一、空間點、線、面間的位置關係
【課標要求】借助長方體模型，在直觀認識和理解空間點、線、面的位置關係的基礎上，抽象出空間線、面位置關係的定義，並了解公理1~4和空間等角定理。
【例題1】如圖所示，已知空間四邊形abcd，e，f分別是ab，ad的中點，g，h分別是bc，cd上的點，且cg=bc，ch=dc，求證：
（1）e，f，g，h四點共面；
（2）三直線fh，eg，ac共點.
【解析】本題考查空間點、線、面間的位置關係，需要用公理1-3來解決；
【答案】如圖（1）連線ef，gh，由e，f分別為ab，ad中點，∴ef bd，由cg= bc，ch= dc，∴hgbd，∴ef∥hg且ef≠hg，∴ef，hg可確定平面α，∴e,f,g,h四點共面；
（2）由（1）知efhg為平面圖形，且ef∥hg，ef≠hg.，∴四邊形efhg為梯形，設直線fh∩直線eg=o，∵點o∈直線fh，直線fh面acd，∴點o∈平面acd，同理點o∈平面abc，又面acd∩面abc=ac，∴點o∈直線ac（公理2），∴三直線fh，eg，ac共點.
【歸納拓展】1、證明點線共面的常用方法：先確定乙個平面，再證明有關點、線在此平面內；或者先證明有關的點、線確定平面α，再證明其餘元素確定平面β，最後證明平面α,β重合；
2、線共點問題就是證明三條或三條以上的直線交於一點，證明三線共點的依據是公理3，
證明三線共點的方法是：先證兩條直線交於一點，再證明第三條直線經過該點；把問題轉化為證明點在直線上的問題，實際上，點共線、線共點的問題都可以轉化為點在直線上的問題來處理。
【變式訓練1】如圖，正方體abcd—a1b1c1d1中，判斷下列命題是否正確，並說明理由；
（1）直線ac1平面cc1b1b；
（2）設正方形abcd與a1b1c1d1的中心分別為o，o1，平面aa1c1c 平∩面bb1d1d=oo1；
（3）點a，o，c可以確定乙個平面；
（4）由點a，c1，b1確定的平面是adc1b1；
（5）由a，c1，b1確定的平面和由a，c1，d確定的平面是同一平面；
【變式訓練2】如圖所示，空間四邊形abcd中，e，f，g分別在ab，bc，cd上，且滿足ae:eb=cf:fb=2:
1，cg: gd=3:1，過e，f，g的平面交ad於h，連線eh.
（1）求ah:hd；
（2）求證：eh，fg，bd三線共點.
二、直線、平面平行的判定與性質
【課標要求】以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發點，通過直觀感知、操作確認、思辨論證，認識和理解空間中線面平行的判定與性質。
【例題2】如圖，正三稜柱abc-a1b1c1的底面邊長為2,點e、f分別是稜cc1、bb1上的點，點m是線段ac上的動點，ec=2fb=2.
(1)當點m在何位置時，mb∥平面aef;
(2)若mb∥平面aef，判斷mb與ef的位置關係，說明理由，並求mb與ef所成角的余弦值.
【解析】對於第(1)題，可採用分析法得到，即假設mb∥平面aef，則平面mbf與aef的交線與mb平行，由平面幾何的知識不難探求m應為ac的中點;第(2)題mb與ef異面可由判定定理推證，求夾角用平移法.
【答案】(1)如圖，當m是線段ac中點時，mb∥平面aef.取ae中點n，連線nf,mn，則mn∥ce∥bf,，，∴mn=bf，mn∥bf，∴mnfb是平行四邊形，mb∥bf，又∵ 平面aef，平面aef，∴mb∥平面aef；
(2)mb與ef是兩條異面直線.∵ef平面bb1cc1 ,b∈平面bb1cc1,b直線ef,m平面bb1cc1，∴mb與ef是異面直線
由(1)知mb∥nf,∴∠efn就是異面直線mb與ef所成的角，由平面abc⊥平面aa1cc1，bm⊥ac,知mb⊥平面aa1cc1，又nf∥mb,∴fn⊥平面aa1cc1∴fn⊥ae，而n是ae的中點,∴ef=af=，nf=bm=，在rt△efn中,cos∠efn=.即所求角的余弦值為.
