2.1.1 平面
1.平面：平面與我們學過的點、直線、集合等概念一樣都是最基本的概念（不加定義的原始概念）。平面的基本特徵是無限延展性。
2.平面的畫法及表示
（1）平面的畫法：平面通常畫成平行四邊形，平行四邊形的銳角通常畫成45°，且橫邊長等於其鄰邊長的2倍，如圖1。如果乙個平面被另乙個平面遮擋住，為了增強它的立體感，我們常把它遮擋的部分用虛線畫出來，如圖2.
圖1圖2
（2）平面的表示法有如下幾種：（1）在乙個希臘字母α、β、γ的前面加「平面」二字，如平面α、平面β、平面γ等，且字母通常寫在平行四邊形的乙個銳角內(圖3)；（2）用平行四邊形的四個字母表示，如平面abcd（圖4）；（3）用表示平行四邊形的兩個相對頂點的字母來表示，如平面ac（圖4）.
圖3圖4
3.點與平面的關係及其表示方法（平面內有無數個點，平面可以看成點的集合. ）
點a在平面α內，記作：
點b在平面α外，記作：
4.平面的基本性質
公理1：如果一條直線上的兩點在乙個平面內，那麼這條直線在此平面內
符號表示為
作用：判斷直線是否在平面內
公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有乙個平面.
符號表示為：a、b、c三點不共線=>有且只有乙個平面，使a∈α、b∈α、c∈α
作用：確定乙個平面的依據.
3個推論：
推論1：經過一條直線與直線外一點，有且只有乙個平面.
推論2：經過兩條平行直線，有且只有乙個平面.
推論3：經過兩條相交直線，有且只有乙個平面.
公理3：如果兩個不重合的平面有乙個公共點，那麼它們有且只有一條過該點的公共直線.
符號表示為：p∈α∩β=>α∩β=l，且p∈l
作用：判定兩個平面是否相交的依據
課堂練習
1.如果一條直線與兩條平行直線都相交,那麼這三條直線是否共面？
2 求證：兩兩相交且不過同乙個點的三條直線必在同一平面內.
3.在正方體中，
（1）與是否在同一平面內？（2）點是否在同一平面內？
（3）畫出平面與平面的交線，平面與平面的交線.
解：（1）在正方體中，∵， ∴由公理2的推論可知，與可確定平面，∴與在同一平面內.
（2）∵點不共線，由公理3可知，點可確定平面，∴ 點在同一平面內.
（3）∵，， ∴點平面，平面，又平面，平面， ∴ 平面平面，同理平面平面．
4.已知△abc三邊所在直線分別與平面α交於p、q、r三點，求證：p、q、r三點共線.
解：如圖13,∵a、b、c是不在同一直線上的三點,
∴過a、b、c有乙個平面β.
又∵ab∩α=p，且abβ,
∴點p既在β內又在α內.設α∩β=l,則p∈l,
同理可證：q∈l,r∈l,
∴p、q、r三點共線.
2.1.2空間中直線與直線之間的位置關係
1.空間中兩條直線的位置關係
共面直線相交：同一平面內，有且只有乙個公共點
平行：同一平面內，沒有公共點
異面直線：不同在任何乙個平面內，沒有公共點
2.異面直線
（1）概念：不同在任何乙個平面內的兩條直線.
（2）判斷：下列各圖中直線l與m是異面直線嗎?
（3）畫法：用乙個或兩個平面襯托
（4）辨析
①空間中沒有公共點的兩條直線是異面直線.
②分別在兩個不同平面內的兩條直線是異面直線.
③不同在某一平面內的兩條直線是異面直線.
④平面內的一條直線和平面外的一條直線是異面直線.
⑤既不相交，又不平行的兩條直線是異面直線 .
注意：判斷異面直線的關鍵：既不相交，又不平行.
3．公理4：平行於同一條直線的兩條直線互相平行。
符號表示為：設a、b、c是三條直線
注：公理4實質上是說平行具有傳遞性，在平面、空間此性質都適用；
公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據.
4. 異面直線所成的角
（1）等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那麼這兩個角相等或互補.
（2）異面直線a、b所成的角：在空間中任取一點o，過點o分別引a′∥a，b′∥b，則a′，b′所成的銳角（或直角）叫做兩條異面直線所成的角.
（3）異面直線所成的角的範圍：，如果兩條異面直線所成的角是直角，則叫兩條異面直線垂直，記作.
注：如果兩條異面直線 a , b 所成的角為直角，我們就稱這兩條異面直線互相垂直 , 記為a ⊥ b；在求作異面直線所成的角時,o點常選在其中的一條直線上(如線段的端點,線段的中點等)。求兩條異面直線所成角的步驟可以歸納為四步：
選點→平移→定角→計算.
課堂練習
1.直線外一點可作無數條直線與已知直線成異面直線?
2. 在正方體abcd-a1b1c1d1中，（1）哪些稜所在的直線與直線ba1成異面直線？（2）求直線ba1和cc1所成的角的大小。（3）哪些稜所在的直線與直線a1b垂直．
3.在空間四邊形abcd中, e、f分別是ab、cd中點, 且ef=5 , 又ad=6, bc=8. 求ad與bc所成角的余弦值.
