立體幾何知識點
一、空間幾何體
1.多面體：由若干個多邊形圍成的幾何體，叫做多面體。圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面,相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的稜,稜與稜的公共點叫做多面體的頂點.
2.稜柱：有兩個面互相平行，其餘各面都是四邊形，並且每相鄰兩個四邊形的公共邊都平行，由這些面所圍成的多面體叫做稜柱。兩個互相平行的面叫做底面,其餘各面叫做側面.
3.稜錐：有乙個面是多邊形，其餘各面都是有乙個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做稜錐。底面是正多邊形，且各側面是全等的等腰三角形的稜錐叫做正稜錐。
正稜錐的性質：各側稜相等，各側面都是全等的等腰三角形；頂點在底面上的射影是底面正多邊形的中心。
4.稜臺：用乙個平行於底面的平面去截稜錐，底面與截面之間的部分叫做稜臺。由正稜錐截得
的稜臺叫做正稜臺。
正稜臺的性質：各側稜相等，各側面都是全等的等腰梯形；正稜臺的兩底面以及平行於底面的截面是相似的正多邊形
5.旋轉體：由乙個平面圖形繞一條定直線旋轉所形成的封閉幾何體叫旋轉體，這條定直線叫做旋轉體的軸，
6.圓柱、圓錐、圓台：分別以矩形的一邊、直角三角形的直角邊、直角梯形垂直於底邊的腰所在的直線為旋轉軸，其餘各邊旋轉而形成的曲面所圍成的幾何體分別叫做圓柱、圓錐、圓台。
圓柱、圓錐、圓台的性質：平行於底面的截面都是圓；過軸的截面(軸截面)分別是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形。 注：在處理圓錐、圓台的側面展開圖問題時，經常用到弧長公式
7.球:以半圓的直徑為旋轉軸，旋轉一周所成的曲面叫做球面.球面所圍成的幾何體叫做球體(簡稱球)
8.簡單空間圖形的三檢視：乙個投影面水平放置，叫做水平投影面，投影到這個平面內的圖形叫做俯檢視。
乙個投影面放置在正前方，這個投影面叫做直立投影面，投影到這個平面內的圖形叫做主檢視(正檢視)。和直立、水平兩個投影面都垂直的投影面叫做側立投影面，通常把這個平面放在直立投影面的右面，投影到這個平面內的圖形叫做左檢視(側檢視)。三檢視的主檢視、俯檢視、左檢視分別是從物體的正前方、正上方、正左方看到的物體輪廓線的正投影圍成的平面圖形。
（1）.三檢視畫法規則：
高平齊：主檢視與左檢視的高要保持平齊
長對正：主檢視與俯檢視的長應對正
寬相等：俯檢視與左檢視的寬度應相等
（2）.空間幾何體三檢視：正檢視（從前向後的正投影）；
側檢視（從左向右的正投影）；
俯檢視（從上向下正投影）．
例題1.某四稜錐底面為直角梯形，
一條側稜與底面垂直，四稜錐的三檢視如右圖所示，
則其體積為 ．
例題2.右圖是底面為正方形的四稜錐，
其中稜垂直於底面，它的三檢視正確的是（ ）
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（3）.空間幾何體的直觀圖——斜二測畫法特點：
①斜二測座標系的軸與軸正方向成角；②原來與x軸平行的線段仍然與x平行,長度不變；原來與y軸平行的線段仍然與y平行，長度為原來的一半．
常用結論：平面圖形面積與其斜二側直觀圖面積之比為：1．
例．如果乙個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是乙個底角為45°，腰和上底均為的等腰梯形，那麼原平面圖形的面積是( )．
a．2bcd．
9.特殊幾何體表面積公式（c為底面周長，h為高，為斜高，l為母線）：
s=10.柱體、錐體、台體和球的體積公式：
v=例題3:已知某幾何體的俯檢視是如圖5所示的矩形，正檢視(或稱主檢視)是乙個底邊長為8、高為4的等腰三角形，側檢視(或稱左檢視)是乙個底邊長為6、高為4的等腰三角形．
例4.已知各頂點都在乙個球面上的正四稜柱高為4，體積為16，則這個球的表面積是（ ）
a． b． c． d．
例5．半徑為r的半圓卷成乙個圓錐，則它的體積為_____.
練習： ．已知乙個幾何體的三檢視及其大小如圖1,這個幾何體的體積( )
a． b． c． d．
．右圖是乙個幾何體的三檢視,根據圖中資料,可得該幾何體的表面積是 （ ）
．某幾何體的三檢視如圖所示,其俯檢視是由乙個半圓與其直徑組成的圖形,則此幾何體的體積是 （ ）
a． b． c． d．
．乙個幾何體的三檢視是三個邊長為1的正方形和對角線,
如圖所示,則此幾何體的體積為( )
a． b． c． d．1
．乙個空間幾何體的三檢視如圖所示,根據圖示出的尺寸,可得這個幾何體的體積為( )
a． b． c． d．
．若乙個底面為正三角形、側稜與底面垂直的稜柱的三檢視如下圖所示,則這個稜柱的體積為 （ ）
a． b．6 c． d．
二、 立體幾何點線面的位置關係
例1． 如圖，在正四稜柱中，e、f分別是的
中點，則以下結論中不成立的是( )
a． b.
c. d.
