不定積分
內容要點
1.(影子法 liate)
2.基本的2個？
一、基本概念與性質
1．原函式與不定積分的概念
2．不定積分的性質
設 ，其中為的乙個原函式，為任意常數。則（1） 或
（2） 或
（3）（4）
3．原函式的存在性
1）設在區間上連續，則在區間上原函式一定存在2）初等函式的原函式不一定是初等函式
，，，，，
二、基本積分公式
1． （，實常數）
2． 3． （，）
4． 5．
6． 7．
8． 9．
10.11.
12.13.
14. （）
15. （）
16. ()
17. ()
三、換元積分法和分部積分法
1．第一換元積分法(湊微分法影子法)
設，又可導，則
[, , ]
常用的幾種湊微分形式：
(1) ()
(2) ()
(3)(4)
(5)(6) ()
(7)(8)
(9)(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18) ()
(19) ()
(20)
2．第二換元積分法
，其中為的反函式。
第二換元積分法絕大多數用於根式的被積函式，通過換元把根式去掉，其常見的變數替換分為兩大類：
第一類：被積函式是與或與或由構成的代數式等的根式，例如等，只要令根式，解出已經不再有根式，那麼就作這種變數替換即可第二類：被積函式含有，如果仍令，解出仍是根號，那麼這樣變數替換不行，要作特殊處理將時先化為；時，先化為然後再作下列三種三角替換之一：
值得注意：如果既能用上述第二換元積分法，又可以用第一換元積分法，那麼一般用第一換元積分法比較簡單。
【例1】
【例2】
去根號倒代換高次代換三角代換、部分影子代換3. 分部積分法。
設均有連續的導數，則
或使用分部積分法時被積函式中誰看作、誰看作有一定規律。
l i a t e
典型例題
一、直接積分法
【例1】 求.
解原式【例2】 求下列不定積分
（12）
解 （1）
＝（2）
＝【例3】 求
解原式＝
＝【例4】 求下列不定積分
（1） （2）
解 （1）
（2）＝
二、第一換元積分法
【例1】 求下列不定積分
（1）（n＞1，正整數） （2）
解 （1）原式＝
＝（2）原式＝＝＝
【例2】 求下列不定積分 n=1,2,3,4,5,6（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（1）（2）
（3）（4）（5）
（6）【例3】 求下列不定積分
（1） （2）
（3） （4）
分析這四個題中均含有.而,因而可以用湊微分的方法積分。
解 （1）
.(2) ＝＝.
（3）解一換元積分法令，則，＝＝.
解二湊微分＝＝.
(4)分析利用（1）和（3）對題（4）先化簡.再湊微分解 ＝
.【例4】 求下列不定積分
（1） （2）
解 （1）
（2）三、第二換元積分法.
【例1】 求解 ＝
＝【例2】 求下列不定積
（1） （2） （a＞0）
（3） （a＞0） （4）
解 （1）令，則
＝（2）令，則＝＝
（3）令，則
＝（4）令，則，代入積分式得＝＝
＝＝四、分部積分法（有時還用了換元積分法）
【例1】 求下列不定積分
（1） （2）
（3）解 （1）
（2）＝
＝（3）＝＝
＝＝＝【例2】 求下列不定積分
（1） （2）
（3）解 （1）＝＝
＝（2）解一 ＝＝
解二令，則
＝（3）＝＝
【例3】 求下列不定積分
（1） （2）
解 （1）＝＝
＝＝（2）解一 ＝＝
＝＝＝解二令，則＝＝
＝【例4】 求下列不定積分
（1） （） （2）
解 （1）＝＝
（2）＝
【例5】 求下列不定積分
（1） （2）
解 （1）＝＝
（2）令，則＝＝
＝五、其他
【例1】 設的乙個原函式，求
解 【例2】 設，當時，，又，，求 .
解 而
，，，又
因此則【例3】 設，求
解一令，則，，
則 解二令，則，
則【例4】 設 ，求證
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