數形結合思想:在求解數學中，把數量關係的精確刻畫與空間形式的形象直觀密切結合，呼叫代數與幾何的雙面工具，揭露問題的深層結構，達到解題的目的，這就是數形結合思想.縱觀歷年高考，以數形結合思想方法的巧妙運用解決的問題比比皆是.
通過數形結合，可以將抽象的數學語言，符號，與其所反映的（可能是隱含的）圖形有機的結合起來，從而促進抽象思維與形象思維的有機結合，通過對直觀圖形的觀察與分析，化抽象為直觀，化直觀為精確，從而使問題得到解決.利用數形結合解題主要包括兩方面的內容：一方面，借助於圖形的性質將圖形資訊轉換成代數資訊，利用數量特徵，將其轉化為代數問題；另一方面，在解決與數量關係相關的數學問題時，根據數量關係的特徵，構造出相應的幾何圖形，即化為幾何問題.
兩者都是利用數形的辯證統一和各自的優勢盡快的得到有效解題途徑.
高中最值問題:用數形結合方法求解最值問題的依據是笛卡爾創立的座標系思想.座標系包括斜座標系（包含直角座標系）和極座標系.
座標系的創立溝通了代數和幾何之間的聯絡，成為近代數學的開端.
「數」和「形」是數學中兩個最基本的概念，它們既是對立的，又是統一的.每乙個幾何圖形中都蘊含著與它們的形狀、大小、位置密切相關的數量關係；反之，數量關係又常常可以通過幾何圖形做出直觀地反映和描述.實現數形結合解題，主要通過以下三種途徑：
其一是通過座標系；其二是通過轉化；其三是構造圖形，建構函式.因此在解決數學問題時，要根據待解題目，選擇適當的方法，把抽象的問題具體化，具體化的問題精確化.
數形結合的思想方法應用廣泛，常見的如在解方程和解不等式問題中，在求函式的值域、最值問題中，在求複數和三角函式解題中，運用數形結思想，不僅直觀易發現解題途徑，而且能避免複雜的計算與推理，大大簡化了解題過程.這在解選擇題、填空題中更顯其優越，要注意培養這種思想意識，要爭取胸中有圖見數想圖，以開拓自己的思維視野.以下就數形結合在最值方面的運用作些討論.
1.直接為數配形
問題是數學的心臟，如果數學問題中的數量關係比較抽象，直接求解最值比較困難，我們就要考慮數學問題的條件或表示式是否有明顯的幾何意義,如果可以將其數學符號語言直接翻譯為圖形語言，那麼就可以給出數量關係的直接的幾何解釋，為數配上形.再運用所給的代數式的結構中所含的幾何意義來探求數量關係.根據問題中的數量關係以及其限制條件，結合圖形（象）作出解答.
例1、 已知的最小值.
分析：可把已知條件中的兩個方程視為兩條平行線，把求的最小值視為求點之間的距離的平方求最小值.視點在直線上;點在直線上,從而轉化為求兩條平行線間的距離.根據兩條平行線
的距離公式
如圖1-1，不難得出所求函式的最小值為
2.借助變化，為數配形
許多數學問題，直觀上很難發現它具有某種幾何意義，但可以通過變形，將其數量關係的問題轉化成圖形性質或利用圖形性質的問題.把抽象的問題具體化.具體的問題精確化，從而使問題得到解決。
以下主要討論幾種模式下求解最值的問題：
2.1.直線斜率模式
在解決某些數學問題時，如果待解的問題通過變形可以化為形如的式子，那麼就可以把他轉化為直線斜率的形式.根據斜率的幾何解釋和相關條件研究斜率的變化規律，使問題得到解決.
例2、 設，求函式的最小值.
分析： 函式具有直線斜率的形式，可把函式看成是定點與動點連線的斜率.再由可得動點的軌跡為圓心為原點的單位圓的左半圓（如圖2-1）.再根據幾何知識使問題得以解決.
解： .
的幾何意義是定點與動點連
線的斜率.
.動點p的軌跡是單位圓的左半圓（如圖2-1)，
由平面幾何知識求得切線的傾斜角為，
當時2.2.直線截距模式
在解決問題的過程中，如果待解的問題涉及到或者可以化為形如的形式，則可考慮轉化為直線的形式，再根據直線截距的幾何意義和相關約束條件研究截距的變化規律，使問題得以解決.
例3、 已知實數滿足(≥0)，試求的取值範圍.
分析：具有直線截距模式，而動點的約束條件是(≥0)，它的幾何意義是以為圓心，為半徑的上半圓，借助圖形可得的最大、最小值.
解：由可得
.其幾何意義是表示過動點的相互平行的直線系,它
們在縱軸上的截距為，而(≥0)的幾何意義
是以為圓心,為半徑的上半圓（如圖2-2）.由圖
可知，當與半圓相切時，縱截距取得最大值，
由原點到直線的距離等於圓的半徑可得進而有，當直線過點時取最小值，其最小值為.
