§1 定積分的概念與性質
目的要求 ：理解定積分的概念和性質，能熟練的應用定積分的性質。
重點 ：定積分的性質。
難點 ：定積分的概念。
教學方法 ：講授法、練習法
教學手段 ：板書 ,多**
教參 ：《高等數學》同濟大學版
教學環節及組織：
引入新課：定積分是微積分學中的乙個重要概念，本章先從實際問題中引出定積分的概念，然後討論定積分的計算方法。
新課講授：
一、兩個引例：1）曲邊梯形的面積；
2）變速直線運動的路程。
二、定積分的定義
定義設函式f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干個分點
，把區間[a,b]分成n個小區間，記在上任意取一點，作和式：
如果無論[a,b]作怎樣分割，也無論在怎樣選取，只要有i （i為乙個確定的常數），則稱極限i是f(x)在[a,b]上的定積分，簡稱積分，記做即i=其中f(x)為被積函式，f(x)dx為積分表示式，a為積分下限，b為積分上限，x稱為積分變數，[a,b]稱為積分區間。
注：1.由此定義，以上二例的結果可以表示為a=和s=。
2.由定義知道表示乙個具體的數，與函式f(x)以及區間[a,b]有關，而與積分變數x無關，即==。
3.定義中的不能用代替。
4.如果存在，則它就是f(x)在[a,b]上的定積分，那麼f(x)必須在[a,b]上滿足什麼條件f(x)在[a,b]上才可積分呢？
以下給出兩個充分條件。
定理1 設f(x)在區間[a,b]上連續，則f(x)在[a,b]上可積。
定理2 設f(x)在區間[a,b]上有界，且只有有限個間斷點，則f(x)在[a,b]上可積。
定理3 設f(x)在區間[a,b]上單調，則f(x)在[a,b]上可積。
三、定積分的幾何意義
當f(x) 0時，表示曲邊梯形的面積；當f(x) 0時，表示曲邊梯形的面積的負值；一般地，若f(x)在[a,b]上有正有負，則表示曲邊梯形面積的代數和。
四、定積分的性質
由定積分的定義知，是當ab時無意義，但為了計算及應用的方便，特作兩個規定：
1． a=b時， =0
2． a>b時， =-
性質1：函式和差的定積分等於它的定積分的和差，即
性質2：常數因子可以外提（可以推廣到n個），即
性質3：無論a,b,c的位置如何，有
性質4：若f(x)，則
性質5：在[a,b]上，若f(x) g(x)，則
性質6：
性質7：設在[a,b]上，，則
性質8：（積分中值定理）若f(x)在[a,b]上連續，則在[a,b]上至少存在一點，使得
例1 利用定積分幾何意義，求定積分值
解：上式表示介於, , ,之間面積
例2（估計積分值） 證明
證：在上最大值為，最小值為2
∴∴小結：通過這節課的學習，我們要理解定積分的概念和性質，能熟練的應用定積分的性質。
課堂交流 ：
：定積分和不定積分的區別？
：略。：學生自主進行。
：p91、習題5—1 。
課外作業及思考題 ：
課外作業：無 。
§2 牛頓—萊布尼茲公式
目的要求 ：會求變上限定積分的導數，理解new—leibniz公式，能夠運用這個公式求函式的定積分。
重點 ： new—leibniz公式。
難點 ：變上限定積分的導數。
教學方法 ：講授法、練習法
教學手段 ：板書 ，多**
教參 ：《高等數學》同濟大學版
教學環節及組織：
複習鞏固：
1）定積分的定義；
2）定積分的性質。
引入新課：從上節課我們知道，用定積分定義計算積分值很繁難，本節課通過揭示定積分與原函式的關係，匯出定積分的基本計算公式：new—leibniz公式。
新課講授：
一、積分上限函式及其導數
設函式f(x)在[a,b]上連續，x為[a,b]上任一點，顯然，f(x)在[a,b]上連續，從而可積，定積分為由於積分變數與積分上限相同，為防止混淆，修改為（）稱是變上限積分的函式。
定理1設f(x)在[a,b]上連續，則在[a,b]上可導，且導數為，即積分上限函式是被積函式的乙個原函式。
證明省略。
該定理既說明了連續函式的原函式一定存在，又指出了定積分與原函式的關係，因而稱為微積分基本定理。
講解課本92頁例5-4至例5-5。
二、new—leibniz公式
定理2如果函式f(x)是連續函式f(x)在區間[a,b]上的乙個原函式，則
。 (1)
證已知函式f(x)是連續函式f(x)的乙個原函式，又根據前面的定理知道，積分上限的函式也是f(x)的乙個原函式。於是這兩個原函式之差為某個常數，即 。 (2)
在上式中令x = a，得。又由的定義式及上節定積分的補充規定知因此，c = f(a)。以f(a)代入(2)式中的c，以代入(2)式中的 ，可得
，在上式中令x = b，就得到所要證明的公式(1) 。由積分性質知，(1)式對a>b的情形同樣成立。為方便起見，以後把f(b) – f(a)記成。即
公式(1)叫做牛頓(newton)-萊布尼茲(leibniz)公式，它給定積分提供了一種有效而簡便的計算方法，也稱為微積分基本公式。
例1 計算定積分。
解 。例2 計算。
解 。例3 計算。
解 。例4 計算正弦曲線y = sinx在[0, ]上與x軸所圍成的平面圖形的面積。
解 。例5
講解課本93頁例5-6至例5-7.
