃ∈（一２，２）時，關於
）的方程 （）一ｆ（ｘ）＝ｃ有三個解，不妨設其中一２，２），同理可知方程一各有３個解，故當ｃ∈（一２，２）時，方程有９個解；
當ｃ＝２時，關於）的方程廣（）一ｆ（ｘ）＝
ｃ有兩個解，分別為 （）＝一１（）＝２，由影象
合」問題的關鍵思想在於「分解」．一般地，復合函式方程可以分解為乙個關於）的方程和函式ｙ：
）（如本題中可分解為 （）一３ｆ（ｘ）＝ｃ及）』＝
一３ｘ），若關於）的方程有ｎ個解，分別記為
相應的）＝ｔｉ解個數即函式ｙ＝）影象與直線ｙ＝ｔ的公共點個數，記為ｍ ，則復合函式零點個數為個．
上述過程充分體現了復合與分解以及數形結合的數學思想．數學思想是對數學事實與理論經過概括後產生的深刻認識，體現了數學的本質和精華．只有回歸數學思想，數學能力才會有質的飛躍，因此掌握數學思想，就是掌握數學的精髓．
３．思拓展：延拓解題方法，引申問題結論
３．１探尋新解法，一題多解：橫看成嶺，側看
成峰對同乙個問題的解決，由於切入點不同，思維層次不同等原因呈現出風格各異的不同解法．反思解題方法．的豐富性，不拘泥於第一直覺的解答，積極思索是否存在更能反映問題本質的解法，不但能夠積累豐富的解題經驗，更重要的是能夠不斷地拓展思維，使思維的靈活性得以發展．
例５已知口，ｂ，ｍ∈ｒ ，口＜ｂ．求證：爭÷裡＞
孚．（蘇教版選修４—５《不等式選講》第１３頁例３）
證１分析法：課本中的證法，略；
證２綜合法：能用分析法證的題一般也能用綜合法證明；
證３作差比較法：爭一詈＝
＞ｏ；證４作商比較法：砉妻＝裳｛ ＞１；
證５放縮法：ａ ＝＜＝
ｄｄ【ｄ＋ｍｊ
ｄｌｄ＋ｍｊ
１４中學數學研究』．．
２０１４年第８期
證６建構函式法：建構函式 ）＝｝詈（ｎ＜
６），因為 ）＝１一囂在［ｏ，＋∞）上是增函式，
血ｌ＋ｎ２＋…＋口 ＞後
＋６ｎ…
一６｝ｌ＋６２＋…
．．》：一ａｂ１．右邊同理可證．ｌ。。工
故 ｍ）＞ｏ），即爭 ＞詈；
證７斜率法：直角座標系中，｝ｄ＋ｍ：
…變式５在變式４的條件下，有昔＜÷魯＜
…＜若餈可
＜ｎｈ１＋口ｎ
＜一＜…＜
０爭表示經過點ａ（ｂ，
ｖｂｌ＋ｂ 、ｂ 『
反思：引申、推廣就是找出一些特殊問題中所蘊
口），ｂ（一ｍ，一ｍ）兩點所在直線的斜率，由圖３不難得到
／＞ｋａｏ９即＞詈．
反思：「解需有法，解無
圖３定法．**必依．小法必活．」
前４種證法是**，必須牢牢依靠；後３種是小法，要會靈活運用．
很多數學問題有多種解法，解題後要多角度思
考，看是否還有其它解法，通過探尋新的方法，可以開拓思路，加強知識點之間的縱橫聯絡，及時總結各類解題方法，養成「從優、從快」的解題方式．
３．２ **新結論，一題多變：蛇化為龍，不變
其文通過對數學問題進行多角度、多層次的變式探索研究，有意識地從「變」的現象中發現「不變」的
本質，從「不變」的本質中探索「變」的規律，不僅能增強創新意識和應變能力，而且能優化思維品質，培養發現問題和解決問題的能力和素質．
我們可以對例５進行變式**：
變式１若口，ｂ，ｉｎ∈ｒ ，且口＞ｂ，則－。ｖ＞
ｕｎ＋ｍ
；變式２ 若且口＞６，ｍ＞，ｌ，則
士口十ｎ
、０＋，ｎ
＞；變式３ 若且＜ ０，２，
則有：＜＜；』
變式４若ｌ．６
，＜…＜
瓷，則有＜昔÷ 囂＜毒；
證明：設： ，則ｎ：＞６：，口，＞６，，…，
