第1講第1章 §1.1.1 柱、錐、臺、球的結構特徵
¤知識要點：
1.下列說法錯誤的是（ ）
a.多面體至少有四個面b.九稜柱有9條側稜，9個側面，側面為平行四邊形
c.長方體、正方體都是稜柱d.三稜柱的側面為三角形答案：d
2.乙個稜柱有10個頂點，所有的側稜長的和為60 cm，則每條側稜長為cm答案：12
3.在本節我們學過的常見幾何體中,如果用乙個平面去截幾何體，如果截面是三角形，那麼這個幾何體可能是
答案：稜錐、稜柱、稜臺、圓錐
第2講 §1.1.2 簡單組合體的結構特徵
¤例題精講：【例1】在四稜錐的四個側面中，直角三角形最多可有（ ）.
a. 1個 b. 2個 c. 3個 d. 4個選d.
【例2】已知球的外切圓台上、下底面的半徑分別為，求球的半徑.
解：圓台軸截面為等腰梯形，與球的大圓相切，由此得梯形腰長為r+r，梯形的高即球的直徑為，
所以，球的半徑為.
第3講 §1.2.2 空間幾何體的三檢視
¤例題精講：【例1】畫出下列各幾何體的三檢視：
解： 【例2】畫出下列三檢視所表示的幾何體.
解：【例3】如圖，圖（1）是常見的六角螺帽，圖（2）是乙個機器零件（單位：cm），所給的方向為物體的正前方. 試分別畫出它們的三檢視.解第
第4講 §1.2.3 空間幾何體的直觀圖
¤知識要點：「直觀圖」最常用的畫法是斜二測畫法，由其規則能畫出水平放置的直觀圖，其實質就是在座標系中確定點的位置的畫法. 基本步驟如下：
（1） 建系：在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，得到直角座標系，直觀圖中畫成斜座標系，兩軸夾角為.(2）平行不變：
已知圖形中平行於x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行於x』或y』軸的線段.（3）長度規則：已知圖形中平行於x軸的線段，在直觀圖中保持長度不變；平行於y軸的線段，長度為原來的一半.
第5講 §1.3.1 柱體、錐體、台體的表面積
¤學習目標：了解稜柱、稜錐、臺的表面積的計算公式（不要求記憶公式）；能運用柱、錐、臺的表面積進行計算和解決有關實際問題.
¤知識要點：
¤例題精講：
【例1】已知圓台的上下底面半徑分別是2、5，且側面面積等於兩底面面積之和，求該圓台的母線長.解：
【例2】乙個正三稜柱的三檢視如右圖所示，求這個正三稜柱的表面積.
解：.第6講 §1.3.1 柱體、錐體、台體的體積
¤知識要點：1. 體積公式：
2. 柱、椎、臺之間，可以看成乙個台體進行變化，當台體的上底面逐漸收縮為乙個點時，它就成了錐體；當台體的上底面逐漸擴充套件到與下底面全等時，它就成了柱體. 因而體積會有以下的關係：
.¤例題精講：【例1】乙個長方體的相交於乙個頂點的三個面的面積分別是2、3、6，則長方體的體積是 .
解：設長方體的長寬高分別為，則，三式相乘得.所以，長方體的體積為6.
【例2】一塊邊長為10的正方形鐵片按如圖所示的陰影部分裁下,然後用餘下的四個全等的等腰三角形加工成乙個正四稜錐形容器,試建立容器的容積v與x的函式關係式,並求出函式的定義域.
解：如圖，設所截等腰三角形的底邊邊長為.
在中，, 所以, 於是.依題意函式的定義域為.
【例3】乙個無蓋的圓柱形容器的底面半徑為，母線長為6，現將該容器盛滿水，然後平穩緩慢地將容器傾斜讓水流出，當容器中的水是原來的時，圓柱的母線與水平面所成的角的大小為 .
解：容器中水的體積為.流出水的體積為，如圖，.設圓柱的母線與水平面所成的角為α，則，解得.
第7講 §1.3.2球的體積和表面積
¤知識要點：1. 表面積： （r：球的半徑）. 2. 體積：.
¤例題精講：【例2】表面積為的球，其內接正四稜柱的高是，求這個正四稜柱的表面積.
解：設球半徑為，正四稜柱底面邊長為，則作軸截面如圖，，，又
【例3】設a、b、c、d是球面上的四個點，且在同一平面內，ab=bc=cd=da=3，球心到該平面的距離是球半徑的一半，則球的體積是a． b． c． d．
【解】由已知可得，a、b、c、d在球的乙個小圓上.∵ ab=bc=cd=da=3， ∴ 四邊形為正方形. ∴ 小圓半徑.
由得，解得.∴ 球的體積. 所以選a.
