一、選擇題
1.(2015·浙江高考文科·t4)設α,β是兩個不同的平面,l,m是兩條不同的直線,且
lα,mβ( )
a.若l⊥β,則b.若α⊥β,則l⊥m
c.若l∥β,則d.若α∥β,則l∥m
【解題指南】根據直線、平面的平行、垂直的判定與性質進行判斷.
【解析】選a.選項a中,由平面與平面垂直的判定,故正確;選項b中,當α⊥β時,l,m可以垂直,也可以平行,也可以異面;選項c中,l∥β時,α,β可以相交;選項d中,α∥β時,l,m也可以異面.
2. (2015·廣東高考理科·t8)若空間中n個不同的點兩兩距離都相等,則正整數n的取值 ( )
a.大於5b.等於5
c.至多等於4d.至多等於3
【解題指南】本題考查了空間中點與點的位置關係,這些兩兩距離相等的點在正多面體中可以找出.
【解析】選c.正四面體的四個頂點是兩兩距離相等的,即空間中n個不同的點兩兩距離都相等,則正整數n的取值至多等於4.
3. (2015·廣東高考文科·t6)若直線l1和l2是異面直線,l1在平面α內,l2在平面β內,l是平面α與平面β的交線,則下列命題正確的是 ( )
至少與l1,l2中的一條相交
與l1,l2都相交
至多與l1,l2中的一條相交
與l1,l2都不相交
【解析】選a.直線l1和l2是異面直線,l1在平面α內,l2在平面β內,α∩β=l,則l至少與l1,l2中的一條相交.
4.(2015·福建高考理科·t7)若l,m是兩條不同的直線,m垂直於平面α,則「l⊥m」是「l∥α」的 ( )
a.充分而不必要條件b.必要而不充分條件
c.充分必要條件d.既不充分也不必要條件
【解題指南】利用直線與平面的位置關係解答.
【解析】選b.因為不能得到l∥α,還可能lα，即充分性不成立,但是，所以必要性成立.
二、填空題
15.(2015·浙江高考理科·t13)
如圖,三稜錐a-bcd中,ab=ac=bd=cd=3,ad=bc=2,點m,n分別是ad,bc的中點,則異面直線an,cm所成的角的余弦值是 .
【解題指南】利用中位線定理尋找異面直線an,cm所成的角.
【解析】如圖,連線dn,取dn的中點p,連線pm,pc,則∠pmc即為異面直線an,cm所成的角(或其補角),易得, ,cm=，所以，即異面直線an,cm所成角的余弦值為.
答案:三、解答題
6.(2015·新課標全國卷ⅱ文科·t19)如圖,長方體abcd-a1b1c1d1中,ab=16,bc=10,aa1=8,點e,f分別在a1b1,d1c1上,a1e=d1f=4,過點e,f的平面α與此長方體的面相交,交線圍成乙個正方形.
(1)在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法與理由).
(2)求平面α把該長方體分成的兩部分體積的比值.
【解析】(1)交線圍成的正方形ehgf如圖.
(2)作em⊥ab,垂足為m,則am=a1e=4,eb1=12,em=aa1=8,
因為四邊形ehgf為正方形,所以eh=ef=bc=10.
於是,ah=10,hb=6.
因為長方體被平面α分成兩個高為10的直稜柱,所以其體積的比值為（也正確).
7. (2015·江蘇高考·t22)如圖,在四稜錐p-abcd中,已知pa⊥平面abcd,且四邊形abcd為直角梯形,∠abc=∠bad=,pa=ad=2,ab=bc=1.
(1)求平面pab與平面pcd所成二面角的余弦值.
(2)點q是線段bp上的動點,當直線cq與dp所成角最小時,求線段bq的長.
【解題指南】(1)建立空間直角座標系,通過求兩個平面的法向量之間的夾角求二面角的余弦值.(2)建立直線cq與pd所成角的函式關係式,再利用導數求其最值,確定點q的座標,最後利用向量模求bq的長.
【解析】
(1)由題意知,ab,ad,ap兩兩垂直,分別以ab,ad,ap所在的直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角座標系如圖所示,則a(0,0,0),b(1,0,0),c(1,1,0),d(0,2,0),p(0,0,2),所以=(1,0,0), =(0,0,2), =(1,-1,0), =(0,-2,2).設平面pcd的法向量為m=(x,y,z),所以即
不妨取x=1,得平面pcd的法向量為m=(1,1,1).又=(0,2,0)為平面pab的法向量,且cos===>0,所以平面pab與平面pcd所成二面角的余弦值為.
(2)因為=(-1,0,2),設=λ=(-λ,0,2λ)(0≤λ≤1),又=(0,-1,0),則=+=(-λ,-1,2λ),又=(0,-2,2),從而cos<,>==.設1+2λ=t,t∈[1,3],則,當且僅當,即時,的最大值為.因為y=cosx在上是減函式,此時直線cq與dp所成角取得最小值.
又因為,所以.
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考點34空間點直線平面之間的位置關係
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