【歸納拓展】判斷或證明線面平行的常用方法有:
(1)利用線面平行的定義(無公共點);
(2)利用線面平行的判定定理(aα,bα,a∥ba∥α);
(3)利用面面平行的性質定理(α∥β,aαa∥β);
【變式訓練3】如圖所示，在稜長為的正方體中，，，，分別是，，，的中點．
(1)求證：平面．
(2)求的長．
(3)求證：平面．
【變式訓練4】如圖，四邊形abcd為矩形，m，n分別是ec與ab的中點，求證：mn平面ade.
【例題3】如圖，四邊形efgh為四面體abcd的乙個截面，截面與稜ab，cd都平行.
(1)求證：四邊形efgh為平行四邊形；
(2)若ab=4，cd=6，求四邊形efgh周長的取值範圍。
【解析】第(1)題，由條件的線面平行到所求的線線平行，考查線面平行的性質，第(2)題需要把周長用乙個適當的引數表示，利用函式思想來解決。
【答案】(1)∵ab∥面efgh，ab面abc，面abc∩面efgh=ef，∴ab∥ef，同理ab∥gh，∴ef∥gh，又∵cd∥面efgh，同理eh∥fg，∴四邊形efgh為平行四邊形；
(2)設，由(1)知ef∥ab，∴，即，∴ef=4x，又∵gh∥cd，∴，即，∴eh=6(1-x)，∴四邊形efgh的周長為l=2(4x+6-6x)=4(3-x)，∵0【歸納拓展】平行關係可以相互轉化，下面是它們之間轉化關係：
【變式訓練5】如圖，四邊形efgh為四面體abcd的乙個截面，截面為平行四邊形.
(1) 求證：截面efgh與稜ab，cd都平行；
(2)當對稜ab，cd滿足什麼位置關係時，平行四邊形efgh為矩形？說明理由；
(3)若ab=4，cd=6，當平行四邊形efgh為矩形時，求它面積的最大值，並求此時點e、f、g、h的位置。
三、直線、平面垂直的判定與性質
【課標要求】以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發點，通過直觀感知、操作確認、思辨論證，認識和理解空間中線面垂直的判定與性質。
【例題4】如圖，abcd為矩形，pa平面abcd ,m、n分別為ab、pc的中點，
(1) 證明：abmn; (2)若平面pdc與平面abcd成角，證明：平面mnd平面pdc.
【解析】第(1)題證明線線垂直，可以用等腰三角形性質，也可用線面垂直的性質，第(2)題需要作出(或找出)二面角的平面角，再證線面垂直，進而得到面面垂直。
【答案】證法一：(1)如圖，連線an與bn，∵pa⊥平面abcd，∴pa⊥ac，pa⊥bc，又∵bc⊥ab，∴bc⊥平面pab，∴bc⊥pb，∴bn=pc，又∵pa⊥ac，∴an= pc，∴bn=an，∴△abn為等腰直角△，又∵m為ab中點，∴mn⊥ab
(2)∵pa⊥平面abcd，∴pa⊥cd，又∵cd⊥ad，∴cd⊥平面pad，∴∠pda為平面pdc與平面abcd所成的角，∴∠pda=45°，∴pa=ad=bc，又∵am=mb，∠pam=∠cbm=90°，△pam≌△cbm，∴pm=cm，又∵n為pc中點，∴mn⊥pc，由(1)知mn⊥ab，又∵ab∥cd，∴mn⊥cd，pc與cd相交，∴mn⊥平面pcd。
證法二：(1)取pd中點q連線aq、nq，∵amcd，nqcd，∴amnq，∴四邊形amnq為平行四邊形，易證am⊥pa，又∵am⊥ad，∴am⊥平面pad，∴am⊥aq，又∵mn∥aq，∴mn⊥am，即mn⊥ab；
(2) ∵pa⊥平面abcd，∴pa⊥cd，又∵cd⊥ad，∴cd⊥平面pad，∴∠pda為平面pdc與平面abcd所成的角，∴∠pda=45°，∵pa⊥ad，∴aq⊥pd，又∵mn∥aq，∴mn⊥pd，由(1)mn⊥ab，又由ab∥cd，∴mn⊥cd，∵cd與pd相交，∴mn⊥平面pcd，∴平面mnd⊥平面pcd。
【歸納拓展】空間的線線垂直，一般由線面垂直來證明，而線面垂直又可以由線線垂直或麵麵垂直證明，所以靈活運用垂直關係的轉化是證明的關鍵；垂直的轉化關係如下：
【變式訓練6】如圖所示，已知三稜錐p-abc中，pc⊥底面abc，ab=bc，d、f分別是ac、pc的中點，de⊥ap於e，(1)求證：ap⊥平面bde；(2)求證：平面bde⊥平面bdf；
【例題5】如圖，直二面角d—ab—e中，四邊形abcd是邊長為2的正方形，ae=eb，f為ce上的點，且bf⊥平面ace.