4.如圖中，正方體abcd—a1b1c1d1，e、f分別是ad、aa1的中點.（1）求直線ab1和cc1所成的角的大小；（2）求直線ab1和ef所成的角的大小.
解：（1）如圖，鏈結dc1 ， ∵dc1∥ab1，∴ dc1 和cc1所成的銳角∠cc1d就是ab1和cc1所成的角.∵ ∠cc1d=45°， ∴ ab1 和cc1所成的角是45°.
（2）如圖，鏈結da1、a1c1， ∵ ef∥a1d，ab1∥dc1，∴ ∠a1dc1是直線ab1和ef所成的角. ∵δa1dc1是等邊三角形， ∴ ∠a1dc1=60，即直線ab1和ef所成的角是60.
5.如圖，點a是bcd所在平面外一點，ad=bc，e、f分別是ab、cd的中點，且ef=ad，求異面直線ad和bc所成的角.
6.一條直線與兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條的位置關係是（ ）
a.平行或異面b.相交或異面 c.異面d.相交
7.若a和b異面，b和c異面，則（ ）
和c異面
和c相交與c或平行或相交或異面
7.設空間四邊形abcd，e、f、g、h分別是ac、bc、db、da的中點，若ab=，cd=，且hg·he·sin∠ehg=，求ab和cd所成的角.
解：由三角形中位線的性質知，hg∥ab，he∥cd，
∴∠ehg就是異面直線ab和cd所成的角.
由題意可知efgh是平行四邊形，hg=，he=，
∴hg·he·sin∠ehg=sin∠ehg.
∴sin∠ehg=.
∴sin∠ehg=.故∠ehg=45°.
∴ab和cd所成的角為45°.
2.1.3、2.1.4直線與平面、平面與平面的位置關係
1．直線與平面有三種位置關係：
（1）直線在平面內 —— 有無數個公共點
（2）直線與平面相交 —— 有且只有乙個公共點
（3）直線在平面平行 —— 沒有公共點
aa∩α=aa∥α
2．兩個平面之間有兩種位置關係：
（1）兩個平面平行 —— 沒有公共點
（2）兩個平面相交 —— 有且只有一條公共直線
l注：畫兩個相互平行的平面時，要注意使表示平面的兩個平行四邊形的對應邊平行.
課堂練習
1.若直線a不平行於平面α,且aα,則下列結論成立的是( d )
a.α內的所有直線與a異面b.α內的直線與a都相交
c.α內存在唯一的直線與a平行d.α內不存在與a平行的直線
2.若直線aα,則下列結論中成立的個數是( a )
(1)α內的所有直線與a異面 (2)α內的直線與a都相交 (3)α內存在唯一的直線與a平行 (4)α內不存在與a平行的直線
a.0b.1c.2d.3
3.若兩條異面直線中的一條在平面α內，討論另一條直線與平面α的位置關係.
4.已知a,b,c為三條不重合的直線，為兩個不重合的平面。則正確的是
a∥b, b ∥c a ∥ba∥β ,b∥β a∥b
a ∥c , ∥c aa∥β, a∥ ∥β
5.下列命題中正確的個數是（ ）
⑴若直線l上有無數個點不在平面內，則l∥，(2)若直線l與平面平行，則l與平面內的任意一條直線都平行，(3)如果兩條平行直線中的一條與乙個平面平行，那麼另一條也與這個平面平行，(4)若直線l與平面平行，則l與平面內任意一條直線都沒有公共點
（a）0 (b) 1 (c) 2 (d)3
6.已知α∩β=l,aα且aβ,bβ且bα,又a∩b=p. 求證：a與β相交,b與α相交.
證明：如圖14,∵a∩b=p,
∴p∈a,p∈b.
又bβ,∴p∈β.
∴a與β有公共點p,即a與β相交.
同理可證,b與α相交.
7.已知平面α∩平面β=a, bα,b∩a=a,cβ且c∥a,
求證：b、c是異面直線.
證明：反證法：若b與c不是異面直線，則b∥c或b與c相交.
(1)若b∥c.∵a∥c,∴a∥b.這與a∩b=a矛盾.
(2)若b、c相交於b,則b∈β.又a∩b=a,∴a∈β.
∴abβ,即bβ.這與b∩β=a矛盾.
∴b,c是異面直線.
高中化學必修二第二章知識點和習題 含答案
必修2 第二章化學反應與能量知識要點歸納 第一節化學能與熱能 1 在任何的化學反應中總伴有能量的變化。原因 當物質發生化學反應時，斷開反應物中的化學鍵要吸收能量，而形成生成物中的化學鍵要放出能量。化學鍵的斷裂和形成是化學反應中能量變化的主要原因。乙個確定的化學反應在發生過程中是吸收能量還是放出能量，...
必修2第二章知識點小結
第二章化學反應和能量 一.能量總述 1.現代社會發展的三大支柱 能源 材料與資訊。人類利用能源的三個階段 柴草時期，化石能源時期，多能源結構時期。2.任何物質都儲存有 能量的形式有多種，如熱能 電能 化學能 機械能 光能等。3.化學反應的特點是有新物質生成，新物質和反應物總能量不同，而反應中能量守恆...
數學必修2第二章知識點小結
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