小結：通過這節課的學習，我們應該能夠根據定積分的性質用new—leibniz公式求一些簡單函式的定積分。
課堂交流 ：
：微積分基本定理揭示了什麼？
：略。：學生自主進行。
：習題5—2、1 ，3 。
課外作業及思考題 ：
課外作業： p93、2 。
§3 定積分的換元積分法與分部積分法
目的要求 ：能熟練地用定積分的換元法和分部法求定積分
重點 ：定積分的換元法和分部法。
難點 ：定積分的換元法。
教學方法 ：講授法、練習法
教學手段 ：板書 ，多**
教參 ：《高等數學》同濟大學版
教學環節及組織：
複習鞏固：
1）定積分的概念；
2）如何用new—leibniz公式求定積分？
引入新課：我們知道不定積分有換元法和分部積分法，能否將這兩種方法運用在定積分上呢？或者說定積分有相應的積分方法可以簡化定積分的計算？
新課講授：
一、定積分的換元法
定理 （1）f(x)在[a,b]上連續，（2）函式在上嚴格單調，且有連續導數，（3）時， 且則有換元公式：
…….(1)
注：1． 用換元法時，當用將積分變數x換成t求出原函式後，t不用回代，只要積分上下限作相應的變化即可。
2． 必須嚴格單調
3． 可以大於
4． 從左往右看，是不定積分的第二換元法；從右往左看，可以認為是第一換元法。
例1法一設法二設原式
講解課本95頁例5-9至例5-11.
例2 二、定積分的分部積分法
定理若u(x),v(x)在[a,b]上有連續導數，則
即。例1
解： 例2
解： ===
講解課本96頁例5-12至例5-14.
小結：我們在遇到要求某個函式的定積分的時候，應該怎樣一步一步的求？
課堂交流 ：
：定積分的換元法和分部法與不定積分的這兩種方法的區別和聯絡？
：略。：學生自主進行。
：p96、習題5-3、1、（1）-（9），2、（1）-（5）。
課外作業及思考題 ：
課外作業：p96、1、（10）-（11），2、（6）-（9）。
§4 廣義積分
目的要求 ：理解廣義積分的概念，能夠求已知函式在無窮區間上的廣義積分。
重點 ：無窮區間的廣義積分。
難點 ：正確地求函式的廣義積分。
教學方法 ：講授法、練習法
教學手段 ：板書 ，多**
教參 ：《高等數學》同濟大學版
教學環節及組織：
複習鞏固：定積分的換元積分法。
引入新課：前面所討論的定積分，其區間都是有限閉區間且被積函式在該區間上有界。但在一些實際問題中，常會遇到積分區間為無窮區間，或者被積函式為無界函式的積分，它們已經不屬於前面所說的定積分了。
因此，我們將再次借用極限的思想對定積分作如下兩種推廣，從而形成廣義積分（也稱反常積分）的概念。
新課講授：
一、無窮限的廣義積分
定義1 設函式f(x)在區間[a , +∞)上連續，取b>a，若極限
存在，則稱此極限為函式f(x)在無窮區間[a , +∞)上的廣義積分，記作
，即1)
這時也稱廣義積分收斂；若上述極限不存在，稱為廣義積分發散。
類似地，若極限存在，則稱廣義積分收斂。
設函式f(x)在區間(-∞ ,+ ∞)上連續，如果廣義積分和都收斂，則稱上述兩廣義積分之和為函式f(x)在無窮區間(-∞, +∞ )上的廣義積分，記作，也稱廣義積分收斂；否則就稱廣義積分發散。
上述廣義積分統稱為無窮限的廣義積分。
例1 計算廣義積分
解 =例2 計算廣義積分以及
解顯然發散
同理也發散
例3 證明廣義積分(a>0)當p>1時收斂，當p 1時發散。
證當p = 1時，
,當p 1時，
因此，當p > 1時，這廣義積分收斂，其值為；當p 1時，這廣義積分發散。
二、無界函式的廣義積分
定義2 設函式f(x)在(a,b]上連續，而在點a的右領域內無界，取，如果極限存在，則稱此極限為函式f(x)在(a,b]上的廣義積分，仍然記作，這時也稱廣義積分收斂。
類似地，設函式f(x)在[a,b]上除點c(a； (2)
否則，就稱廣義積分發散。
例1 證明廣義積分當q < 1時收斂，當q 1時發散。
第五章定積分及其應用 4。24
習題 a 一 選擇題 1 則下列不等式成立的是 a b c d 2 定積分 a 0bcd 3 設，則 abcd 4 下列各式中正確的是 a b c d.5 定積分，作適當變換後應等於 a b cd 6 如，則 a b c d 7 曲線圍成圖形面積為 a b c d 8 橢圓的面積為 a b c d ...
第五章透鏡及其應用
1.凸透鏡 中間厚，邊緣薄的透鏡叫做 它對光線有作用。2.凹透鏡 中間薄，邊緣厚的透鏡叫做 它對光線有作用。3.射到地面上的光是相互平行的，叫做平行光。凸透鏡能使平行於主光軸的光匯聚在一點，這個點叫做 焦點到光心的距離叫做 4.透鏡與面鏡的區別 透鏡使光發生射，面鏡使光發生射。5.生活中的透鏡 照相...
第五章不定積分
前面，我們討論了如何求乙個函式的導函式的問題，本章即將討論它的反問題，即要求乙個可導函式，使得它的導函式等於已知函式。這就是積分學的基本問題之一 不定積分。5.1 不定積分的概念與性質 5.1.1原函式 如果已知物體的運動方程,則此物體的速度是距離對時間的導數.反過來,如果已知物體的運動速度是時間的...