習題 a
一、選擇題
1、，則下列不等式成立的是（ ）；
（a）（b） （c） （d）
2、定積分
（a）0bcd）
3、設，則（ ）；
（abcd）
4、下列各式中正確的是（ ）；
（a） （b）
（c） d.
5、定積分，作適當變換後應等於（ ）；
（a） （b） （cd）
6、如，則（ ）
（a） （b） （c） （d）
7、曲線圍成圖形面積為（ ）；
（a）；（b）；（c）；（d）
8、橢圓的面積為（ ）；
（a）；（b）；（c）；（d）
9、曲線（）與x軸圍成的平面圖形繞x軸旋轉一周而成的旋轉體體積等於（ ）；
（abc） （d）
10、由曲線與x軸圍成的平面圖形的面積=（ ）。
（a）（b）
（c）（d）
二、定積分的計算
1、 利用定積分的定義計算： 。
2345、。
67、。
89、 。
1011、。
1213、。
1415、。
1617、。
1819、。
2021、。
2223、，求。
24、已知，求值，使。
2526、 。
27、。
28、求由確定的隱函式對自變數的導數。
29、設求的值。
30、已知是連續函式，求。
三、解答題
1、求常數和，使得。
2、（1）設，求；
（2）求。
3、（1）求的單調區間；
（2）設，求。
4、（1）設在上連續，證明；
（2）設，求；
（3）設連續，且，證明在上有且僅有一根。
5、（1）設為的乙個原函式，求；
（2），連續，求。
6、設，求。。
7、設函式，其中連續，存在且；
（1）求的值，使得在處連續；
（2）再研究在處的連續性。
8、設連續，且滿足，求。
9、求函式在區間上的最大值。
10、求，其中連續，且已知。
四、證明題
1、設在上連續，證明。
2、設連續，且，證明在上有且僅有一根。
3、求證：。
4、設連續，證明。
5、設是以為週期的函式，證明。
6、證明。
五、求面積體積
1、求由曲線與直線所圍平面圖形的面積。
2、求由曲線與直線所圍平面圖形的面積。
3、求由曲線與直線所圍平面圖形的面積及該圖形繞軸旋轉一周的體積。
4、求曲線及直線所圍平面圖形的面積。
5、直線平分由曲線與直線及所圍平面圖形的面積，求。
6、求曲線及所圍平面圖形繞軸，繞軸旋轉一周生成的立體體積。
7、求拋物線及在點處切線、軸所圍平面圖形的面積。
8、求由曲線直線及所圍平面圖形的面積及繞軸旋轉一周所生成的立體體積。
9、（1）求由曲線及直線軸圍成圖形的面積（）；
（2）當為何值時，面積最大。
習題b一、選擇題
1、把時的無窮小排列起來，使得排列在後面的是前乙個的高階無窮小，則排列次序是（ ）；
（a） （b）, （c） （d）
2、設連續，則
（a） （b） （c）2 （d）-2
3、設連續，，則
（ab）
（cd）
4、當時，與比較是（ ）；
（a）高階無窮小 （b）低階無窮小 c.同階但非等價無窮小 d.等價無窮小
5、設則下列結論中正確的是（ ）；
（a）是極大值，是極小值
（b）是極小值，是極大值
（c）和是極小值，是極大值
（d）和是極大值，是極小值
6、設有連續導數且＝０，，令當時，與相比是同階無窮小，則（ ）；
（a）1 （b） 2 （c） 3 （d） 4
7、設在的某鄰域內連續，當時，是的高階無窮小，則當時，是的（ ）；
（a）等價無窮小（b）同階但非等價無窮小 （c）高階無窮小 （d）低階無窮小
8、設在［０，１］連續且，
記，則下列不等式成立的是（ ）；
（a） （b） （c） （d）
9、曲線與其過原點的切線及軸所圍成的圖形面積為（ ）；
（a）b.（c） （d）
10、設在連續，，令
，則（ ）；
（a） （b） （c） （d）
11、設，則
（a） （b） （cd）0
12、設廣義積分收斂，則的取值範圍是（ ）；
abc） （d）
13、已知則（ ）；
（ab） （c） （d）
14、曲線（）與x軸圍成的平面圖形繞x軸旋轉一周而成的旋轉體體積等於（ ）；
abc） （d）
15、由曲線與x軸圍成的平面圖形的面積=（ ）；
（a）（b）
（c）（d）
16、雙紐線圍成的平面圖形的面積為
（a）（b）（c） （d）
17、設其中則下列結論正確的是
（a）只依賴 （b）只依賴 （c）只依賴 （d）只依賴
18、設連續，則下列函式中必為偶函式的是
（a） （b）（c） （d）
二、定積分的計算
1、 設求。
23、。
