「平均變化率」一課是高中新課程蘇教版選修1-1中導數一章的第一課，為了能更好的完成教學任務，聽了很多老師的課，吸取了很多經驗，並結合弗賴登塔爾的數學教育思想，通過自己的教學實踐，有了自己的一點心得，與教學同仁分享。
新教材與以前的教材相比，導數這一章在傳統內容上有所刪減。不再系統的講述極限的概念，而且在要求和側重點上有所調整，本章就著重理解微分的基本思想及其應用。本節是導數這章的第一節，主要通過一些現實生活中的例項來引出平均變化率的概念。
從而為過渡到瞬時變化率，理解導數的概念做好準備，讓學生能體會導數的基本思想。因此本節的問題情境的建立是需要重點考慮的。
本節教材中通過引言中的一則案例，提出問題：用怎樣的數學模型刻畫變數變化的快與慢?這樣的數學模型有哪些應用?
意圖是在此基礎上提出平均變化率的概念，教學中如何使得平均變化率概念的引入顯得流暢自然?是拋開教材中的案例另闢蹊徑。來構建概念，還是在教材基礎上著力創設「最近發展區」。
讓學生知識遷移，主動構建平均變化率的概念呢?
在教學實踐中發現。雖然教材中氣溫曲線的引例貼切學生生活，影象直觀，有利於構建數學模型，但同樣它也存在著一些缺點：
1、不能反映確定的數量關係。無法用確定的函式關係來描述影象，這為以後進一步研究導數帶來了困難。
2、例子過於單一，無法符合所有學生的「數學現實」。曼弗賴登塔爾「數學現實」中的乙個基本結論是：每個人都有自己生活、工作和思考著的特定客觀世界以及反映這個客觀世界的各種數學概念、它的運算方法、規律和有關的數學知識結構。
這就是說，每個人都有自己的一套「數學現實」。從這個意義上說，所謂「現實」不一定限於具體的事物，作為屬於這個現實世界的數學本身，也是「現實」的一部分，或者可以說，每個人也都有自己所接觸到的特定的「數學現實」。這也許和我們常說的「從學生實際出發」差不多，數學教育當然要根據學生的「數學現實」來進行。
學生的「實際」知識有多少?學生的「數學水平」有多高?學生的「日常生活常識」有多廣?
這些都是教師面對的「現實」，如果我們只是簡單的運用教材中的這乙個事例，就未免太狹隘了。
根據以上的實際情況，在問題情境的教學設計中主要做了兩點改變：
1、讓學生根據自己的實際情況來定函式畫草圖，例如有的同學就用函式影象來表示自己上學途中的情況，有的舉出商品**和賣出數量關係的影象等等。一方面調動了學生，另一方面更重要的是使得客觀現實與學生的數學知識的現實彼此融為一體。
2、根據學生不同的知識水平。在教材原例項的基礎上增加了和物理學有關係的路程與時間、速度與時間影象以及數學中的函式影象。
在教學實踐巾。通過採用上述的問題情境教學，收到了良好的效果，主要體現在以下方面：
1、為學生的「再創造」提供了舞台。弗賴登塔爾認為數學教育方法的核心是學生的「再創造」。每個人都應該在學習數學的過程中，根據自己的體驗，用自己的思維方式，重新創造有關的數學知識。
弗氏認為：數學實質上是人們常識的系統化，每個學生都可能在一定的指導下，通過自己的實踐來獲得這些知識。所以我們必須遵循這樣的原則，那就是數學教育必須以「再創造」的方式來進行。
通過上述的問題情境，學生就能結合自己的實際，在教師的適當指導下，用自己的思維方式，發現圖形「陡峭」，變化「快慢」背後的實質。通過自己「創造性」的活動來重現歷史當時概念形成的過程。當然，每個人有不同的「數學現實」，每個人也可能處於不同的思維水平，因而不同的人可以追求並達到不同的水平。
一般說來，對於學生的各種獨特的解法，甚至不著邊際的想法在教學過程中我都沒有加以阻撓，而是讓他們充分發展，充分享有「再創造」的自由，讓學生走自己的道路。自然從教師的角度，在適當的時機應引導學生加強反思，鞏固已經獲得的知識，以提高學生的思維水平，尤其必須有意識地啟發，使學生的「創造」活動逐步由不自覺或無目的的狀態，進而發展為有意識有目的的創造活動，以便盡量促使每個人所能達到的水平盡可能地提高。
2、為「數學化」鋪平了道路。人們運用數學的方法觀察現實世界，分析研究各種具體現象，並加以整理組織，這個過程就是數學化。簡單地說，數學地組織現實世界的過程就是數學化。
而在「數學化」過程中學生通過反思，對自己的判斷與活動甚至語言表達進行思考並加以證實，以便有意識地了解自身行為後面潛藏的實質，做更為抽象與形式的加工。只有這樣的數學教育――以反思為核心――才能使學生真正深入到數學化過程之中，也才能真正抓住數學思維的內在實質。通過上述的問題情境，學生們找到自己的「數學現實」以後，在老師有意義的指導下，比較順利地開始了「數學化」的過程。
並且通過小組合作的形式，使學生在反思過程中的思想相互碰撞，相互影響，產生了良好的效果。例如，有的學生發現自己到校過程中路程和時間的圖形和另外一位學生的圖形相似，但事實上他到校要更快，仔細研究才發現兩者採取的單位長度不同，在老師的指導下，學生就開始反思，用什麼能比圖形更好的來刻畫變化的「快慢」。這樣的例子在整個教學過程中經常出現，學生在老師的有意義的指導下，根據自己的水平不同，都能進行「數學化」的過程，雖然水平有高低，但都能了解掌握「平均變化率」。
提高了學生的知識水平。掌握了一定的數學知識和技能。
3、為例題的講解提供了有利的素材。上述的問題情境在實施過程中肯定要花費很多的時間，如果在按照教材巾的例題進行講解的話，是無法在一堂課上完成的。但學生在整個的學習過程中研究得自己的「數學現實」已經提供了大量的例項，老師只要依據教材，從中選取幾個恰當的進行分析講解就能達到教學目的。
弗賴登塔爾的數學教育理論的主要論點都是從實際的數學教育出發，而不是從一般教育出發，因而得到了世界各國特別是數學教育界的廣泛重視和研究。回顧我國情況，對數學教育的系統理論還沒有很好研究，也很少借鑑國外的現代數學教育學說，處於一種比較盲目的狀態。而新教材更符合弗賴登塔爾的數學教育理論，本文通過結合這一理論，在新教材的基礎上所作的修改，在教學實踐中充分體現了這一理論所帶來的良好的教學效果。
希望通過本文，對讀者有所啟發。使根多的教師把弗賴登塔爾的數學教育理論和中國的數學教育實踐相結合使我們的數學教育事業更進一步。
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