第4章知識點總結
1、 圓的標準方程：
1.方程表示圓心為a（a，b），半徑長為r的圓.
2.求圓的標準方程的常用方法：
（1）幾何法：根據題意，求出圓心座標與半徑，然後寫出標準方程；
（2）待定係數法：先設圓的方程，再根據條件列出關於a、b、r的方程組，然後解出a、b、r，再代入圓的方程.
3.小技巧
求圓心座標:(1)兩條直線的交點（弦的垂直平分線）(2)直徑的中點
求半徑長：（1）圓心到圓上一點（2）圓心到切線的距離
【例1】過點、且圓心在直線x＋y－2＝0上的圓的方程是（ c ）.
a.（x－3）2＋（y＋1）2＝4 b.（x＋3）2＋（y－1）2＝4
c.（x－1）2＋（y－1）2＝4 d.（x＋1）2＋（y＋1）2＝4
【例2】求下列各圓的方程：
（1）過點，圓心在；
（2）圓心在直線上的圓c與y軸交於兩點
解：（1）設所求圓的方程為. 則， 解得. ∴ 圓的方程為.
（2）圓心**段ab的垂直平分線上，代入直線得，
圓心為，半徑.∴ 圓c的方程為.
2、 圓的一般方程：
1. 方程（）表示圓心是，半徑長為的圓.
2. 軌跡方程是指點動點m的座標滿足的關係式.（課本p122例5、p124-b組）
一般步驟:(1)建系設動點座標；(2)找等量關係；（3）列關於x,y的方程化簡。
【例1】求過三點a(2,2)、b(5,3)、c(3,－1)的圓的方程.
解：設所求圓的方程為. 則 （也可設為圓的標準方程）
， 解得. ∴ 圓的方程為.
三、 直線與圓的位置關係
1. 直線與圓的位置關係及其判定：
方法一：由直線與圓的方程組成的方程組，消去x或（y），化為一元二次方程，看方程組有無實數解；
方法二（常用）：利用圓心（）到直線的距離，比較d與r的大小.
（1）相交；（2）相切；（3）相離.
2. 直線與圓的相切研究，是高考考查的重要內容. 同時，我們要熟記直線與圓的各種方程、幾何性質，也要掌握一些常用公式，例如點線距離公式
【例1】若直線（1+a）x+y+1=0與圓x2＋y2－2x＝0相切，則a的值為 .
解：將圓x2＋y2－2x＝0的方程化為標準式：（x－1）2＋y2＝1, 其圓心為（1，0），半徑為1，由直線（1＋a）x＋y＋1＝0與該圓相切，則圓心到直線的距離， ∴ a＝－1.
【例2】求直線被圓所截得的弦長. （p144 練習1題）
解：由題意，列出方程組，消y得，得，.
設直線與圓交於點，，則
=.另解：圓心c的座標是，半徑長. 圓心到直線的距離.
所以，直線被圓截得的弦長是.
4、 圓與圓的位置關係
1. 兩圓的位置關係及判定：設兩圓圓心分別為，半徑分別為，則：
（1）兩圓內含
（2）兩圓內切；
（3）兩圓相交；
（4）兩圓外切；
（5）兩圓外離
2.兩個重要結論：
(1)公共弦所在直線的方程的求法：
將兩圓的方程相減，所得直線方程即為兩圓公共弦所在的直線方程。
（2）兩圓公共弦的垂直平分線是兩圓的圓心連線。
【例1】已知圓：①，圓：②
（1）試判斷兩圓的位置關係；
（2）求公共弦所在的直線方程.
解：（1）∵圓的圓心為（3,0），半徑為，圓的圓心為（0，2），半徑為，
又，∴＜， ∴圓與相交.
（2）由①－②，得公共弦所在的直線方程為.