45、 。
67、。
89、 。
1011、。
1213、。
14、。
15、已知曲線與在（0，0）處切線相同，寫出此切線方程，並求極限。
16、設為連續函式，，求。
三、解答題
1、設函式連續，且，已知，求。
2、設函式在內滿足，且，計算
。3、設函式在上連續，
（1）證明：；
（2）當，利用（1）的結論求。
4、已知求在[0，1]上的表示式；
5、設求。
四、證明題
1、設連續，，
證明：。
2、設在上連續，在內可導且，證明在內有。
3、設在上連續且，
證明（1）；（2）方程在內有且僅有乙個根。
4、證明（1）
5、設是[0，1]上單調減少的正值連續函式，則。
6、證明等式，其中連續，。並計算
7、設為連續函式，證明。
8、設在[0，1]上連續，在（0，1）內可導，且滿足
證明至少存在一點，使得。
五、求面積體積
1、求心臟線與圖所圍各部分的面積。
2、求由曲線和該曲線的經過原點的切線以及軸所圍圖形的面積。
3、求由，， 所圍成的平面圖形繞軸旋轉而得旋轉體體積。
4、求由曲線所圍成的平面圖形的面積。
5、已知曲線與曲線在點處有公共切線，求：
求：（1）常數及切點；
（2）兩曲線與軸圍成的平面圖形的面積；
（3）兩曲線與軸圍成的平面圖形繞軸旋轉而得旋轉體體積。
6、設曲線軸和軸所圍區域被曲線分為面積相等的兩部分，試確定的值。
7、由拋物線繞軸旋轉一周構成的容器，現於其中盛水，水高，問要將水全部抽出，外力需要作多少功？（水的比重為）
8、求曲線在（2，6）內的一條切線，使得該切線與和曲線所圍成的圖形面積最小。
9、設直線與拋物線所圍成的圖形面積為，它們與直線所圍成的圖形面積為，並且，
（1）確定的值，使達到最小，並求出最小值；
（2）求該最小值所對應的平面繞軸旋轉一周而得旋轉體體積。
10、設有邊長為，的矩形板及密度為的液體，將矩形板與液面成角斜沉於液體中，且矩形的長度為的一組平行邊平行於液面，上部一邊在液面下處，求它每面所承受的壓力。
習題 a答案
一、選擇題
（1）d （2）c（3）c （4）c （5）b （6）a （7）c （8）a （9）c （10）c
二、計算題
1、 提示：化極限的形式，此極限是定積分的值
2、 3、
4、（週期為的函式在上的積分與上的積分相等）
5、 6、 7、 8、2 9、
10、11、
12、13、
14、本題另一解法：先作變數代換再用奇偶性來解
15、16、
17、18、
19、20、
21、22、
， 23、
24、 。
25、26、27、2 28、
29、由題設即所以。
30、解法1：注意到=0，使用羅比達法則，有
解法2；利用積分中值定理，有
=在與之間）
解法3：利用微分中值定理，令，則，於是
== （在與之間）
三、解答題
1、2、（1）
（2）3、（1）
。 （2）兩邊對求導：
4、（1）
（2）（3）
存在性）
又因為：，
所以最多有1個實根；（唯一行）
在上有且僅有一根。
5、（1）
（2）注：本題也可以用積分中值定理來解。
7、解：
由於，可知當時，在處連續。
8、等式兩邊同時對求導：故所以
9、可證在上單調增加，故在取得最大值，可算得
四、證明題
第五章定積分及其應用
1 定積分的概念與性質 目的要求 理解定積分的概念和性質，能熟練的應用定積分的性質。重點 定積分的性質。難點 定積分的概念。教學方法 講授法 練習法 教學手段 板書 多 教參 高等數學 同濟大學版 教學環節及組織 引入新課 定積分是微積分學中的乙個重要概念，本章先從實際問題中引出定積分的概念，然後討...
第五章透鏡及其應用
1.凸透鏡 中間厚，邊緣薄的透鏡叫做 它對光線有作用。2.凹透鏡 中間薄，邊緣厚的透鏡叫做 它對光線有作用。3.射到地面上的光是相互平行的，叫做平行光。凸透鏡能使平行於主光軸的光匯聚在一點，這個點叫做 焦點到光心的距離叫做 4.透鏡與面鏡的區別 透鏡使光發生射，面鏡使光發生射。5.生活中的透鏡 照相...
第五章不定積分
前面，我們討論了如何求乙個函式的導函式的問題，本章即將討論它的反問題，即要求乙個可導函式，使得它的導函式等於已知函式。這就是積分學的基本問題之一 不定積分。5.1 不定積分的概念與性質 5.1.1原函式 如果已知物體的運動方程,則此物體的速度是距離對時間的導數.反過來,如果已知物體的運動速度是時間的...