上海市盧灣高中2014-2015學年高二上學期期中數學試卷
一、填空題（每小題3分，總分36分）
1．（3分）計算：=．
2．（3分）已知，若，則t=．
3．（3分）已知等差數列中，a1=﹣4，a5=﹣12，則a3=．
4．（3分）化簡：=．
5．（3分）在各項均為正數的等比數列中，若a5a6=9，則log3a1+log3a2+…+log3a10=．
6．（3分）若，則與同向的單位向量是．
7．（3分）設sn表示等差數列的前n項和，且s9=18，sn=240，若an﹣4=30（n＞9），則n=．
8．（3分）若，，與的夾角為120°，則=．
9．（3分）在數列中，a1=，an+an+1=（n=1，2，3…），此數列前n項和sn的公式為．
10．（3分）在△abc中，已知，的值為．
11．（3分）如圖，相交於點o的兩條直線oa，ob，在oa上取一點a，作a1b1⊥ob，作b1a2⊥oa，作a2b2⊥ob…一直無限地作下去，若已知a1b1=7，b1a2=6，則所有垂線長度的和等於．
12．（3分）已知數列的通項公式是an=2n﹣1，數列的通項公式是bn=3n，令集合a=，b=，n∈n*．將集合a∪b中的元素按從小到大的順序排列構成的數列記為．則數列的前28項的和s28=．
二、選擇題（每小題3分，總分12分）
13．（3分）點p的座標為（1，2），，則（）
a． 點p與點a重合 b． 點p與點b重合 c． 點p就表示 d．
14．（3分）我們把1，3，6，10，15，…這些數叫做三角形數，因為這些數目的點子可以排成乙個正三角形（如圖）
則第七個三角形數是（）
a． 27 b． 28 c． 29 d． 30
15．（3分）若兩個非零向量、，互相垂直，則下列一定成立的是（）
a． b． c． d．
16．（3分）設是各項為正數的無窮數列，ai是邊長為ai，ai+1的矩形的面積（i=1，2，…），則為等比數列的充要條件是（）
a． 是等比數列
b． a1，a3，…，a2n﹣1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比數列
c． a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比數列
d． a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比數列，且公比相同
三、解答題（本大題共5題，共52分，姐答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17．（8分）如圖．已知向量、，求作向量．
18．（10分）從社會效益和經濟效益出發，某地投入資金進行生態環境建設，並以此發展旅遊產業．根據規劃，本年度投入800萬元，以後每年投入將比上年減少．本年度當地旅遊業收入估計為400萬元，由於該項建設對旅遊業的促進作用，預計今後的旅遊業收入每年會比上年增加．
（1）設n年內（本年度為第一年）總投入為an萬元，旅遊業總收入為bn萬元．寫出an，bn的表示式；
（2）至少經過幾年旅遊業的總收入才能超過總投入？
19．（10分）若，，且，求
（1）向量的夾角θ；
（2）．
20．（12分）在數列中，a1=3，an=﹣an+1﹣4n（n≥2，n∈n*），數列的前n項和sn．
（1）證明：數列是等比數列，並求的通項公式；
（2）求sn．
21．（12分）已知、分別是與x軸、y軸正方向相同的單位向量，（a∈r），對任意正整數n，．
（1）若，求a的值；
（2）求向量；
（3）設向量，求最大整數a的值，使對任意正整數n，都有xn＜yn成立．
上海市盧灣高中2014-2015學年高二上學期期中數學試卷
參***與試題解析
一、填空題（每小題3分，總分36分）
1．（3分）計算：=1．
考點： 數列的極限．
專題： 點列、遞迴數列與數學歸納法．
分析： 直接利用分式分母同除n，利用數列的極限的運算法則求解即可．
解答： 解：===1．
故答案為：1．
點評： 本題考查數列的極限的運算法則的應用，基本知識的考查．
2．（3分）已知，若，則t=5．
考點： 平行向量與共線向量；平面向量的座標運算．
專題： 平面向量及應用．
分析： 利用向量平行的充要條件，列出方程求解即可．
解答： 解：知，
若，則：1﹣t=﹣2×2，
解得t=5．
故答案為：5．
點評： 本題考查向量共線的充要條件應用，基本知識的考查．
3．（3分）已知等差數列中，a1=﹣4，a5=﹣12，則a3=﹣8．
考點： 等差數列的通項公式．
專題： 等差數列與等比數列．
分析： 根據等差數列的通項公式和題意求出公差d，再求出a3的值．
解答： 解：設等差數列的公差是d，
因為a1=﹣4，a5=﹣12，所以d==﹣2，
則a3=a1+2d=﹣8，
故答案為：﹣8．
點評： 本題考查等差數列的通項公式，屬於基礎題．
4．（3分）化簡：=．
考點： 向量的加法及其幾何意義；向量的減法及其幾何意義．
專題： 平面向量及應用．
分析： 根據平面向量的加法與減法的法則，進行化簡即可．
