等腰三角形的存在性問題

解題策略

如果△abc是等腰三角形，那麼存在①ab＝ac，②ba＝bc，③ca＝cb三種情況．

已知腰長畫等腰三角形用圓規畫圓，已知底邊畫等腰三角形用刻度尺畫垂直平分線．

解等腰三角形的存在性問題，有幾何法和代數法，把幾何法和代數法相結合，可以使得解題又好又快．

幾何法一般分三步：分類、畫圖、計算．

代數法一般也分三步：羅列三邊長，分類列方程，解方程並檢驗．

例題精講

1．如圖，在平面直角座標系xoy中，已知點d在座標為(3，4)，點p是x軸正半軸上的乙個動點，如果△dop是等腰三角形，求點p的座標．

解析．因為d（3，4），所以od＝5，．

①如圖1，當pd＝po時，作pe⊥od於e．

在rt△ope中，，，所以．此時點p的座標為．

②如圖2，當op＝od＝5時，點p的座標為(5，0)．

③如圖3，當do＝dp時，點d在op的垂直平分線上，此時點p的座標為(6，0)．

2．如圖，在矩形abcd中，ab＝6，bc＝8，動點p以2個單位/秒的速度從點a出發，沿ac向點c移動，同時動點q以1個單位/秒的速度從點c出發，沿cb向點b移動，當p、q兩點中其中一點到達終點時則停止運動．在p、q兩點移動過程中，當△pqc為等腰三角形時，求t的值．

解析．在rt△abc中，.因此.

在△pqc中，cq＝t，cp＝10－2t.

①如圖1，當時，，解得(秒).

②如圖2，當時，過點q作qm⊥ac於m，則cm＝.

在rt△qmc中，，解得(秒).

③如圖3，當時，過點p作pn⊥bc於n，則cn＝.

在rt△pnc中，，解得(秒).

綜上所述，當t為時，△pqc為等腰三角形

3．如圖，直線y＝2x＋2與x軸交於點a，與y軸交於點b，點p是x軸正半軸上的乙個動點，直線pq與直線ab垂直，交y軸於點q，如果△apq是等腰三角形，求點p的座標．

解析．由y＝2x＋2得，a(－1，0)，b(0，2)．所以oa＝1，ob＝2．

如圖，由△aob∽△qop得，op∶oq＝ob∶oa＝2∶1．

設點q的座標為(0，m)，那麼點p的座標為(2m，0)．

因此ap2＝(2m＋1)2，aq2＝m2＋1，pq2＝m2＋(2m)2＝5m2．

①當ap＝aq時，ap2＝aq2，解方程(2m＋1)2＝m2＋1，得或．所以符合條件的點p不存在．

②當pa＝pq時，pa2＝pq2，解方程(2m＋1)2＝5m2，得．所以．

③當qa＝qp時，qa2＝qp2，解方程m2＋1＝5m2，得．所以．

4．如圖，點a在x軸上，oa＝4，將線段oa繞點o順時針旋轉120°至ob的位置．

（1）求點b的座標；

（2）求經過a、o、b的拋物線的解析式；

（3）在此拋物線的對稱軸上，是否存在點p，使得以點p、o、b為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求點p的座標；若不存在，請說明理由．

解析．（1）如圖，過點b作bc⊥y軸，垂足為c．

在rt△obc中，∠boc＝30°，ob＝4，所以bc＝2，．

所以點b的座標為．

（2）因為拋物線與x軸交於o、a(4, 0)，設拋物線的解析式為y＝ax(x－4)，

代入點b，．解得．

所以拋物線的解析式為．

（3）拋物線的對稱軸是直線x＝2，設點p的座標為(2, y)．

①當op＝ob＝4時，op2＝16．所以4+y2＝16．解得．

當p在時，b、o、p三點共線．

②當bp＝bo＝4時，bp2＝16．所以．解得．

③當pb＝po時，pb2＝po2．所以．解得．

綜合①、②、③，點p的座標為．

5．如圖1，已知正方形oabc的邊長為2，頂點a、c分別在x、y軸的正半軸上，m是bc的中點．p(0,m)是線段oc上一動點（c點除外），直線pm交ab的延長線於點d．

（1）求點d的座標（用含m的代數式表示）；

（2）當△apd是等腰三角形時，求m的值；

（3）設過p、m、b三點的拋物線與x軸正半軸交於點e，過點o作直線me的垂線，垂足為h（如圖2）．當點p從o向c運動時，點h也隨之運動．請直接寫出點h所經過的路長（不必寫解答過程）．

