◆知識概述
1、設兩圓半徑分別為r和r，圓心距為d，那麼：（1）兩圓外離d>r＋r
（2）兩圓外切d=r＋r3）兩圓相交r－r（4）兩圓內切d=r－r(r>r5）兩圓內含dr)
2、兩圓相切的性質：①相切兩圓的連心線（經過兩個圓心的直線）必經過切點；
相交兩圓的連心線垂直且平分公共弦．
◆典型例題
例1、如圖，⊙o的半徑為5厘公尺，點p是⊙o外一點，op=8厘公尺。
求：（1）以p為圓心作⊙p與⊙o外切，小圓⊙p的半徑是多少？
（2）以p為圓心作⊙p與⊙o內切，大圓⊙p的半徑是多少？
解：（1）設小圓⊙p與⊙o外切於點a，則
pa=op－oa=8－5=3cm
所以⊙p1的半徑是3cm
（2）設大圓⊙p與⊙o內切於點b，則pb=op+ob=8+5=13cm
所以⊙p2的半徑是13cm
例2、如圖，已知，⊙o1和⊙o2外切於p，並且⊙o和⊙o1、⊙o2分別內切於m、n，三角形o1o2o的周長為18cm。求：⊙o的半徑長。
解：設⊙o、⊙o1、⊙o2的半徑分別為r、r1、r2
∵⊙o1和⊙o2相外切
∴o1o2=r1+r2
又⊙o和⊙o1、⊙o2分別相內切
∴o1o=r－r1，o2o=r－r2。
△o1o2o的周長為18cm即
o1o2+o1o+o2o=（r1+r2）+（r－r1）+（r－r2）=18。
∴r=9（cm）
例3、⊙o1與⊙o2相交於a、b兩點，求證：直線o1 o2垂直平分ab。
證明：連線o1a、o1b、o2a、o2b
∵o1a= o1b
∴o1在ab的垂直平分線上
∵o2 a=o2b
∴o2在ab的垂直平分線上
∵直線o1 o2垂直平分ab
例4、已知：兩個等圓⊙o1和⊙o2相交於a，b兩點，⊙o1經過點o2。求∠o1ab的度數
解：∵圓o1經過o2
∴∠o1ao2=60°
∵o1a=o1b，o2a=o2b
∴∠o1ab=∠o1ao2=30°
例5、如圖，已知⊙o1和⊙o2相交於點a、b，o1在⊙o2上，ac是⊙o1的直徑，cb與⊙o2相交於點d，鏈結ad。求證：（1）ad是⊙o2的直徑。（2）da=dc。
證明：（1）鏈結ab，
∵ac是⊙o1的直徑，
∴∠abc=90°，
∴∠abd=90°，ad是⊙o2的直徑。
（2）鏈結o1o2，
∵ao1＝o1c，ao2=o2d，
∴o1o2∥cd，
∴∠c=∠ao1o2。
又∵o2a=o2o1，
∴∠o2ao1=∠ao1o2，
∴∠c=∠o1ao2，
∴da=dc。
例6、相交兩圓的公共弦長為6，若兩圓半徑分別為8和5，則兩圓的連心線為________？
解：①圓心在公共弦兩側
為ab的垂直平分線
∴ab⊥，ac=cb
∵ao1=8，ac=3
②圓心在公共弦同側
同①例7、已知：圓o1與圓o2是等圓，相交於a、b，o2在圓o1上，ac是圓o2的直徑，直線cb交圓o1於d，e為ab延長線上一點。
（1）證明：ad是圓o1的直徑；
（2）若∠e=60°，求證：de是圓o1的切線。
證明：（1）∵ac是圓o2的直徑
∴ab⊥dc
∴∠abd=90°
∴ad為圓o1的直徑。
（2）法一：∵ad是圓o1的直徑
∴點o1為ad中點，連o1o2
∵點o2在圓o1上，
圓o1與圓o2的半徑相等
是等邊三角形
∴∠ao1o2=60°
由中位線
∴∠adb=∠ao1o2=60°
∵ab⊥dc，∠e=60°
∴∠bde=30°
∴∠ade=∠adb+∠bde=60°+30°=90°
