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§4.1不定積分的概念與性質
課程性質
公共基礎課
所屬課程教學內容教學目標
高等數學（甲）（ⅰ）不定積分的概念和性質
理解並掌握原函式與不定積分的概念；熟練掌握不定積分的基本公式，了解不定積分的基本運算法則，能夠用不定積分的基本公式和性質求不定積分
教學重點教學難點教學方法
原函式和不定積分的概念,不定積分的性質及幾何意義，不定積分的基本公式不定積分的概念及幾何意義和用不定積分的性質求不定積分講授法
教學過程
教法運用及
板書要點
一、原函式與不定積分的概念
定義1如果在區間i上可導函式f(x)的導函式為f(x)即對任一xi都有
f(x)f(x)或df(x)f(x)dx
那麼函式f(x)就稱為f(x)(或f(x)dx)在區間i上的原函式例如因為(sinx)cosx所以sinx是cosx的原函式又如當x(1)時因為(提問:cosx和12x
x)21x所以x
是12x的原函式
還有其它原函式嗎？
原函式存在定理如果函式f(x)在區間i上連續那麼在區間i上存在可導函式f(x)使對任一xi都有
f(x)f(x)
1簡單地說就是連續函式一定有原函式兩點說明
第一如果函式f(x)在區間i上有原函式f(x)那麼f(x)就有無限多個原函式f(x)c都是f(x)的原函式其中c是任意常數
第二f(x)的任意兩個原函式之間只差乙個常數即如果(x)和f(x)都是f(x)的原函式則(x)f(x)c(c為某個常數)
定義2在區間i上函式f(x)的帶有任意常數項的原函式稱為f(x)(或f(x)dx)在區間i上的不定積分記作
f(x)dx
其中記號稱為積分號f(x)稱為被積函式f(x)dx稱為被積表示式x稱為積分變數
根據定義如果f(x)是f(x)在區間i上的乙個原函式那麼f(x)c就是f(x)的不定積分即
f(x)dxf(x)c
因而不定積分f(x)dx可以表示f(x)的任意乙個原函式x3
22【例1】因為(
3)x，得xds
x33c；
【例2】求函式
f(x)
1x1的不定積分1dx
x1xlnxc
解：當x>0時(lnx)當x<0時[ln(x)]1xx
(x>0)
(x<0)
(1)1dx
xln(x)c
合併上面兩式得到1dx
xln|x|c
(x0)
【例3】設曲線通過點(12)且其上任一點處的切線斜率等於這點橫座標的兩倍求此曲線的方程
解設所求的曲線方程為yf(x)按題設y'2x，所以
y2xdxxc，代入y|x122設
c1於是所求曲線方程為yx21
積分曲線函式f(x)的原函式的圖形稱為f(x)的積分曲線從不定積分的定義即可知下述關係
2ddx
[f(x)dx]f(x)
或d[f(x)dx]f(x)dx
又由於f(x)是f(x)的原函式所以f(x)dx
f(x)c
或記作df
(x)f(x)c
由此可見微分運算（以記號d表示）與求不定積分的運算（簡稱積分運算以記號表示）是互逆的當記號與d連在一起時或者抵消或者抵消後差乙個常數
二、基本積分表（p188）(1)kdx
(3)1
xkxc
(k是常數)(2)xdx(4)exdx(6)cos
(8)1
1x1c
dxln|x|c
axlna
exc2
(5)axdx(7)sin(9)
1sin
2cxdxsinxc
xdxcosxc
1cos2x
dxsec
xdxtanxc
xdxcsc
2xdxcotxc
(10)
11x2
dxarctanxc
(11)
11x2
dxarcsinxc
(12)sec
xtanxdxsecxc
(13)csc(15)ch
xcotdxcscxc
(14)shxdx
chxc
xdxshxc
3【例4】1x3
dxxdx5
131x31c
512x2
c27x3
xc【例5】x
2xdx
x2dx
1521x2
1c277
x2c【例6】
dxx3xx
43dxx43
143c3x113c
33cx
三、不定積分的性質
性質1函式的和的不定積分等各個函式的不定積分的和即[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx
這是因為,[f(x)dxg(x)dx][f(x)dx][g(x)dx]f(x)g(x).
性質2求不定積分時被積函式中不為零的常數因子可以提到積分號外面來即3kf
(x)dxkf(x)dx
(k是常數k0)51
【例7】
x(x5)dx(x25x2)dx51
521x2dx5x2dx【例8】
(x1)3
x2dx
x2dx
x25x2dx277
x2523
3x2c
x33x23x1
dx(x312
3x1x2
)dx1x
xdx3dx3
1xdx
1xdx2
x23x3ln|x|
c【例9】(ex3cos【例10】2【例11】xx
x)dxex
xdx3cosxdx
ex3sinxc2xex1ln211x
2edx(2e)dx
dx(2e)xln(2e)
cc1x
1xx2x(1x)11x42
xx(1x2)x(1x)dxarctan
2dx(
)dxdx2
1xln|x|c
dx【例12】x2dx
1x(x21
13x4111x212dx
(x21)(x21)1
1x21
1x)dxx2
dxdx
1x2dx
x3xarctanxc
2【例13】tan【例14】sin【例15】
2xdx(sec
2x1)dxsecxdxdx
tanxxc
12(xsinx)c2x2
dx1cosx2dx
12(1cosx)dx
1sin2x2
cos2
x2dx4
1sin2x
dx4cotxc
【例16】設f'(sinx)cosx解2
2求f(x)
2f'(sinx)cosx1sin
x；f'(u)1u
2f(u)
f'(u)du13
3(1u)duu213
uc3f(x)xxc
11x2
【例17】若f'(x)
且f(1)
32證明
f(x)=arcsinx4證
f'(x)
11x2
f(x)
32f'(x)dx
11x2
dxarcsinxc
f(1)arcsin1c
cf(x)arcsinx
教學總結與反思5
高等數學 上冊 教案17不定積分的概念和性質
第4章不定積分 不定積分的概念和性質 教學目的 1.理解原函式的概念 2.理解不定積分的定義，及幾何意義 3.掌握不定積分的基本公式和性質 4.會用直接積分法計算不定積分。教學重點 1.原函式的概念 2.不定積分的概念及幾何意義 3.不定積分的基本公式和性質。教學難點 1.基本積分公式 2.用直接積...
不定積分的典型例題
例1 計算 解法1而所以解法2 解法3由拼接法可有 例2.求 解將被積函式化為簡單的部分分式 兩邊同乘以，約去的因子後令得 兩邊同乘以，對求導，再令，施以上運算後，右端得a,而左端為在分解式 中令得所以分解式 兩邊同乘以，再令得故有例3.求 解令再用部分分式，則 兩邊乘以再令得兩邊乘以再令得兩邊乘以...
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