型別切線的證明及相關計算
例1（8分）（2014梅州）如圖，在△abo中，oa=ob，c是邊ab的中點，以o為圓心的圓過點c．
（1）求證：ab與⊙o相切；
（2）若∠aob=120°，ab=4，求⊙o的面積．
【思路分析】（1）首先連線oc，然後由oa=ob，c是邊ab的中點，根據三線合一的性質，可證得ab與⊙o相切；
（2）首先求得oc的長，繼而可求得⊙o的面積．
（1）證明：連線oc，
∵在△abo中，oa=ob，c是邊ab的中點，
∴oc⊥ab，
∵以o為圓心的圓過點c，
∴ab與⊙o相切；
（2）解：∵oa=ob，∠aob=120°，
∴∠a=∠b=30°，
∵ab=4，c是邊ab的中點，
∴ac=ab=2，
∴oc=actan∠a=2×=2，
∴⊙o的面積為：π×22=4π．
[, ]
（1）當直線與圓未說明有公共點時，要證明直線與圓相切，需要過圓心作直線的垂線段，證明圓心到直線的距離等於圓的半徑，簡記為「作垂直，證相等」；（2）當題中明確指出了已知直線與圓有乙個公共點時，要證明直線與圓相切，先連線圓心和已知的公共點，再證明這條半徑和直線垂直，簡記為「連半徑，證垂直」；（3）要證明是圓的切線的直線與圓有公共點，且垂直連線公共點的半徑，此時可直接根據「經過直徑一端，並且垂直於這條直經的直線是圓的切線」來證明，口訣「見半徑，證垂直」。
變式題1．(2023年山東東營)如圖，ab是⊙o的直徑，od垂直於弦ac於點e，且交⊙o於點d，f是ba延長線上一點，若∠cdb=bfd．
（1）求證：fd是⊙o的一條切線；
（2）若ab=10，ac=8，求df的長．
變式題2（2014宜賓）已知⊙o的半徑r=3，設圓心o到一條直線的距離為d，圓上到這條直線的距離為2的點的個數為m，給出下列命題：①若d＞5，則m=0；②若d=5，則m=1；③若1＜d＜5，則m=3；④若d=1，則m=2；⑤若d＜1，則m=4．其中正確命題的個數是（ ）a. 1 b.
2 c. 4 d. 5
基礎達標訓練
1·（2014婁底）若兩圓的半徑分別為2cm和6cm，圓心距為了8cm，則兩圓的位置關係為（ ）a. 外切 b. 相交 c. 內切 d. 外離
2.（2014臨夏）已知⊙o的半徑是6cm，點o到同一平面內直線l的距離為5cm，則直線l與⊙o的位置關係是（ ）a. 相切 b.
相交 c. 相離 d. 無法判斷
3.（14瀘州）如圖，⊙o1，⊙o2的圓心o1，o2都在直線l上，且半徑分別為2cm，3cm，o1o2=8cm．若⊙o1以1cm/s的速度沿直線l向右勻速運動（⊙o2保持靜止），則在7s時刻⊙o1與⊙o2的位置關係是（ ）
a. 外切 b. 相交 c. 內含 d. 內切
4. （2014武漢）如圖，pa，pb切⊙o於a、b兩點，cd切⊙o於點e，交pa，pb於c，d．若⊙o的半徑為r，△pcd的周長等於3r，則tan∠apb的值是（ ）
5.（15年原創） △abc的邊ac與⊙o相交於c、d兩點，且經過圓心o，邊ab與⊙o相切，切點為b．已知∠a=40°，則∠abc
6. (2023年江蘇徐州)如圖，以o為圓心的兩個同心圓中，大圓與小圓的半徑分別為3cm和1cm，若圓p與這兩個圓都相切，則圓p的半徑為 cm．
7（2023年山東煙台）如圖，∠aob=45°，點o1在oa上，oo1=7，⊙o1的半徑為2，點o2在射線ob上運動，且⊙o2始終與oa相切，當⊙o2和⊙o1相切時，⊙o2的半徑等於 ．
8.（2014宜賓）如圖，已知ab為⊙o的直徑，ab=2，ad和be是圓o的兩條切線，a、b為切點，過圓上一點c作⊙o的切線cf，分別交ad、be於點m、n，連線ac、cb，若∠abc=30°，則am= ．