∵ad直徑
∴de是圓o1的切線
法二：連o1o2
∵點o2在圓o1上，圓o1與圓o2的半徑相等
∴點o1在圓o2上
∴∠o1ao2=60°
∵ab公共弦
∴ab⊥o1o2
∴∠o1ab=30°
∵∠e=60°
∴∠ade=180°－（∠e+∠o1ab）
=180°－（60°+30°）
=90°
∵ad是直徑，∴de是切線
例8、已知，如圖所示，圓o1與圓o2相交於a、b兩點，圓心o1在圓o2上，過b點作兩圓的割線cd，射線do1交ac於e點。求證：oe⊥ac
證明：鏈結ab、作圓o1的直徑ac1
∵ac1為直徑
∴∠bac1+∠ac1b=90°
∵∠c=∠c1
∠c1ab=∠d
∴∠c+∠d=90°
∴de⊥ac
例9、已知，如圖所示，圓o1與圓o2相交於a、b兩點，過a點的弦分別交兩圓於c、d，弦ce//db，鏈結eb，試判斷eb與圓o2的位置關係，並證明你的結論。
證明：鏈結bo2並延長交圓o2於f，
∵bf為直徑
∴∠1+∠2=90°
∵ec//db
∴∠e+∠ebd=180°
∴∠e+∠ebo2+∠3=180°
∵∠2=∠e，∠1=∠3
∴∠2+∠1+∠ebo2=180°
∴∠ebo2=90°，
∴o2b⊥eb，∴eb與圓o2相切。
◆課堂練習
1. 若兩圓無公共點，則兩圓的位置關係為______。
2. 若兩圓有公共點，則兩圓的位置關係為______。
3. 已知兩圓半徑為12.4cm和7.3cm，則兩圓相切時，圓心距等於______。
4. 已知兩圓的半徑之比為3：5，若兩圓內切時圓心距等於6cm，則兩圓的半徑分別為______；若兩圓無公共點，則圓心距d的取值範圍為______。
5. 若兩圓半徑為r和r，圓心距為d，且d6. 若兩圓的半徑分別是2cm和4cm，圓心距是1cm，則兩圓的位置關係是______。
7. 在△abc中，∠c=90°，ac=4cm，bc=3cm，圓a、圓b、圓c兩兩外切，則圓c的半徑是______。
8. 若兩圓直徑分別是8+t和8－t，圓心距為16，則兩圓的位置關係為______。
9. 若兩圓半徑分別為r和r（r>r），其圓心距為d，且有，則兩圓的位置關係為____。 10. 若兩圓半徑分別為r和r，圓心距為d，且，則兩圓位置關係為______。
11. 已知圓o1和圓o2相切，這個圖形是_____對稱圖形，它的對稱軸是_____，切點與對稱軸的位置關係為_____。
12. 兩個半徑相等的圓的位置關係有_____種。
13. 已知兩圓的半徑r、r（）是方程的兩根，兩圓的圓心距為d。
（1）若d=5，試判定兩圓的位置關係；
（2）若d=2，試判定兩圓的位置關係；
（3）若兩圓相交，試確定d的取值範圍；
（4）若兩圓相切，求d的值。
14. 已知，如圖，施工工地的水平地面上，有三根外徑都是1m的水泥管兩兩相切摞在一起，求其最高點到地面的距離。
圓與圓的位置關係
教學目標 1 探索並了解圓和圓的位置關係.2 探索圓與圓的位置關係中兩圓圓心距與兩圓半徑的數量關係.3 能夠利用圓與圓的位置關係和數量關係解題.教學重點 探索並了解圓與圓的不同位置關係.教學難點 探索圓與圓的位置關係中兩圓的半徑與圓心距的數量關係.教學過程 一 溫故知新 1.點與圓位置關係有種，如何...
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