前面，我們討論了如何求乙個函式的導函式的問題，本章即將討論它的反問題，即要求乙個可導函式，使得它的導函式等於已知函式。這就是積分學的基本問題之一——不定積分。
§5.1 不定積分的概念與性質
5.1.1原函式
如果已知物體的運動方程,則此物體的速度是距離對時間的導數.反過來,如果已知物體的運動速度是時間的函式,求物體運動方程,使得它的導數等於已知函式.這就是求導運算的逆運算。
一般地,我們給出下面的定義：
定義5.1.1 設是定義在某個區間上的函式,如果存在函式對該區間上的每一點都有：
或 ．
則稱函式是已知函式在此區間上的乙個原函式。
例如,在內, ,故是在內的乙個原函式。
5.1.2不定積分的概念
由求導公式和求導法則，可以得出：
為任意常數).
顯然, , , ,等都是的原函式.即的原函式不唯一,且有無窮多個。
一般而言,如果為的乙個原函式,則(為任意常數)也滿足=,所以都是的原函式.此外,由拉格朗日中值定理的推論可知．如果,都是的原函式,則它們相差乙個常數,即=．因此,如果是的乙個原函式,則的所有原函式可以表示為(為任意常數)。
定義5.1.2 函式的所有原函式,稱為的不定積分,記作。
如果是的乙個原函式,則由定義有=．
其中,符號稱為積分號,稱為積分變數,稱為被積函式,稱為被積表示式,稱為積分常數。
因此,求已知函式的不定積分,也就是求出它的乙個原函式再加上任意常數．
【例題1】 求．
解:因為=, 所以=+.
【例題2 】 求．
解:因為=, 所以=+.
【例題3 】 求．
解:當時, ,
當時, 而
因此,當時,為的乙個原函式,故
=+ (為任意常數)。
5.1.3不定積分的幾何意義
由於函式的不定積分中含有任意常數,因此對於每乙個給定的,都有乙個確定的原函式.在幾何上,相應地就有一條確定的曲線,稱為的積分曲線。
向上、下移動而得到。
給定乙個初始條件,就可以確定乙個的值,因而就確定了乙個原函式。例如,給定初始條件時,則由得到常數,於是確定了一條積分曲線。
【例題4】求過點(0,1),且切線斜率為的曲線方程．
解:由,得到曲線簇,
將點(0,1)代入,得=1.所以就是所求曲線。
5.1.4不定積分的性質
性質1 （1） 或
（2） 或
也就是，不定積分的導數（或微分）等於被積函式（或被積表示式），乙個函式的導數（或微分）的不定積分與這個函式相差乙個任意常數。簡而言之：「先積後微,形式不變;先微後積,差個常數」。
性質2是常數,且)
即：被積函式中不為0的常數因子可以提到積分號外面。
性質3即:兩個函式和差的積分等於函式積分的和差。
這個公式可以推廣到任意有限多個函式和的情形,即
練習5.1
1. 利用不定積分的定義求解下列各題．
(1) ； (2) ； (3) ；(4) .
2.利用不定積分的性質填空 ．
(12(34
3.解下列問題．
(1) 已知曲線上任一點的切線斜率為,並且曲線經過點(1,-2),求此曲線的方程．
(2) 已知質點在時刻的速度為,且=0時距離,求此質點的運動方程．
§5.2 基本積分公式
因為求不定積分是求導數的逆運算,所以由基本導數公式對應地可以得到基本積分公式(如表5-1)：
表5-1
利用不定積分的性質和基本積分公式，我們可以求一些簡單函式的積分。
【例題1】求.
解: =
= (其中)
【例題2】求．
解:把被積函式化為的形式,然後應用公式：
== =
【例題3】求．
解: ==
【例題4】求．
解: =
【例題5】求．
解: =
注：1.分項積分後,按理每個積分都由乙個任意常數,但由於任意常數的和仍為任意常數,所以只要總的寫出乙個任意常數即可。
2.檢驗結果是否正確,只要將結果求導,看它的導數是否等於被積函式。
練習5.2
1.計算下列不定積分.