9.（10分）（2014宜賓）如圖，在△abc中，以ac為直徑作⊙o交bc於點d，交ab於點g，且d是bc中點，de⊥ab，垂足為e，交ac的延長線於點f．
（1）求證：直線ef是⊙o的切線；
（2）若cf=5，cos∠a=，求be的長．
10.（2014婁底）如圖，在⊙o中，ab，cd是直徑，be是切線，b為切點，連線ad，bc，bd．
（1）求證：△abd≌△cdb；
（2）若∠dbe=37°，求∠adc的度數．
11.（2023年四川巴中）如圖，已知在△abc中，ad是bc邊上的中線，以ab為直徑的⊙o交bc於點d，過d作mn⊥ac於點m，交ab的延長線於點n，過點b作bg⊥mn於g．
（1）求證：△bgd∽△dma；
（2）求證：直線mn是⊙o的切線．
能力提公升拓展
12.（2014內江）如圖，rt△abc中，∠acb=90°，ac=4，bc=6，以斜邊ab上的一點o為圓心所作的半圓分別與ac、bc相切於點d、e，則ad為（ ）
a. 2.5 b. 1.6 c. 1.5 d. 1
13. (2023年山東淄博)如圖，直線ab與⊙o相切於點a，弦cd∥ab，e，f為圓上的兩點，且∠cde=∠adf．若⊙o的半徑為，cd=4，則弦ef的長為（ ）
a． 4 b． 2 c．5 d． 6
14..（2014湘潭）如圖，⊙o的半徑為3，p是cb延長線上一點，po=5，pa切⊙o於a點，則pa= ．
15．（2014蘇州）如圖，直線l與半徑為4的⊙o相切於點a，p是⊙o上的乙個動點（不與點a重合），過點p作pb⊥l，垂足為b，連線pa．設pa=x，pb=y，則（x﹣y）的最大值是 ．
16．（10分）（2014賀州）如圖，ab，bc，cd分別與⊙o相切於e，f，g．且ab∥cd．bo=6cm，co=8cm．
（1）求證：bo⊥co；
（2）求be和cg的長．
17．(2023年四川資陽)如圖，ab是⊙o的直徑，過點a作⊙o的切線並在其上取一點c，連線oc交⊙o於點d，bd的延長線交ac於e，連線ad．
（1）求證：△cde∽△cad；
（2）若ab=2，ac=2，求ae的長．
18．（9分）(2023年湖北咸寧)如圖，已知ab是⊙o的直徑，直線cd與⊙o相切於點c，ad⊥cd於點d．
（1）求證：ac平分∠dab；
（2）若點e為的中點，ad=，ac=8，求ab和ce的長．
19．（2014畢節地區）如圖，在rt△abc中，∠acb=90°，以ac為直徑作⊙o交ab於點d，連線cd．
（1）求證：∠a=∠bcd；
（2）若m為線段bc上一點，試問當點m在什麼位置時，直線dm與⊙o相切？並說明理由．
變式題1.答案
【思路分析】（1）利用圓周角定理以及平行線的判定得出∠fdo=90°，進而得出答案；
（2）利用垂徑定理得出ae的長，再利用相似三角形的判定與性質得出fd的長．
解答：（1）證明：∵∠cdb=∠cab，∠cdb=∠bfd，
∴∠cab=∠bfd，∴fd∥ac，
∵∠aeo=90°，∴∠fdo=90°，
∴fd是⊙o的一條切線；
（2）解：∵ab=10，ac=8，do⊥ac，
∴ae=ec=4，ao=5，
∴eo=3，
∵ae∥fd，
∴△aeo∽△fdo，
∴=，∴=，
解得：fd=．
變式題2 c 【思路分析】根據直線與圓的位置關係和直線與圓的交點個數結合答案分析即可得到答案．
解：①若d＞5時，直線與圓相離，則m=0，正確；
②若d=5時，直線與圓相切，則m=1，故正確；
③若1＜d＜5，則m=3，正確；
④若d=1時，直線與圓相交，則m=2正確；
⑤若d＜1時，直線與圓相交，則m=2，故錯誤．故選c
基礎達標訓練
