28.2 與圓有關的位置關係
聯合鎮初級中學——肖副國
教學內容
1．切線長的概念．
2．切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角．
3．三角形的內切圓及三角形內心的概念．
教學目標
了解切線長的概念．
理解切線長定理，了解三角形的內切圓和三角形的內心的概念，熟練掌握它的應用．
複習圓與直線的位置關係和切線的判定定理、性質定理知識遷移到切長線的概念和切線長定理，然後根據所學三角形角平分線的性質給出三角形的內切圓和三角形的內心概念，最後應用它們解決一些實際問題．
重難點、關鍵
1．重點：切線長定理及其運用．
2．難點與關鍵：切線長定理的匯出及其證明和運用切線長定理解決一些實際問題．
教學過程
一、複習引入
1．已知△abc，作三個內角平分線，說說它具有什麼性質？
2．點和圓有幾種位置關係？你能說說在這一節中應掌握幾個方面的知識？
3．直線和圓有什麼位置關係？切線的判定定理和性質定理，它們如何？
二、探索新知
問題：在你手中的紙上畫出⊙o，並畫出過a點的唯一切線pa，鏈結po，沿著直線po將紙對折，設圓上與點a重合的點為b，這時，ob是⊙o的一條半徑嗎？pb是⊙o的切線嗎？
利用圖形的軸對稱性，說明圓中的pa與pb，∠apo與∠bpo有什麼關係？
學生分組討論，老師抽取3～4位同學回答這個問題．
老師點評：ob與oa重疊，oa是半徑，ob也就是半徑了．又因為ob是半徑，pb為ob的外端，又根據摺疊後的角不變，所以pb是⊙o的又一條切線，根據軸對稱性質，我們很容易得到pa=pb，∠apo=∠bpo．
我們把pa或pb的長，即經過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長．
從上面的操作幾何我們可以得到：
從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角．
下面，我們給予邏輯證明．
例1．如圖，已知pa、pb是⊙o的兩條切線．
求證：pa=pb，∠opa=∠opb．
證明：∵pa、pb是⊙o的兩條切線．
∴oa⊥ap，ob⊥bp
又oa=ob，op=op，
∴rt△aop≌rt△bop
∴pa=pb，∠opa=∠opb
因此，我們得到切線長定理：
從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角．
與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓，內切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，叫做三角形的內心．
例2．如圖，已知⊙o是△abc的內切圓，切點為d、e、f，如果ae=1，cd=2，bf=3，且△abc的面積為6．求內切圓的半徑r．
分析：直接求內切圓的半徑有困難，由於面積是已知的，因此要轉化為面積法來求．就需新增輔助線，如果鏈結ao、bo、co，就可把三角形abc分為三塊，那麼就可解決．解：略
三、鞏固練習
教材p106 練習．
四、應用拓展
例3．如圖，⊙o的直徑ab=12cm，am、bn是兩條切線，dc切⊙o於e，交am於d，交bn於c，設ad=x，bc=y．
（1）求y與x的函式關係式，並說明是什麼函式？
（2）若x、y是方程2t2-30t+m=0的兩根，求x，y的值．
（3）求△cod的面積．
分析：（1）要求y與x的函式關係，就是求bc與ad的關係，
根據切線長定理：de=ad=x，ce=cb=y，即dc=x+y，
又因為ab=12，所以只要作df⊥bc垂足為f，
根據勾股定理，便可求得．
（2）∵x，y是2t2-30t+m=0的兩根，
那麼x1+x2=，x1x2=，便可求得x、y的值．
（3）鏈結oe，便可求得．
五、歸納小結（學生歸納，老師點評）
本節課應掌握：
1．圓的切線長概念；
2．切線長定理；
3．三角形的內切圓及內心的概念．
六、布置作業
1．教材p117 綜合運用5、6、7、8．
與圓有關的位置關係
型別切線的證明及相關計算 例1 8分 2014梅州 如圖，在 abo中，oa ob，c是邊ab的中點，以o為圓心的圓過點c 1 求證 ab與 o相切 2 若 aob 120 ab 4，求 o的面積 思路分析 1 首先連線oc，然後由oa ob，c是邊ab的中點，根據三線合一的性質，可證得ab與 o相...
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