圖1圖2

解析．（1）因為pc//db，所以．因此pm＝dm，cp＝bd＝2－m．所以ad＝4－m．於是得到點d的座標為(2，4－m)．

（2）在△apd中，，，．

①當ap＝ad時，．解得（如圖1）．

②當pa＝pd時，．解得（如圖2）或（不合題意，捨去）．

③當da＝dp時，．解得（如圖3）或（不合題意，捨去）．

綜上所述，當△apd為等腰三角形時，m的值為，或．

[另解]第（2）題解等腰三角形的問題，其中①、②用幾何說理的方法，計算更簡單：

①如圖1，當ap＝ad時，am垂直平分pd，那麼△pcm∽△mba．

所以．因此，．

②如圖2，當pa＝pd時，p在ad的垂直平分線上．

所以da＝2po．因此．解得．

（3）點h所經過的路徑長為．思路是這樣的：

如圖4，在rt△ohm中，斜邊om為定值，因此以om為直徑的⊙g經過點h，也就是說點h在圓弧上運動．運動過的圓心角怎麼確定呢？如圖5，p與o重合時，是點h運動的起點，∠coh＝45°，∠cgh＝90°．

6．如圖，在矩形abcd中，ab＝m（m是大於0的常數），bc＝8，e為線段bc上的動點（不與b、c重合）．鏈結de，作ef⊥de，ef與射線ba交於點f，設ce=x，bf＝y．

（1）求y關於x的函式關係式；

（2）若m＝8，求x為何值時，y的值最大，最大值是多少？

（3）若，要使△def為等腰三角形，m的值應為多少？

解析．(1)因為∠edc與∠feb都是∠dec的餘角，所以∠edc＝∠feb．

又因為∠c＝∠b＝90°，所以△dce∽△ebf．因此，即．

整理，得y關於x的函式關係為．

(2)如圖1，當m＝8時，．因此當x＝4時，y取得最大值為2．

(3) 若，那麼．整理，得．解得x＝2或x＝6．

要使△def為等腰三角形，只存在ed＝ef的情況．因為△dce∽△ebf，所以ce＝bf，即x＝y．

將x＝y ＝2代入，得m＝6（如圖2）；將x＝y ＝6代入，得m＝2（如圖3）．

第6題圖1第6題圖2第6題圖3

7．如圖，在△abc中，ab＝ac＝10，bc＝16，de＝4．動線段de（端點d從點b開始）沿bc以每秒1個單位長度的速度向點c運動，當端點e到達點c時運動停止．過點e作ef//ac交ab於點f（當點e與點c重合時，ef與ca重合），聯結df，設運動的時間為t秒（t≥0）．

（1）直接寫出用含t的代數式表示線段be、ef的長；

（2）在這個運動過程中，△def能否為等腰三角形？若能，請求出t的值；若不能，請說明理由；

（3）設m、n分別是df、ef的中點，求整個運動過程中，mn所掃過的面積．

解析．（1），．

（2）△def中，∠def＝∠c是確定的．

①如圖1，當de＝df時，，即．解得．

②如圖2，當ed＝ef時，．解得．

③如圖3，當fd＝fe時，，即．解得，即d與b重合．

第7題圖1第7題圖2第7題圖3

（3）mn是△fde的中位線，mn//de，mn＝2，mn掃過的形狀是平行四邊形．

如圖4，運動結束，n在ac的中點，n到bc的距離為3；

如圖5，運動開始，d與b重合，m到bc的距離為．

所以平行四邊形的高為，面積為．

第7題圖4第7題圖5

8．如圖，在平面直角座標系xoy中，矩形abcd的邊ab在x軸上，且ab＝3，bc＝，直線y＝經過點c，交y軸於點g．

（1）點c、d的座標分別是cd

（2）求頂點在直線y＝上且經過點c、d的拋物線的解析式；

（3）將（2）中的拋物線沿直線y＝平移，平移後的拋物線交y軸於點f，頂點為點e（頂點在y軸右側）．平移後是否存在這樣的拋物線，使△efg為等腰三角形？

若存在，請求出此時拋物線的解析式；若不存在，請說明理由

解析．（1），．

（2）頂點e在ab的垂直平分線上，橫座標為，代入直線y＝，得．

設拋物線的解析式為，代入點，可得．

所以物線的解析式為．

（3）由頂點e在直線y＝上，可知點g的座標為，直線與y軸正半軸的夾角為30°，即∠egf＝30°．

設點e的座標為，那麼eg＝2m，平移後的拋物線為．所以點f的座標為．

①如圖1，當ge＝gf時，yf－yg＝ge＝2m，所以．

解得m＝0或．m＝0時頂點e在y軸上，不符合題意．

此時拋物線的解析式為．

②如圖2，當ef＝eg時，fg＝，所以．解得m＝0或．

此時拋物線的解析式為．

③當頂點e在y軸右側時，∠feg為鈍角，因此不存在fe＝fg的情況．

第8題圖1第8題圖2

9．如圖，已知△abc中，ab＝ac＝6，bc＝8，點d是bc邊上的乙個動點，點e在ac邊上，∠ade＝∠b．設bd的長為x，ce的長為y．

（1）當d為bc的中點時，求ce的長；

（2）求y關於x的函式關係式，並寫出x的取值範圍；

（3）如果△ade為等腰三角形，求x的值．

等腰三角形的存在性問題

等腰三角形

等腰三角形

等腰三角形

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