前言提高數學解題能力，是我們最關心的乙個問題。長期的經驗表明，不少學生在完成作業或進行大量解題訓練的過程中，普遍欠缺乙個提高解題能力的重要環節：解題後的"反思"。
何謂"解題反思"？一道數學題經過一番艱辛，苦思冥想解出答案之後，必須認真進行如下探索：命題的意圖是什麼？
考核我們哪些方面的概念、知識和能力？驗證解題結論是否正確合理，命題所提供的條件的應用是否完備？求解論證過程是否判斷有據，嚴密完善？
本題有無其他解法？通過反思，可以提高解題能力，解題能力和思維品質未能在更深和更高層次得到有效提高和昇華。為了提高同學的解題能力，應該倡導和訓練學生進行有效的解題反思。
1解題過程中不積極反思會引發結論笑柄、判斷無據
1.1結論荒唐，引為笑柄
一名同學做立體幾何必修本的一題，由於單位換算和計算出錯，竟然計算出電鍍100克小鏍絲釘需要28688千克鋅！另一名同學計算一顆地球衛星離地面的最遠距離是3公尺！如此荒謬絕倫的錯誤結論，本來只憑生活常識也足可鑑別真偽，可惜解題者竟深信不疑，作業上交，傳為笑話。
1.2以特殊代替一般，"瞞天過海"
高中代數部分作業題：證明函式f(x)=-x+5，在(-∞,0)內是減函式。
一些學生這樣證明：
∵f(-1)=4，f(-2)=13，f(-3)=32，f(-4)=71，…
這是非常明顯的錯解。同學這樣一味的對底數a（a＞0且a≠1）不分青紅皂白，不管指數函式的增減性，把解方程的方法套用於解不等式，並且不理會對數函式的定義域，草率下結論。解後不加反思，造成大錯。
（正確解法略）
1.3臆造"定理"，判斷無據，以日常概念代替科學概念
"垂直於同一直線的兩條直線平行"判定定理這一相近知識套用到立體幾何中來，臆造"定理"，判斷無據。
以上常見的同學解題錯誤，不勝列舉，有的明顯可見，有的稍為隱蔽，但只要學生自己解題後能認真進行反思，是不難發現並及時予以糾正的。可惜不少同學只滿足於一知半解，解完了事，不加探索回顧，任其漏洞百出。這種錯誤思想和做法，像蛀蟲一樣嚴重蛀蝕著學生的思維品質，影響學生解題能力的提高。
由此可見，解題反思的積極意義及其重要性，必須引起師生在教學中的足夠重視。
解題反思能提高數學解題能力主要體現在以下幾個方面：
2積極反思解題規律，查漏補缺，加強基本概念與解題的合理性、正確性
反思解題規律可以培養學生深入鑽研的習慣及探索精神，提高解題能力。同一型別的問題解題方法往往有其規律性，因此當乙個問題解決後，要不失時機地引導學生反思解題方法，認真總結解題規律，力圖從解決問題中找出新的普遍適用的東西，以現在的解決問題的經驗幫助今後的問題解決，提高解題能力。對解數學題，有時一味的做題，對審題不確，概念不清，忽視條件，套用相近知識，考慮不周或計算出錯，難免產生這樣或那樣的錯誤，即學生解數學題，不能保****正確和完善。
所以解題後，必須對解題過程進行回顧和評價，對結論的正確性和合理性進行驗證，對基本概念應該掌握。
3積極反思，系統小結，對知識點做個橫向與縱向的比較，使知識規律條理化
3.1在解題中如何小結應用規律，知識條理化
請看以下三角函式和積互化公式的作用和應用規律的。和差化積、積化和差是三角函式恒等變換的重要手段，和差化積實質上是三角函式的一種特殊的"因式分解"，積化和差是其逆變換。
例1.在△abc中，比較sina+sinb+sinc與sin(a+b+c)的大小。
解：∵(sina+sinb+sinc)-sin(a+b+c)
=[sina-sin(a+b+c]+(sina+sinc)（a、b、c是三角形內角)
∴sina+sinb+sinc＞sin(a+b+c)
和差化積是為了製造公因式
例2．證明sin87°-sin59°-sin93°+sin61°=sin1°
證:原式左=(sin87°-sin93°)+(sin61°-sin59°)
(製造了特殊角87°+93°=180°，59°+61°=120°)
為了和差化積是為了製造特殊角
例3．證明cos2(α+β)+cos2(α-β)-cos2αcos2β=1
(把和差角化為單角為2α，2β)
為了和差化積是為了把和差角化為單角或特殊角
3.2 知識橫向與與縱向的比較，使知識規律清晰
有些同學做題，易犯就事論事，就題論題，"鐵路巡警，各管一段"的毛病，掌握的知識支離破碎，腦海一片空白。例如，問題1：把5個不同的小球放入3個不同的盒子裡，有幾種不同的方法？
問題2：集合a有5個元素，集合b有3個元素，從集合a到集合b可以構造多少個不同的函式，使得函式的值域恰好是集合b？
這兩個問題出自兩個不同的章節，但是事實上你只需弄清函式的概念就可以發現問題一就是問題二的模型，解題思路完全一樣。又如，下列5個命題：
（1）若為偶函式，則的圖象關於直線對稱
（2）若為偶函式，則的圖象關於直線對稱；
（3）若，則的圖象關於直線對稱；
（4）若，則的圖象關於點對稱；
（5）函式與的圖象關於直線對稱.