（1）求證：ae⊥平面bce； （2）求二面角b—ac—e的余弦值； （3）求點d到平面ace的距離.
【解析】第(1)題，要證ae⊥平面bce，只需證ae⊥bc，與ae⊥bf，第(2)題，要求二面角的平面角，需要作出(或找出)平面角來，從稜出發作出兩條射線都與ac垂直，這實際上也是乙個線面垂直問題，連線bd與稜ac相交來找思路，第(3)題，d到平面ace的距離需要過d作平面ace的垂線段，不易直接作，可利用對稱性，轉到b到平面ace的距離。
【答案】(1)證明：∵bf平面ace，∴bf⊥ae，∵二面角d—ab—e為直二面角，且cb⊥ab，∴cb⊥平面abe，∴cb⊥ae，∴ae⊥平面bce.
(2) 連線bd交ac於g點，∴ac⊥gb，又∵bf⊥平面ace，∴bf⊥ac，∴ac⊥平面bgf，∴ac⊥gf，∴∠bgf為二面角b-ac-e的平面角，由(1)知ae⊥平面bce，∴ae⊥eb，又∵ae=eb，ab=2，∴eb=，∴fb=，∵bf⊥平面ace，∴bf⊥gf，在rt△bgf中，bg=，∴gf=，∴cos∠bgf=；
(3)∵bd的中點g在平面ace上，∴d點到平面ace與b到平面ace的距離相等，又∵bf⊥平面ace，∴bf長為b到平面ace的距離，∴所求距離為
【歸納拓展】1、求二面角的步驟：（1）作出二面角的平面角；（2）證明該角兩邊都與稜垂直；（3）指出該角就是二面角的平面角；（4）計算該角大小；簡記為作、證、指、算；
高中數學必修2知識點總結第二章直線與平面的位置關係
高中數學必修2知識點總結 第二章直線與平面的位置關係 2.1空間點 直線 平面之間的位置關係 2.1.1 1 平面含義 平面是無限延展的 2 平面的畫法及表示 1 平面的畫法 水平放置的平面通常畫成乙個平行四邊形，銳角畫成450，且橫邊畫成鄰邊的2倍長 如圖 2 平面通常用希臘字母 等表示，如平面 ...
第二章點 直線 平面的位置關係小結
一 教學目標 1 知識與技能 1 使學生掌握知識結構與聯絡，進一步鞏固 深化所學知識 2 通過對知識的梳理，提高學生的歸納知識和綜合運用知識的能力。2 過程與方法 利用框圖對本章知識進行系統的小結，直觀 簡明再現所學知識，化抽象學習為直觀學習，易於識記 同時凸現數學知識的發展和聯絡。3情態與價值 學...
第二章點 直線 平面的位置關係小結
一 教學目標 1 知識與技能 1 使學生掌握知識結構與聯絡，進一步鞏固 深化所學知識 2 通過對知識的梳理，提高學生的歸納知識和綜合運用知識的能力。2 過程與方法 利用框圖對本章知識進行系統的小結，直觀 簡明再現所學知識，化抽象學習為直觀學習，易於識記 同時凸現數學知識的發展和聯絡。3情態與價值 學...