1. a．【思路分析】根據數量關係來判斷兩圓的位置關係．設兩圓的半徑分別為r和r，且r≥r，圓心距為d：外離，則d＞r+r；外切，則d=r+r；相交，則r﹣r＜d＜r+r；內切，則d=r﹣r；內含，則d＜r﹣r．
解：根據題意，得：r+r=8cm，即r+r=d，∴兩圓外切．
故選a．
2. b 【思路分析】設圓的半徑為r，點o到直線l的距離為d，若d＜r，則直線與圓相交；若d=r，則直線於圓相切；若d＞r，則直線與圓相離，從而得出答案．
解：設圓的半徑為r，點o到直線l的距離為d，
∵d=5，r=6，∴d＜r，∴直線l與圓相交．
故選b．
【解析】：∵o1o2=8cm，⊙o1以1cm/s的速度沿直線l向右運動，7s後停止運動，
∴7s後兩圓的圓心距為：1cm，
此時兩圓的半徑的差為：3﹣2=1cm，∴此時內切，
故選d4. b【思路分析】連線oa、ob、op，延長bo交pa的延長線於點f．利用切線求得ca=ce，db=de，pa=pb再得出pa=pb=．利用rt△bfp∽rt△oaf得出af=fb，在rt△fbp中，利用勾股定理求出bf，再求tan∠apb的值即可．
解：連線oa、ob、op，延長bo交pa的延長線於點f．
∵pa，pb切⊙o於a、b兩點，cd切⊙o於點e
∴∠oap=∠obp=90°，ca=ce，db=de，pa=pb，
∵△pcd的周長=pc+ce+de+pd=pc+ac+pd+db=pa+pb=3r，
∴pa=pb=．
在rt△bfp和rt△oaf中，
，∴rt△bfp∽rt△oaf．
∴===，
∴af=fb，
在rt△fbp中，
∵pf2﹣pb2=fb2
∴（pa+af）2﹣pb2=fb2
∴（r+bf）2﹣（）2=bf2，
解得bf=r，
∴tan∠apb===，
故選：b．
5. 115° 【思路分析】根據切線的性質由ab與⊙o相切得到ob⊥ab，則∠abo=90°，利用∠a=40°得到∠aob=50°，再根據三角形外角性質得∠aob=∠c+∠obc，由於∠c=∠obc，所以∠c=aob=25°, ∠abc=115°．
解：鏈結ob，如圖，
∵ab與⊙o相切，∴ob⊥ab，
∴∠abo=90°，∵∠a=40°，
∴∠aob=50°，∵∠aob=∠c+∠obc，
而∠c=∠obc，
∴∠c=aob=25°, ∠abc=90°+25°=115°．
6. 1或2 【思路分析】如圖所示，符合條件的圓p有兩種情形：圓p與兩圓均外切和圓p與兩圓均內切。需要分類討論．
與圓有關的位置關係
28.2 與圓有關的位置關係 聯合鎮初級中學 肖副國 教學內容 1 切線長的概念 2 切線長定理 從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角 3 三角形的內切圓及三角形內心的概念 教學目標 了解切線長的概念 理解切線長定理，了解三角形的內切圓和三角形的內心的...
圓與圓的位置關係
教學目標 1 探索並了解圓和圓的位置關係.2 探索圓與圓的位置關係中兩圓圓心距與兩圓半徑的數量關係.3 能夠利用圓與圓的位置關係和數量關係解題.教學重點 探索並了解圓與圓的不同位置關係.教學難點 探索圓與圓的位置關係中兩圓的半徑與圓心距的數量關係.教學過程 一 溫故知新 1.點與圓位置關係有種，如何...
圓與圓的位置關係
要點梳理 1 圓與圓之間共有種位置關係，分別是 2 如果兩圓的半徑分別為r r，圓心距為d，那麼 d r r兩圓d r r兩圓 r r d r r兩圓d r r兩圓 d r r兩圓 問題 例1 兩圓相切 如圖，o的半徑為5，點p為 o外一點，op 8 以p為圓心，作 p與 o相切，則 p的半徑r為多...