其中正確的命題是
這個問題的正確答案是（2）（5）。這題目就是要我們對這5個命題做個橫向比較，弄清函式的對稱問題。
比較（1）（2），我們要弄清的問題是：偶函式關於y軸對稱，所以，倘若為偶函式，則是由向左平移2個單位得到，所以的圖象關於直線對稱；倘若為偶函式，則是由向右平移2個單位得到，所以的圖象關於直線對稱。
比較（3）（4），我們要弄清的是關於函式自身的對稱問題的兩個重要結論：
結論1：函式關於直線對稱的充要條件是：對定義域內的任意都滿足，即。
結論2：函式關於點對稱的充要條件是：對定義域內的任意都滿足，即。
所以，若，則的圖象關於直線對稱；
若，則的圖象關於點對稱。
比較（3）（5），我們要弄清函式的對稱分為：函式自身的對稱性與兩個不同函式的對稱性。所以對於命題（5），我們就不能套用上述關於函式自身對稱問題的那兩個結論。
首先我們知道與是關於對稱，而和分別是由和向右平移兩個單位得到，所以函式與的圖象關於直線對稱。
經常對做過的題目做這樣乙個縱向或者橫向的比較，做個歸納與總結，可以讓學生對自己學過的內容有乙個系統的認識，可以達到會做一題就會做百題的效果。
4積極反思，探求一題多解和多題一解，提高綜合解題能力
數學知識有機聯絡縱橫交錯，解題思路靈活多變，解題方法途徑繁多，但最終卻能殊途同歸。即使一次性解題合理正確，也未必能保****解題就是最佳思路，最優最簡捷的解法。不能解完題就此罷手，如釋重負。
應該進一步反思，探求一題多解，多題一解的問題，開拓思路，鞏固知識，掌握規律，權衡解法優劣，在更高層次更富有創造性地去學習、摸索、總結，使自己的解題能力更勝一籌。
著名數學家波利亞就曾說過：「數學問題的解決僅僅只是一半，更重要的是解題之後的回顧與反思。」解題本身而不是學習的目的，而只是在數學解題教學中，教給學生解題後反思的方法，培養反思習慣，不僅能有效地使學生對知識、技能的深化理解，而且對訓練思維、促進知識能力相互轉化具有特殊功效。
積極反思，能促進學生探求一題多解和多題一解，提高綜合解題能力。
4.1一題多解
一題多解，既可看到知識的內在聯絡、巧妙轉化和靈活運用。這些對提高解題能力是多麼重要。例在求軌跡問題時，我講過這樣乙個題目：
已知兩點，點p為座標平面內的動點，滿足，求動點p的軌跡方程.
