摘要：總結不定積分基本定義，性質和公式，求不定積分的幾種基本方法和技巧，列舉個別典型例子，運用技巧解題。
一． 不定積分的概念與性質
定義1 如果f（x）是區間i上的可導函式，並且對任意的xi，有 f』(x)=f(x)dx則稱f（x）是f(x)在區間i上的乙個原函式。
定理1（原函式存在定理）如果函式f(x)在區間i上連續，那麼f(x)在區間i上一定有原函式，即存在可導函式f（x），使得f（x）=f(x)（xi）
簡單的說就是，連續函式一定有原函式
定理2 設f（x）是f(x)在區間i上的乙個原函式，則
（1） f（x）+c也是f(x)在區間i上的原函式，其中c是任意函式；
（2） f(x)在i上的任意兩個原函式之間只相差乙個常數。
定義2 設f（x）是f(x)在區間i上的乙個原函式，那麼f(x)的全體原函式f（x）+c稱為f(x)在區間i上的不定積分，記為f(x)d(x),即f(x)d(x)=f(x)+c
其中記號稱為積分號，f(x)稱為被積函式，f(x)d(x)稱為被積表示式，x稱為積分變數，c稱為積分常數。
性質1 設函式f(x)和g(x)存在原函式，則[f(x) g(x)]dx=f(x)dxg(x)dx.
性質2 設函式f(x)存在原函式，k為非零常數，則kf(x)dx=kf(x)dx.
二． 換元積分法的定理
如果不定積分g(x)dx不容易直接求出，但被積函式可分解為g(x)=f[(x)]』(x).
做變數代換u= (x),並注意到『（x）dx=d (x),則可將變數x的積分轉化成變數u的積分，於是有g(x)dx=f[(x)]』(x)dx=f(u)du.
如果f(u)du可以積出，則不定積分g(x)dx的計算問題就解決了，這就是第一類換元法。第一類換元法就是將復合函式的微分法反過來用來求不定積分。
定理1 設f(u)是f(u)的乙個原函式，u= (x)可導，則有換元公式
f[(x)]』(x)dx=f(u)du=f(u)+c=f[(x)]+c.
第一類換元法是通過變數代換u= (x),將積分f[(x)』(x)dx化為f(u)du.但有些積分需要用到形如x= (t)的變數代換，將積分f(x)dx化為f[(t)]』(t).在求出後一積分之後，再以x= (t)的反函式t= (x)帶回去，這就是第二類換元法。
即f(x)dx=.
為了保證上式成立，除被積函式應存在原函式之外，還應有原函式t=（x）存在的條件，給出下面的定理。
定理2 設x= (t)是單調，可導的函式，並且『（t）0.又設f[(t)]』(t)具有原函式f（t）,則f(x)dx=f[(t)]』(t)dt=f(t)+c=f[(x)]+c
其中（x）是x=（t）的反函式。
三． 常用積分公式
1 基本積分公式
（1）kdx=kx+c(k是常數2）xdx=+c(u-1);
（3）=ln+c4）=arctanx+c;
(5) =arcsinx+c6) cosxdx=sinx+c;
(7) sinxdx=-cosx+c8) =secxdx=tanx+c;
(9) =cscxdx=-cotx+c; (10) secxtanxdx=secx+c;
(11) cscxcotxdx=-cscx+c12) edx= e+c;
(13) adx= e+c14) shxdx=chx+c;
(15) chxdx=shx+c16) tanxdx=-ln+c;
(17) cotxdx=ln+c18) secxdx=ln+c;
(19)cscxdx=ln+c20) =+c;
(21) =arcsin+c22) =ln(x++c;
(23) =ln+c.
2.湊微分基本型別
四． 解不定積分的基本方法
四．求不定積分的方法及技巧小彙總~
1.利用基本公式。（這就不多說了~）
2.第一類換元法。（湊微分）
設f(μ)具有原函式f(μ)。則
其中可微。
用湊微分法求解不定積分時，首先要認真觀察被積函式，尋找導數項內容，同時為下一步積分做準備。當實在看不清楚被積函式特點時，不妨從被積函式中拿出部分算式求導、嘗試，或許從中可以得到某種啟迪。如例1、例2：
例1：【解】例2：
【解】3.第二類換元法：
設是單調、可導的函式，並且具有原函式，則有換元公式
第二類換元法主要是針對多種形式的無理根式。常見的變換形式需要熟記會用。主要有以下幾種：
4.分部積分法.
公式：分部積分法採用迂迴的技巧，規避難點，挑容易積分的部分先做，最終完成不定積分。具體選取時，通常基於以下兩點考慮：
（1）降低多項式部分的係數
（2）簡化被積函式的型別
舉兩個例子吧~！
例3：【解】觀察被積函式，選取變換,則
例4：【解】上面的例3，降低了多項式係數；例4，簡化了被積函式的型別。
有時，分部積分會產生迴圈，最終也可求得不定積分。
在中，的選取有下面簡單的規律：
將以上規律化成乙個圖就是：
但是，當時，是無法求解的。
對於（3）情況，有兩個通用公式：
5.幾種特殊型別函式的積分。
（1）有理函式的積分
有理函式先化為多項式和真分式之和，再把分解為若干個部分分式之和。（對各部分分式的處理可能會比較複雜。出現時，記得用遞推公式：）
例5：【解】故不定積分求得。
（2）三角函式有理式的積分
萬能公式：
的積分，但由於計算較煩，應盡量避免。
對於只含有tanx（或cotx）的分式，必化成。再用待定係數來做。
（3）簡單無理函式的積分
一般用第二類換元法中的那些變換形式。
像一些簡單的，應靈活運用。如：同時出現時，可令；同時出現時，可令；同時出現時，可令x=sint；同時出現時，可令x=cost等等。
學習完不定積分，覺得這部分內容對我們思維的靈活性要求很大，應該加大習題量，達到見多識廣的效果，做完習題注意總結，以及類似題目的整理。熟記三角函式公式，不定積分基本公式，掌握各種求積分的方法。
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