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卓越考研教研組彙編
第四章不定積分
a 基本內容
一、基本概念與性質
1、原函式與不定積分的概念
(1) 原函式
設函式和在區間上有定義，若在區間上成立，則稱為在區間上的原函式，
(2) 不定積分
在區間中的全體原函式稱為在區間的不定積分，記以。
其中稱為積分號，稱為積分變數，稱為被積函式，稱為被積表示式。
2、原函式的存在性
設在區間上連續，則在區間上原函式一定存在。
初等函式的原函式不一定是初等函式。例如，，，，，等。被積函式有原函式，但不能用初等函式表示，故這些不定積分均稱為積不出來。
3、不定積分的性質
設，其中為的乙個原函式，為任意常數。
則（1） 或
（2） 或
（3）（4）二、基本積分公式
1．2．3．4．5．6．7．8．9．10．11．12．13．14．15．16．17．三、換元積分法和分部積分法
1、第一換元積分法（湊微分法）
設，又可導，則
這裡要求考生對常用的微分公式要「倒背如流」，也就是非常熟練地湊出微分。
常用的幾種湊微分形式：
（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）
（11）
（12）
（13）
（14）
（15）
（16）
（17）
（18）
（19）
（20）
2、第二換元積分法
設可導，且，若，
則 其中為的反函式。
第二換元積分法主要使用在以下情況：
(1)、冪代換
被積函式是與或與或由構成的代數式的根式，例如等。
只要令根式，解出已經不再有根式，那麼就作這種變數替換即可。
(2)、三角代換
被積函式含有，如果仍令解出仍是根號，那麼這樣變數替換不行，要作特殊處理，將時先化為，時，先化為然後再作下列三種三角替換之一：
值得注意：如果既能用上述第二換元積分法，又可以用第一換元積分法，那麼一般用第一換元積分法比較簡單。
例1、例2、
例3、(3)、倒代換
(4)、指數代換
3、分部積分法
設，均有連續的導數，則
或使用分部積分法時被積函式中誰看作誰看作有一定規律。
（1），，情形，為次多項式，為常數，要進行次分部積分法，每次均取，，為；多項式部分為。
（2），，情形，為次多項式取為，而，，為，用分部積分法一次，被積函式的形式發生變化，再考慮其它方法。
（3），情形，進行二次分部積分法後要移項，合併。
（4）比較複雜的被積函式使用分部積分法，要用湊微分法，使盡量多的因子和湊成。
b 典型例題
一、直接積分法
所謂直接積分法就是用代數或三角恒等式，並用積分的性質和基本積分公式能直接求出不定積分，它要求初等數學有關公式很熟練。
例1、求
例2、求下列不定積分
（12）
（34）
例3、求
例4、求下列不定積分
（12）
例5、求下列不定積分
（12）
（34）
分析：三角函式中的倍角公式
，在不定積分的計算中常可起到簡化計算的作用。上述四個題都是用倍角公式進行化簡，再用基本積分公式積分。
二、第一換元積分法
例1、求下列不定積分
（1） （2）
（3例2、求下列不定積分
（12）
（34）
例3、求下列不定積分：
（12）
（34）
分析：這四個題中均含有，而，因而可以用湊微分的方法積分。
例4、求下列不定積分
（12）
（3） （4）
例5、求下列不定積分
（1） （2）
（34）
例6、求下列不定積分
（12）
（34）
三、第二換元積分法
例1、求
例2、求下列不定積分
（12）
（34）
例3、求下列不定積分
（12）
（3） （4）
四、分部積分法（有時還用了換元積分法）
例1、求下列不定積分
（12）
（34）
（56）
例2、求下列不定積分
（12）
（34）
不定積分培優講義
不定積分 內容要點 1.影子法 liate 2.基本的2個？一 基本概念與性質 1 原函式與不定積分的概念 2 不定積分的性質 設 其中為的乙個原函式，為任意常數。則 1 或 2 或 3 4 3 原函式的存在性 1 設在區間上連續，則在區間上原函式一定存在2 初等函式的原函式不一定是初等函式 二 基...
不定積分公式
不定積分的積分公式主要有如下幾類 含ax b的積分 含 a bx 的積分 含有x 2 2的積分 含有ax 2 b a 0 的積分 含有 a x 2 a 0 的積分 含有 a 2 x 2 a 0 的積分 含有 a x 2 bx c a 0 的積分 含有三角函式的積分 含有反三角函式的積分 含有指數函式...
不定積分的典型例題
例1 計算 解法1而所以解法2 解法3由拼接法可有 例2.求 解將被積函式化為簡單的部分分式 兩邊同乘以，約去的因子後令得 兩邊同乘以，對求導，再令，施以上運算後，右端得a,而左端為在分解式 中令得所以分解式 兩邊同乘以，再令得故有例3.求 解令再用部分分式，則 兩邊乘以再令得兩邊乘以再令得兩邊乘以...