【例2】求經過兩圓和的交點，並且圓心在直線上的圓的方程.（課本p132-4) （所求圓的方程為＋）
【例3】 若圓與圓的交點為a，b，則線段ab的垂直平分線的方程是（ a ）
型別題：課本p133-a組9,10,11 p144-a組6 b 組6
6. 五、直線與圓的方程的應用
座標法：建立適當的直角座標系後，借助代數方法把要研究的幾何問題，轉化為座標之間的運算，由此解決幾何問題
【例1】有一種大型商品，a、b兩地都有**，且**相同，某地居民從兩地之一購得商品後運回的費用是：每單位距離，a地的運費是b地運費的3倍．已知a、b兩地相距10千公尺，顧客購物的標準是總費用較低，求a、b兩地的售貨區域的分界線的曲線形狀，並指出曲線上、曲線內、曲線外的居民如何選擇購貨地．
解：建立使a(－5，0)、b(5，0)的直角座標系，設單位距離的運費是a元.
若在a地購貨費用較低，則：**＋a地運費≤**＋b地運費
即.∵ a＞0，∴ 8x2＋8y2＋100x＋200y≤0.得 (x＋)2＋y2≤()2 .
∴ 兩地購物區域的分界線是以點c(－，0)為圓心，為半徑的圓.
所以，在圓c內的居民從a地購物便宜，圓c外的居民從b地購物便宜，圓c上的居民從a、b兩地購物總費用相等．
【例2】自點a(-3,3)發出的光線l射到x軸上,被x軸反射, 其反射光線所在的直線與圓相切, 求光線l所在的直線方程.
解：由已知可得圓c：關於x軸對稱的圓c『的方程為，其圓心c『（2，-2），易知l與圓c』相切.
設l: y-3=k(x+3), 即kx-y+3k+3=0.∴，整理得12k2+ 25k+12=0, 解得或.
所以，所求直線方程為y-3= (x+3)或 y-3= (x+3)，即3x+4y-3=0或4x+3y+3=0.
型別題：p144-b組5
點評：關於求切線問題, 利用圓心到切線的距離等於圓的半徑的條件, 是解決圓的切線方程的常用方法. 如果由方程組思想，通過「」求切線方程也可, 但過程要複雜些.
六、空間直角座標系
1. 空間直角座標系：從空間某乙個定點o引三條互相垂直且有相同單位長度的數軸ox、oy、oz，這樣的座標系叫做空間直角座標系o-xyz，點o叫做座標原點，x軸、y軸、z軸叫做座標軸.
通過每兩個座標軸的平面叫做座標平面，分別稱為xoy平面、yoz平面、zox平面.
3. 空間直角座標系中的座標：對於空間任一點m，作出m點在三條座標軸ox軸、oy軸、oz軸上的射影，若射影在相應數軸上的座標依次為x、y、z，則把有序實陣列(x, y, z)叫做m點在此空間直角座標系中的座標，記作m(x, y, z)，其中x叫做點m的橫座標，y叫做點m的縱座標，z叫做點m的豎座標.
4. 在xoy平面上的點的豎座標都是零，在yoz平面上的點的橫座標都是零，在zox平面上的點的縱座標都是零；在ox軸上的點的縱座標、豎座標都是零，在oy軸上的點的橫座標、豎座標都是零，在oz軸上的點的橫座標、縱座標都是零
七、空間兩點間的距離公式
1. 空間兩點、間的距離公式：.
2. 座標法求解立體幾何問題時的三個步驟：
①在立體幾何圖形中建立空間直角座標系；
②依題意確定各相應點的座標 ；
③通過座標運算得到答案.
3. 對稱問題，常用對稱的定義求解： 一般地，
點p(x, y, z) 關於座標平面xoy、yoz、zox的對稱點的座標分別為(x, y,- z)、(-x, y, z)、(x, -y, z)；
關於x軸、y軸、z軸的對稱點的座標分別為(x, -y,- z)、(-x, y, -z)、(-x, -y, z)；關於原點的對稱點的座標為(-x,- y,- z).
例1 空間直角座標系中，點a(-3,4,0)與點b（2，-1,6)的距離是（ d ）
例2 空間直角座標系中，點(-2,1,4)關於x軸的對稱點的座標是（ b ）
a.（-2,1,4） b.（-2，-1，-4） c.(2,-1,4) d.(2,1,4)
必修2數學第3章知識點和例題
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必修2數學知識點和例題
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