含的事物發展的規律性，通過合情推理或演繹推理獲得更廣泛的新結論．這無疑可以增強我們探求未知世界的信心和勇氣，並體會到成功的喜悅和創造性工作的快樂．
３．３ 探索新聯絡，多題歸一：縱然萬變，不離
其宗數學問題多種多樣，有些問題的形式雖然不一樣，但可歸結為同一種題型，用同一種方法解決．通過道題的解決，達到會解一類題的目的．所以解題後要反思問題實質，聯想「形異質同」的問題並進行
歸類，總結通解通法，提高解題能力．
以下幾個問題，都是例５的「姊妹」題：
問題ｌ（１９９８全國高考）求證：（１＋了１）（１＋
１）．．．（１＋
）＞（∈帥
≥２）．
解析：了４＞ ５，
了６＞ ７，…＞，設＝一３
魚５…２
凡１＝左式，一壓，』ｙ；三一
４６…一
２ｎ＋ｌ測
』．．＝＞，．
．＞ ，
／５－￣覃＋１
問題２（２ｏｏｌ全國高考）已知ｉ，ｍ，∈ｎ，１＜
ｉ≤ｍ＜ｎ．求證：ｎａｉ＜ｍ ：．
證明：略．
問題３（斯坦因豪斯《１００個數學問題》第１２
題）求證：｛ ｛
＋ｂ＋ｂ＋ｃ＋０
ａ＋口＋ｃ＋ｃ＞。
（所有字母均為正數）．
．證明：左式＞＋＞
ａ＋ｎｃ＋ｃ
＋２０１４年第８期
ａ＋ａ＋ｃ＋ｃ
ａ＋ａ＋ｃ＋ｃ
中學數學研究ｌ５
進行解題反思，並提高解題的批判反思能力．只有教
＋ａ＋ｃ＋ｃ＋ｒ＋口
反思：如果說一題多解實現了「點到線」的變化；一題多變實現了「線到面」的變化；那麼多題歸
一則進一步實現了「面到體」的變化．通過對乙個問
題的**和反思，可以將多個問題「合併同類項」，從而多層次、廣視角、全方位的進行研究拓展，不僅
充分發揮了問題的潛能，更讓教師的能力得到了公升
華．師的理論素養提高了，教師反思能力的提高才具有
了深厚的基礎和前提．
４．３ 掌握反思策略，為改進解題反思修煉「法力」在解題過程中，教師只有靈活地使用反思策略，養成反思的習慣，才能提高反思的能力，反思才會成為自覺的行為，解題反思才能取得成效．
４．３．１ 勤於筆記，堅持撰寫解題反思反思強調教師的思考與體驗．體驗意味著教師對解題過程和結果的領悟和反省，為了進行有效的
解題體驗和反思，一方面，教師可以通過筆記的形式幫助自己進行解題反思，即將自己在解題過程中的
４．加強教師解題反思能力的幾點建議
教師在長期的教學過程中，積累了一些解題經驗，形成了一些自己的解題技巧方法，由於人自身固
有的惰性及其他原因容易陷入一種考慮問題的固定模式，其結果使教師的解題過程在一定程度上成為缺乏深度分析、簡單化及模式化的活動，必然走向狹隘和閉塞，缺乏生機和活力．因此，加強教師解題反思能力勢在必行．
４．１重視解題能力，為促進解題反思提供「動力」強大的解題能力是教師的立足之本．試想，一位數學教師，如果自身的解題能力受到學生的質疑，那麼必將受到來自家長、學校乃至社會的巨大壓力．
「學高為師」，而教師的解題能力無疑是「學高」的重要標誌，因此，提高教師的解題能力就顯得非常重要與迫切．教師是「傳道、授業、解惑者」，同時也應該是學習者．解題後的質疑是教師進步的動力，解題反思更是教師靈感和智慧型的源泉！只有這樣，教師才
能形成動態的、辯證的、發展的數學教學觀和數學學習觀，在此基礎上，努力做到對數學知識的歷史演變
典型問題、易錯題及時記錄，並進行精當的分析和深刻的反思．羅增儒先生認為，「至少在沒有找到更好的途徑之前，這是乙個無以替代的好主意」．另一方面，要持之以恆，要重視點點滴滴心得體會的積累，積少成多．同時還要進行經常的回顧和歸納總結，使這些濃縮的精華充分滲透到自己的解題和教學中．