第8講 §2.1.1 平面
¤知識要點：
1. 點在直線上,記作；點在平面內,記作；直線在平面內,記作.
2. 平面基本性質即三條公理的「文字語言」、「符號語言」、「圖形語言」列表如下：
3.公理2的三條推論：
推論1 經過一條直線和這條直線外的一點，有且只有乙個平面；
推論2 經過兩條相交直線，有且只有乙個平面；
推論3 經過兩條平行直線，有且只有乙個平面.
¤例題精講：
【例1】如果一條直線與兩條平行直線都相交,那麼這三條直線是否共面？
【例2】空間四邊形abcd中，e、f、g、h分別是ab、bc、cd、da上的點，已知ef和gh交於p點，求證：ef、gh、ac三線共點.
解：∵pef，ef面abc，∴p面abc. 同理p面adc.∵ p在面abc與面adc的交線上，又 ∵面abc∩面adc=ac， ∴pac，即ef、hg、ac三線共點.
【例3】求證：兩兩相交且不過同乙個點的三條直線必在同一平面內.
已知：直線兩兩相交，交點分別為，求證：直線共面.
證明：因為a，b，c三點不在一條直線上，所以過a，b，c三點可以確定平面α． 因為a∈α，b∈α，所以ab α． 同理bc α，ac α.所以ab，bc，ca三直線共面．
【例4】在正方體中，
（1）與是否在同一平面內？（2）點是否在同一平面內？
（3）畫出平面與平面的交線，平面與平面的交線.
解：（1）在正方體中，∵， ∴由公理2的推論可知，與可確定平面，∴與在同一平面內.
（2）∵點不共線，由公理3可知，點可確定平面，∴ 點在同一平面內.
（3）∵，， ∴點平面，平面，又平面，平面， ∴ 平面平面，同理平面平面．
第9講 §2.1.2 空間中直線與直線之間的位置關係
¤知識要點：
1.空間兩條直線的位置關係：
2. 已知兩條異面直線，經過空間任一點作直線，把所成的銳角（或直角）叫異面直線所成的角（或夾角）.所成的角的大小與點的選擇無關，為了簡便，點通常取在異面直線的一條上；異面直線所成的角的範圍為，如果兩條異面直線所成的角是直角，則叫兩條異面直線垂直，記作.
求兩條異面直線所成角的步驟可以歸納為四步：選點→平移→定角→計算.
¤例題精講：【例1】已知異面直線a和b所成的角為50°，p為空間一定點，則過點p且與a、b所成角都是30°的直線有且僅有（ ）.
a. 1條 b. 2條 c. 3條 d. 4條
解：過p作∥a，∥b，若p∈a，則取a為，若p∈b，則取b為．這時，相交於p點，它們的兩組對頂角分別為50°和130°. 記，所確定的平面為β，那麼在平面β內，不存在與，都成30°的直線． 過點p與，都成30°角的直線必在平面β外，這直線在平面β的射影是，所成對頂角的平分線．其中射影是50°對頂角平分線的直線有兩條l和，射影是130°對頂角平分線的直線不存在．故答案選b.
【例2】如圖正方體中，e、f分別為d1c1和b1c1的中點，p、q分別為ac與bd、a1c1與ef的交點. （1）求證：d、b、f、e四點共面；（2）若a1c與面dbfe交於點r，求證：
p、q、r三點共線.
證明：（1）∵ 正方體中， ，∴. 又 ∵中，e、f為中點即d、b、f、e四點共面.（2）∵，，，， ∴.又即p、q、r三點共線
【例3】已知直線a//b//c，直線d與a、b、c分別相交於a、b、c，求證：a、b、c、d四線共面.
證明：因為a//b，由公理2的推論，存在平面，使得.
又因為直線d與a、b、c分別相交於a、b、c，由公理1，.
假設，則, 在平面內過點c作，
因為b//c，則，此與矛盾. 故直線.
綜上述，a、b、c、d四線共面.
【例4】如圖中，正方體abcd—a1b1c1d1，e、f分別是ad、aa1的中點.（1）求直線ab1和cc1所成的角的大小；（2）求直線ab1和ef所成的角的大小.
解：（1）如圖，鏈結dc1 ， ∵dc1∥ab1，∴ dc1 和cc1所成的銳角∠cc1d就是ab1和cc1所成的角.∵ ∠cc1d=45°， ∴ ab1 和cc1所成的角是45°.
（2）如圖，鏈結da1、a1c1， ∵ ef∥a1d，ab1∥dc1，∴ ∠a1dc1是直線ab1和ef所成的角. ∵δa1dc1是等邊三角形， ∴ ∠a1dc1=60，即直線ab1和ef所成的角是60.
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