解答： 解
=（+）+
=﹣=．
故答案為：．
點評： 本題考查了平面向量的線性運算問題，解題時應靈活應用平面向量的合成法則，是基礎題．
5．（3分）在各項均為正數的等比數列中，若a5a6=9，則log3a1+log3a2+…+log3a10=10．
考點： 等比數列的性質．
專題： 計算題．
分析： 根據等比數列的性質可知a1a10=a2a9=…a5a6，再利用對數的性質即可得到答案．
解答： 解：log3a1+log3a2+…+log3a10=log3（a1a10）+log3（a2a9）+…log3（a5a6）=5log3（a5a6）=10
故答案為：10
點評： 本題主要考查了等比數列的性質．即若 m、n、p、q∈n*，且m+n=p+q，則aman=apaq．
6．（3分）若，則與同向的單位向量是﹣．
考點： 單位向量．
專題： 平面向量及應用．
分析： 求與同向的單位向量，化簡即可．
解答： 解：∵，
∴與同向的單位向量是
==﹣．
故答案為：﹣．
點評： 本題考查了平面向量的單位向量的概念，也考查了向量的線性運算問題，是容易題．
7．（3分）設sn表示等差數列的前n項和，且s9=18，sn=240，若an﹣4=30（n＞9），則n=15．
考點： 等差數列的前n項和；等差數列的性質．
專題： 計算題．
分析： 先根據等差數列的求和公式和等差數列的等差中項的性質利用s9=18求得a5，進而根據等差中項性質可知sn===240，求得n．
解答： 解：s9=9a5∴a5=2
∴sn====240
n=15
故答案為15
點評： 本題主要考查了等差數列的前n項和的問題．巧妙地利用了等差中項的性質．
8．（3分）若，，與的夾角為120°，則=．
考點： 數量積表示兩個向量的夾角．
專題： 平面向量及應用．
分析： 由題設條件，對進行平方，先出和向量模的平方，再開方求兩者和的模．
解答： 解：，，與的夾角為120°，
由題意2===4+1﹣2×2×1×cos120°=7，
∴．故答案為：．
點評： 本題考查向量模的求法，對向量的求模運算，一般採取平方方法表示成向量的內積，根據內積公式求出其平方，再開方求模，本題是向量中的基本題．
9．（3分）在數列中，a1=，an+an+1=（n=1，2，3…），此數列前n項和sn的公式為．
考點： 數列遞推式．
專題： 等差數列與等比數列．
分析： 根據數列的遞推關係依次求出數列的前幾項，根據數列的規律，即可得到結論．
解答： 解：∵數列中，a1=，an+an+1=（n=1，2，3…），
∴a1+a2=，則a2=﹣=，
∴a2+a3=，則a3=﹣=，
∴a3+a4=，則a4=﹣=，
…，則數列是公比q=，首項a1=的等比數列，
則數列前n項和sn==，
故答案為：
點評： 本題主要考查數列的前n項和的計算，根據遞推關係判斷數列是等比數列是解決本題的關鍵．
10．（3分）在△abc中，已知，的值為2或﹣2．
考點： 平面向量數量積的運算．
分析： 本題是通過正弦定理，做出兩個向量的夾角，由夾角的正弦值寫出余弦值，注意余弦值有兩個，不要漏解，最後代入公式求出結果．
解答： 解：∵
∴，∴，
∴=±2
故答案為：±2．
點評： 本題表面上是對向量數量積的考查，根據兩個向量的夾角和模，用數量積列出式子，但是這步工作做完以後，發現向量的夾角和模都要根據所給的三角形自己求出再用，因此解三角形在本題中所佔的比重較大．
11．（3分）如圖，相交於點o的兩條直線oa，ob，在oa上取一點a，作a1b1⊥ob，作b1a2⊥oa，作a2b2⊥ob…一直無限地作下去，若已知a1b1=7，b1a2=6，則所有垂線長度的和等於．
考點： 數列的求和．
專題： 等差數列與等比數列．
分析： 首先利用三角形的相似求出部分的線段長，發現線段成等比數列，進一步利用等比數列的前n項和求出結果．
解答： 解：相交於點o的兩條直線oa，ob，在oa上取一點a，作a1b1⊥ob，作b1a2⊥oa，作a2b2⊥ob…一直無限地作下去，若已知a1b1=7，b1a2=6，
所以：利用△a1b1a2∽△a1b1b2
解得：，
由於所得的三角形相似
所以成等比數列：設公比為q
則解得：q=
=點評： 本題考查的知識要點：等比數列前n項和的應用，屬於基礎題型．
12．（3分）已知數列的通項公式是an=2n﹣1，數列的通項公式是bn=3n，令集合a=，b=，n∈n*．將集合a∪b中的元素按從小到大的順序排列構成的數列記為．則數列的前28項的和s28=820．
考點： 數列的求和．
專題： 計算題．
分析： 由題意可知兩集合中無公共項，的前28項由中的前7項及中的前21項構成．進而根據等比和等差數列的求和公式即可得到答案．
解答： 解：兩集合中無公共項，的前28項由中的前7項及中的前21項構成．
所以．點評： 本題主要考查了數列的求和問題．熟練掌握等比和等差數列的求和公式，是正確解題的前提．
二、選擇題（每小題3分，總分12分）
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