2.3. 兩點間的距離模式
在求解某些數學問題中，常遇到與兩點間的距離或者通過恒等變形可化為兩點間的距離的數學問題，即的形式.這時，我們就可以根據約束條件來研究的變化規律，從而使抽象的問題具體化，使問題得以解決
例4、 求函式的最小值.
分析:函式具有兩點間的距離模式,可把它看成是動點與定點之間的距離，同理，可把它看成是動點與定點之間的距離.而點在軸上運動.根據點的運動情況，不難求出的最小值.
解：如圖2-3，
=.設，，，則上述問題轉化為求的最小值.點關於軸的對稱點， ≥≥
的最小值為.
注：這裡主要研究利用數形結合求解最值時常遇到的三種模式，對於其它模式，如三點共線模式、空間兩點距離模式等不再作研究.
3.模擬聯想為數配形
聯想是由一種資訊情景思維到另一種資訊情景的心裡現象，是一種心理活動的方式，也是一種重要的構思方式.在解決問題和認識活動中起著橋梁的作用.在解決某些數學問題時，可由命題的條件與結論，模擬聯想到形態相似的數學模型，恰當合理地選配與原問題相關的幾何圖形，轉而研究這些幾何圖形，使抽象的問題具體化，從而轉化成所熟悉的數學知識，使問題巧妙地獲解.
例5、 已知，求的值.
分析：單位圓上任意兩點連線的中點座標為，因此，可以模擬聯想到單位圓上兩點鏈結的中點座標模型.再根據中點座標的運動情況來解決所要解決的數學問題.
解:由已知和待解問題，可模擬聯想到單位圓上兩點鏈結的中點座標模型，如圖3-1，其中、座標為、，
則弦中點的座標為，
由可知點的座標為
，過軸上這點作軸
的垂線交單位圓於、兩點（如圖），易知，
，當點m在弦cd上移動時，可得≤≤，所以的最小值為，最大值為.
例6、 求函式的最大值.
簡解：觀察原題兩個根號內的被開方數相差1，
即，由此式形態模擬
聯絡到等軸雙曲線圖形，可設
則（≥1，≥0），而原式可化為，
它表示斜率為3，軸上截距為的直線，從而將在
平面上不易解決的問題轉換到平面中去解決.當直線與雙曲線相切時，可以求得，觀察圖3-2可知直線與雙曲線有公共點時，必有≤，所以，此時.
注：對於模擬聯想，為數配形，則要求學生要有較強的思維能力，較強的數學功底，這對於培養創新性人才具有實際的意義.因此，在做題或者在教學中，應該注意這方面的訓練.
由上述諸例可以看出，用數形結合求解最值問題的一般歩驟是：
1）認真審題，根據數量的結構特徵，構造出相應的幾何模型.
2）畫出幾何模型，使問題得到恰當的轉化.
3）對幾何模型進行仔細觀察分析，得出合理性猜想.
4）對猜想進行嚴格證明.
5）求出所要解決的數學問題.
華羅庚曾說過，數形本是相倚依，焉能分做兩邊飛？數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔離分家萬事休，幾何代數統一體，永遠聯絡莫分離.[3]運用數形結合的思想巧解數學中的最值問題是提高數學解題能力和數學學習的綜合能力的重要途徑.
在中學數學的教學和學習中，應充分重視和加強運用數形結合求解最值問題的訓練.
參考文獻
[1]薛金星.高考總複習全解[m].西安：陝西人民出版社.2007,2
[2]劉增利.高中數學教材知識資料報[m].北京：北京教育出版社.2005,5.
[3]張同君.中學數學解題研究[m].長春：東北師範大學出版社.2002,5.
[4]徐瀝泉.教學·研究·發現——mm方式演繹[m].北京:科學出版社.2003.
高數實踐課數形結合在解題中的應用
數學分為初等數學與高等數學兩大部分。初等數學中主要包含兩部分 幾何學與代數學。幾何學是研究空間形式的學科，而代數學則是研究數量關係的學科。初等數學基本上是常量的數學。高等數學含有非常豐富的內容，以大學本科所學為限，它主要包含 解析幾何 用代數方法研究幾何，其中平面解析幾何部分內容已放到中學。線性代數...
例談「數形結合」在課堂教學中的實踐意義
數形結合 是數學中比較重要的一種思想方法。數形結合 的教學過程是抽象思維與形象思維結合的過程,數形結合的教學原則是在教學過程中能正確地有機地把兩種思維結合起來。小學生的思維處於以具體形象思維為主導並逐漸向抽象邏輯思維的過渡期,因此在小學階段滲透數形結合的思想對學生的現實學習和繼續學習都有著很重要的意...
教學中培養學生數形結合的能力
數形結合，是高中數學培養學生數學思維的乙個重要方面。lagrange曾把數形結合的優點寫進他的 數學概要 中 只要代數同幾何分道揚鑣，它們的進展就緩慢，它們的應用就狹窄，但是當這兩門科學結合成伴侶時，它們就互相吸取新鮮的活力，從那以後，就以快速的步伐走向完善 本學期學生學三角函式，是乙個很好的機會，...