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第二章導數與微分
a 基本內容
一、導數
1、導數的定義
(1)定義：設函式在點的某鄰域內有定義，自變數在處有增量，相應地函式增量，如果
存在，則稱此極限值為函式在處的導數，記作，或，等，反之稱函式在點不可導
(2) 導數定義等價形式
令，，則
(3) 左右導數
右導數：
左導數：
可導的充要條件：在點處可導
(4) 導函式的定義
若在開區間內的每一點處的導數都存在，則稱在內可導，並稱為導函式
若在開區間內可導，且都存在，則稱在上可導。
2．導數的幾何意義與物理意義
如果函式在點處導數存在，則在幾何上表示曲線在點處的切線的斜率。
切線方程：
法線方程：
設物體作直線運動時，路程與時間的函式關係為，如果存在，則表示物體在時刻時的瞬時速度。
3、函式的可導性與連續性之間的關係
如果函式在點處可導，則在點處一定連續，反之不然，即函式在點處連續，卻不一定在點處可導。
例如，，在處連續，卻不可導。
4、導數的計算
(1)、基本初等函式的導數公式(見課本)
(2)、四則運算法則
(3)、復合函式運算法則
設，，如果在處可導，在對應點處可導，則復合函式在處可導，且有
(4)、由引數方程確定函式的運算法則(數
一、二)
設，確定函式，其中，存在，且，則
(5)、反函式求導法則
設的反函式，兩者皆可導，且
則(6)、隱函式運算法則
設是由方程所確定，求的方法如下：
把兩邊的各項對求導，把看作中間變數，用復合函式求導公式計算，然後再解出的表示式（允許出現變數）
(7)、對數求導法則
先對所給函式式的兩邊取對數，然後再用隱函式求導方法得出導數。
對數求導法主要用於：
①冪指函式求導數
②多個函式連乘除或開方求導數
關於冪指函式常用的一種方法這樣就可以直接用復合函式運算法則進行。
關於分段函式求分段點處的導數，常常要先討論它的左、右兩側的導數。
(8)、高階導數
如果函式的導數在點處仍是可導的，則把在點處的導數稱為在點處的二階導數，記以，或，或等
如果的階導數的導數，稱為的階導數記以，，
等，這時也稱是階可導。
二、微分
1、微分的定義：
設函式在點處有增量時，如果函式的增量
其中為與無關的數，是時比高階的無窮小。則稱在處可微，把中的主要線性部分稱為在處的微分，記為或
我們定義自變數的微分就是。
2微分的幾何意義
是曲線在點處相應於自變數增量的縱座標的增量，微分是曲線在點處切線的縱座標相應的增量（見圖）。
3、可微與可導的關係
在處可微在處可導。
且一般地，則，所以導數也稱為微商，就是微分之商的含義。
b典型例題
一、有關導數定義的判斷
例1、函式在點可導的乙個充分條件是
(a) 存在; (b) 存在；
(c) 存在; (d) 存在。
例2、設函式在處連續,且,則（ ）
(a) 存在b) 存在
(c) 存在d) 存在
二、用導數定義求導數
例1、設，其中在點處連續，求。
解：沒有假設可導，所以不能用導數的乘法公式，我們就用導數的定義
例2、設，其中可導，且有界，求
．例3、，求。
三、分段函式在分段點處可導性
例1、設求
例2、設函式
試確定、的值，使在點處可導。
例3、設，在內求。
四、用各種運算法則求導數
1、運用四則運算和復合函式求導法則
例1．求下列函式的導數：
（1）；
（2）；
（3）；
例2、求下列函式的微分
（1）；
（2）。
例4、設可微，，求
2．運用隱函式求導法則
例1．設由方程所確定，求和
解：對方程兩邊關於求導，看作的函式，按中間變數處理
於是，例2、設函式由方程所確定，求。
3、運用對數求導法則
例1、設，求
例2、求的導數
解： 對求導，得
因此，例3、設由方程所確定，求
五、高階導數
1、求二階導數
例1、設求
例2、設由方程所確定，求
解：，例3、試從匯出。
2、求階導數（，正整數）
先求出總結出規律性，然後寫出，最後用歸納法證明。
有一些常用的初等函式的階導數公式
（1）（2）
（3）（4）
(5)兩個函式乘積的階導數有萊布尼茲公式
其中，，
假設和都是階可導。
例1、設（正整數）求（正整數）
解： 例2、設求（正整數）
例3、設，求
六、導數的幾何應用
例1、設函式由方程所確定，則曲線在點出的切線方程是
例1、 設為可導函式，且滿足條件，則曲線在點
處的切線斜率為________.
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