４．３．２ 善於交流，理性**解題心得
解題反思的過程也是乙個交流與學習的過程．然而在現實中，由於種種原因，乙個成熟的教師大都獨立解題，很少與同事交流解題的心得與體會，因此，解題方法是否精當和合理不能通過比較決出「高下」，不能通過**得到「昇華」．教師的解題能力和教學能力是相互增進的，因此教師應從與他人的合作與交流中獲益，集體的教學智慧型是教師專業成長的源泉．本著相互尊重共同提高的原則，用批判
的眼光審視，用善意的語言進行學術交流．討論甚至
有透徹的理解，對數學思想方法有深切的體會，對數學知識的實際應用有較強的能力，才能保證自己的
數學知識結構、方法網路的多元化，實現高層次的融會貫通，才能有效引導學生的學習，樂於「傳道」，精於「授業」，從容「解惑」．
４．２ 加強理論素養，為推進解題反思注入「活力」
爭論有助於促進教師集體的反思，有助於為解題反
思創造乙個良好的整體氛圍．
教師的專業發展離不開一定的外部條件，但更多需要自身的主觀努力．因此，教師個人在自己的專業成長中擔負著主要的、不可推卸的責任．實踐證明，在這個艱難而漫長的過程中，解題反思已經成為種必須而有效的手段．在反思的過程中，教師要實現對數學知識的掌握，對解題方法的理解，對數學思想方法的融會貫通．因此，解題反思不僅能提高教師的解題能力，同時也是教師提高教學能力的重要途
一教師在長期的解題教學中往往難以發現自己解題中存在的問題，或者對解題**現的問題雖然感到困惑卻無能為力．這反映了教師解題理論素養的缺乏或對解題理論理解的淺陋和偏離．突破專業發展瓶頸則為必須．只有將實踐方面的問題上公升到理論層面加以剖析，才能找出根本的、深層的原因．解題反思需要以一定的理論為基礎，對有關理論的系統學習和思考是教師進行有效反思的重要內容和理論依據．單鱒先生的《解題研究》，羅增儒先生的《數學解題學引論》，都是經典的有關數學解題的專著，值得研讀．通過教師理論素養的提高，可以更有效地徑．．
參考文獻
［１］任勇．任勇與數學學習指導［ｍ］．北京師範大學出版社，
２００６．４．
注重解題反思提高數學解題能力
迅速提高數學解題能力，有諸多條件和因素。長期的學習經驗表明，不少同學在完成作業或進行大量解題訓練的過程中，普遍欠缺乙個提高解題能力的重要環節 解題後的 反思 何謂 解題反思 一道數學題經過一番艱辛，苦思冥想解出答案之後，必須認真進行如下探索 命題的意圖是什麼？考核我們哪些方面的概念 知識和能力？驗證...
注重學生反思,提高教學效率
現代教學觀認為學習是建構性的，學習的本質起源於主體的實踐活動。建構即主體內在潛能的自我開發和價值的自我實現，建構的意義在於使學生在自主的互動活動中進行認知 改組 組合 充實。完善，從而獲得知識 經驗 情感，智慧型，能力 個性等素質，培養友愛 合作和創造性等潛能。因此，教學不是將知識以成品的方式教給學...
如何提高教學反思能力
教學反思是教師需要做的一件事情，那麼該如何提高教師的教學反思能力呢?看看下文怎麼說的吧 教學反思是立足於自我之外的批判地考察自己的行動及情境的能力。與教學能力 研究能力一樣，反思能力更是新理念帶給教師專業發展的一種較高層次的能力，也是當今教師必備的重要能力之一。從某種意義上說，教師的反思能力決定著他...