學生甲：這是最常規的求軌跡問題，設點，代入已知條件，得
化簡得：
根據這位同學的結果，我提出了這樣的問題：為什麼點p的軌跡會是拋物線呢？這個能不能從已知條件中就能先夠得到它的軌跡，從而得到它的方程？
所以我們又得到了另外一種解法：
∴，即···①
①式的幾何意義就是動點p到定點的距離等於它到直線，所以它的軌跡是拋物線，方程是。
通過這樣的一題多解，可以開拓思路，溝通知識，掌握規律，權衡解法優劣，在更高層次更富有創造性地去學習、摸索、總結，使自己的解題能力更勝一籌。
4.2多題一解
在高中二數學學習中這樣一題：8個不同元素排成前後兩排，每排4個元素，有多少種排法？8個不同元素排成3排，前排4個，中排3個，後排1個，有多少種排法？
一步論證，從而可以推出這類題目的統一解法：n個元素排在n個位置上，後善於總結，掌握規律，探求共性，再由共性指導我們去解決碰到的這類問題，便會迎刃而解，發揮多題一解的優勢。
5解題後反思，增強應用意識提高解題能力
5.1反思題意，有的放失
審題是解題的基礎，需要認真閱讀，仔細推敲，完全明確問題的文字陳述和符號的含義，準確把握問題的條件和結論。反思題意能彌補審題的不足，有時需要審視「題眼」，防止誤解。
例如：已知函式f(x)是定義在(-∞，4)上的減函式，是否存在這樣的整數m，使（m-sinx）≤f（-+cosx）對一切實數x都成立。
這是一道由成題改編而來的習題。在實習中一次考試，使用了它，考試結束後，我在考試題中對犯錯誤的進行統計，發現，其中有16%的同學沒有注意定義域(-∞，4)，27%的同學把f(x)當作增函式，33%的同學沒有注意到m是整數，另外還有其他方面的錯誤。可見審題不慎導致錯誤的比例非常大，應引起高度的重視。
5.2反思方法應用，事半功倍
對已經解決的問題進行方法的再思考，是提高解題效益的重要途徑之一。首先，方法的再思考可以省去重新熟悉乙個新題的時間，在已經熟悉的背景下，轉換思維角度，運用新方法、新手段，開闢新途徑。其次，重新思考解題方法，能提高思維的層次，站在乙個新的高度上重新審視這個問題，容易產生巧思妙解。
第三，新方法的產生會有「眾裡尋他千百度，驀然回首，那人還在燈火闌珊處」的美妙感覺，能夠激勵學生學習的信心，激發學習者進一步戰勝數學困難的熱情。還有，在方法的再思考的過程中，能夠進行多角度探索，不僅串聯知識，而且鞏固方法，儘管有時沒有獲得新穎的方法，同樣也有不匪的收益。
總之，教師必須寓興趣的激發和培養與教學的始終，做到「課伊始，趣已生；課進行，趣正濃；課結束，趣猶存。」努力培養學生的解題反思意識與應用，學生只要學會了解題反思，就能以少勝多，較大限度地發揮其解題能力、功能，使效益最大化，有利於跳出題海，激發創新意識，促進數學探索與解題能力。
注重解題反思提高數學解題能力
迅速提高數學解題能力，有諸多條件和因素。長期的學習經驗表明，不少同學在完成作業或進行大量解題訓練的過程中，普遍欠缺乙個提高解題能力的重要環節 解題後的 反思 何謂 解題反思 一道數學題經過一番艱辛，苦思冥想解出答案之後，必須認真進行如下探索 命題的意圖是什麼？考核我們哪些方面的概念 知識和能力？驗證...
注重解題反思,提高教學能力
中學數學研究 年第 期 視關問哄翊 江蘇省丹陽高階中學 史建軍 注問形識佃 解題是教師牢固掌握數學教學內容 數學知識和技能的必要途徑，也是一位教師勝任教學崗位，站穩三尺講台的重要前提，更是教師教學能力的體現 和主要標誌，而注重解題反思是教師熟練掌握解題方法，領會數學思想方法，從而提高教學能力的重要途...
如何提高學生的數學解題能力
關鍵詞 解題程式 思維方法 啟發思維 轉化思維 解決數學問題是學習數學的較高層次。著名數學教育家波利亞 polay 把 解題 作為培養學生數學才能 教會學生思考的一種手段和途徑。中學數學教學的目的，歸根結底在於培養學生的解題能力，提高數學解題能力是數學教學中一項十分重要的任務。提高學生解題能力貫穿於...