(1) (2) (3456)
(7) (8) (9101112)
§5.3換元積分法
利用基本積分表及不定積分的性質所能計算的不定積分是很有限的,因此有必要尋找其它的積分方法。因為積分運算是微分運算的逆運算,本節我們將把求復合函式微分的步驟倒過去,利用中間變數代換,得到復合函式積分法,稱為換元積分法。按照選取中間變數的不同方式通常將換元法分為兩類,下面分別進行介紹。
5.3.1第一類換元積分法
如果積分可以化為的形式,且設的原函式為,可導,即=+, 則有第一類換元法：
===+=+。
由於在積分過程中,先要從被積表示式中湊出乙個微分因子,故第一類換元法又稱為湊微分法。
第一類換元法的主要思想是:通過各種運算(例如代數運算、三角恒等變換等)將所求積分湊成積分表裡已有的形式。合理選擇,並從被積函式中分離出,是應用這種積分換元法的關鍵。
一般說來,應選取這樣的函式作為：
(1)易分離且易求,即由易得出；
(2) 被積函式中所剩部分化為的函式,令後,的原函式要易求。
【例題1】求.
解:被積函式中,是乙個復合函式: =, ,常數因子2恰好是中間變數的導數.因此我們作變換,便有
===+,
再以代入,即得=+。
【例題2】求.
解:被積函式=,.由於=2是個常數,故可以改變係數湊出這個因子： =2= ,
從而令,便有
==當運算熟練以後,可以不必把寫出來,而直接計算下去：
【例題3 】 求.
解: ==+.
【例題4 】 求 ().
解: =
【例題5 】 求 ().
解: =
【例題6 】 求.
解: ===.
【例題7 】 求．
解: ==.
【例題8】求．
解： =
從上述例題可以看出,利用第一類換元法計算積分的種類很多,我們將常用的湊微分形式列舉如下：
(12);
(34);
(56);
(78);
(910);
(1112);
(13).(k為常數)
5.3.2第二類換元積分法
第一類換元法是通過變數代換計算積分。而第二類換元法則相反,它是通過變數代換將積分化為.在求出乙個積分後,再以的反函式代回.這樣,換元公式可表示為：
=.若=+,則得到第二類換元積分公式：
=+.使用第二類換元法的關鍵是如何選擇函式,常見的方法有：
(1) 無理代換當被積函式含有無理式時,只需作代換,就可將無理式化為有理式,然後求解；
(2) 三角代換若被積函式含有無理式,可令；
若被積函式含有無理式,可令；
若被積函式含有無理式,可令；
然後將它們化為有理式再積分。
【例題9 】 求.
解: 令,則,
所以 =
【例題10】 求（）．
解：設，則
於是 =
【例題11】 求（）．
解：設，則， ，而
，於是=
利用例8的結果，得
==其中）.
【例題12】 求（）．
解:設,則,而
, ,
於是 ===
其中）.
練習5.3
1. 計算下列不定積分.
(1); (2); (3456);
(7); (8); (9101112);
(131415161718);
(1920).
2.計算下列不定積分.
(1); (2); (3456);
第五章 不定積分自測題
第五章選擇題1設，則當時是的 b a 等價無窮小b 同解無窮小非等價無窮小 c 高階等價無窮小 d 低階等價無窮小 2設，則 d ab c d 解 奇函式在對稱區間積分為0得 0 03設有連續導數，且當 時，與是同階無窮小，則等於 c a 1b 2 c 3d 4 若，若 0 當 c 常數 4 設，則...
不定積分公式
不定積分的積分公式主要有如下幾類 含ax b的積分 含 a bx 的積分 含有x 2 2的積分 含有ax 2 b a 0 的積分 含有 a x 2 a 0 的積分 含有 a 2 x 2 a 0 的積分 含有 a x 2 bx c a 0 的積分 含有三角函式的積分 含有反三角函式的積分 含有指數函式...
不定積分培優講義
不定積分 內容要點 1.影子法 liate 2.基本的2個？一 基本概念與性質 1 原函式與不定積分的概念 2 不定積分的性質 設 其中為的乙個原函式，為任意常數。則 1 或 2 或 3 4 3 原函式的存在性 1 設在區間上連續，則在區間上原函式一定存在2 初等函式的原函式不一定是初等函式 二 基...