數學分為初等數學與高等數學兩大部分。
初等數學中主要包含兩部分：幾何學與代數學。幾何學是研究空間形式的學科，而代數學則是研究數量關係的學科。初等數學基本上是常量的數學。
高等數學含有非常豐富的內容，以大學本科所學為限，它主要包含：
解析幾何：用代數方法研究幾何，其中平面解析幾何部分內容已放到中學。
線性代數：研究如何解線性方法組及有關的問題。
高等代數：研究方程式的求根問題。
微積分：研究變速運動及麴邊形的求積問題。作為微積分的延伸，物理類各系還要講授常微分方程與偏微分方程。
概率論與數理統計：研究隨機現象，依據資料進行推理。
所有這些學科構成高等數學的基礎部分，在此基礎上建立了高等數學的巨集偉大廈。
我們大家都知道，初等數學和高等數學之間無論在觀點上還是在方法上都有著很大的區別，因此，我們常常會在學習完高等數學之後回想高等數學能不能初等數學中的某些複雜問題，一方面，高等數學是建立在初等數學的基礎上的；另外一方面，初等數學的很多的理論都是在高等數學中才能完全驗證。所以，在初等數學中不能忽視高等數學的作用，下面我就借助幾個例子來簡單的說明下高等數學在初等數學中的運用。
首先我們來給大家介紹一道中學中大家常見的幾何問題
例1 有一塊邊長是m的正方形鐵皮，從它的四塊截去同樣的小正方形，做成乙個無蓋的方匣，問如何截才能做成的匣子容積最大？
解： 設截去的小正方形的邊長為x，則做成的方匣的容積是：
v=x(a-2x) ，x∈（0，a/2）
現在問題的關鍵就是求v在（0，a/2）上的最大值。
在數學分析中有如下方法：
v＇=（a-2x）(a-6x)
在[0，a/2]上有零點，x1=a/6, x2=a/2.由於
v（0） =0,v(a/6)=2a3/27,v(a/2)=0
故在區間（0，a/2）上函式在x=a/6時取得最大值，所以截去邊長為a/6的正方形時做的方匣容積最大
而中學中我們大家常用的方法是如下：
v=x(a-2x)2=1/44x(a-2x) (a-2x).
因為4x+(a-2x)+(a-2x)=2a（常數），、
所以v≤1/4｛[4x+(a-2x)+(a-2x)]/3｝3=2a3/27
當且僅當4x=a-2x,即x=a/6時，v取得最大值。
故在區間0，a/2）上函式在x=a/6時，v取得最大值，所以截去邊長為a/6的正方形時做的方匣容積最大。
這一類問題在中學數學常用均值不等式，配方法等方法求極值，但往往這些方法技巧要求較高，適用範圍較小，而數學分析當中的方法有規律可循，技巧性要求也低，適用範圍廣。
1 用微積分分解二次三項式
設f(x)=ax2+2bxy+cy2 (a≠0)
則 f』(x)=2ax+2by,
f(x)= ∫f』(x)dx=a(x+by/a)2+m(常數)
令 x=-by/a, m=f（-by/a）=（ac-b2）y2/a
從而f(x)=【（ax2+by）2+（ac-b2）】/a
當ac-b2=0
f（x）=（ax-by2）/a
當ac-b2>0
f（x）= ﹙ax+by+yi﹚/a×﹙ax+by-yi﹚
當ac-b2<0
f(x)=(ax+by+y)/a×(ax+by-y)
例1 ，把（3x2+10xy+5y2）因式分解
解a=3 b=5 c=5
ac-b2=-10＜0
原式=﹙3x+5y+y）（3x+5y-y）/3
例3 求證 arctanx+arccotx=π/2
證明 f（x） = arctanx+arccotx 則
f（x）=1/（1+x2）-1/（1+x2）=0
從而 f（x）=c（c為常數） 令x=1 得
f（x）=π/4+π/4=π/2
於是arctanx+arccotx=π/2
齊次線性方程組確定橢圓及雙曲線的方程
已知橢圓以及雙曲線通過兩定點，試確定橢圓以及雙曲線的方程為ax2+by2=c,其中，a,b,c為同號時表示橢圓；a,b 異號，c≠0 時表示雙曲線。
下面以橢圓為例討論如下：
1 橢圓過點（x1,y1）,(x2,y2)這兩點是關於座標軸或原點對稱的點，則：x12=x22,y12=y22 把這兩點的座標代入橢圓方程得方程組
這是乙個以a,b,c為未知量的齊次線性方程組，且a,b,c不全為零，說明該齊次線性方程組必有非零解，所以係數行列式等於零，即
由於x12=x22,y12=y22 ,根據行列式性質知，該行列式等於零，從而橢圓的方程不能確定。
2 橢圓過點（x1,y1）,(x2,y2) 這兩點不是關於座標軸或者原點對稱的點，有①可知
這就是過點（x1,y1）,(x2,y2)橢圓的方程
例3. 求中心在座標原點且通過兩點(,1),( ,2)的橢圓或者雙曲線的方程
解：方程是
即x2-4y2=16為雙曲線方程。
利用導數可推導一些三角恒等式
例4 cos2x=cos2x-sin2x
證明 ：將x看作自變數，兩邊對x求導可得
－2sin2x=2cos﹙-sinx﹚-2sinxcosx
即 sin2x=2sinxcosx
例5 ：已知α，β，γ為三角形的三個內角，證明sinα+sinβ+sinγ≤3/2
證明：不防設f﹙x﹚=sinx，則f=cosx f=-sinx＜0 ﹙0＜x＜π﹚
f﹙x﹚=sinx，在﹙0，π﹚內為嚴格凸函式，
由凸函式性質可知 sinα+sinβ+sinγ≤3sin﹙α+β+γ/3﹚=3sinπ/3=3/2
次處證明了凸函式的性質。
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