例2.已知是兩條不同直線，是三個不同平面，下列命題中正確的是（ ）
ab．cd．練習：1.設直線與平面相交但不垂直，則下列說法中正確的是（ ）
a．在平面內有且只有一條直線與直線垂直 b．過直線有且只有乙個平面與平面垂直
c．與直線垂直的直線不可能與平面平行 d．與直線平行的平面不可能與平面垂直
2.設為兩條直線, 為兩個平面,下列四個命題中，正確的命題是( )
a．若與所成的角相等，則 b．若，，，則
c．若，，，則 d．若，，，則
3.給出下列四個命題:
垂直於同一直線的兩條直線互相平行.
垂直於同一平面的兩個平面互相平行.
若直線與同一平面所成的角相等,則互相平行.
若直線是異面直線,則與都相交的兩條直線是異面直線.
其中假命題的個數是（ ）
(a)1 (b)2 (c)3 (d)4
4.設為平面，為直線，則的乙個充分條件是( )
(ab)
(cd)
5．設、是不同的直線,、、是不同的平面,有以下四個命題:
① 若則 ②若,,則
③ 若,則 ④若,則
其中真命題的序號是（ ）
a．①④ b．②③ c．②④ d．①③
三、線線平行的判斷：
（1）三角形中位線定理；
（2）構造平行四邊形，其對邊平行；
（3）對應線段成比例，兩直線平行；
（4）平行於同一直線的兩直線平行；（平行的傳遞性）
（5）如果一條直線和乙個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那麼這條直線和交線平行；（線面平行的性質）
（6）如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，所得交線平行；（面面平行的性質）
（7）垂直於同一平面的兩直線平行；（線面垂直的性質）
線面平行的判斷：
（1）如果平面外的一條直線和平面內的一條直線平行，那麼這條直線和這個平面平行。
（2）兩個平面平行，其中乙個平面內的直線必平行於另乙個平面。
例1、（三角形中位線定理）如圖，在正方體中，是的中點，求證：平面。
證明：連線交於，連線，
∵為的中點，為的中點
∴為三角形的中位線 ∴
又在平面內，在平面外
∴平面。
例2、（證明是平行四邊形）已知正方體，是底對角線的交點.求證： c1o∥面；
證明：（1）鏈結，設，鏈結
∵是正方體是平行四邊形
∴a1c1∥ac且
又分別是的中點，∴o1c1∥ao且
是平行四邊形面，面 ∴c1o∥面
3、面面平行的判斷：
（1）乙個平面內的兩條相交直線分別平行於另乙個平面，這兩個平面平行。
（2）垂直於同一條直線的兩個平面平行。
例4、如圖，在正方體中，、、分別是
、、的中點.求證：平面∥平面.
證明：∵、分別是、的中點， ∥
又平面，平面∥平面
∵四邊形為平行四邊形，∥
又平面，平面∥平面，平面∥平面
練習：1、（利用三角形中位線）如圖,已知四稜錐的底面是菱形, 平面, 點為的中點.求證: 平面;
2、（構造平行四邊形）如圖,在三稜柱中,每個側面均為正方形, 為底邊的中點, 為側稜的中點，求證: ∥平面;
3、（線面平行的性質）如圖，四面體a—bcd被一平面所截，截面efgh是乙個矩形.
求證：cd∥平面efgh.
（1）證明：∵截面efgh是乙個矩形，
∴ef∥gh， 又gh 平面bcd.
∴ef∥面bcd，而ef 面acd，
面acd∩面bcd=cd.
∴ef∥cd，∴cd∥平面efgh.
4．（對應線段成比例，兩直線平行，面面平行得到線面平行）如下圖，設p為長方形abcd所在平面外一點，m、n分別為ab、pd上的點，且=，求證：直線mn∥平面pbc。
分析：要證直線mn∥平面pbc，只需證明mn∥平面pbc內的一條直線或mn所在的某個平面∥平面pbc
證法一：過n作nr∥dc交pc於點r，鏈結rb，依題意得
====nr=mb
∵nr∥dc∥ab，∴四邊形mnrb是平行四邊形
∴mn∥rb. 又∵rb平面pbc，∴直線mn∥平面pbc
證法二：過n作nq∥ad交pa於點q，鏈結qm，
∵==，∴qm∥pb又nq∥ad∥bc，∴平面mqn∥平面pbc∴直線mn∥平面pbc
5、（中位線定理、平行四邊形）如圖，四稜錐p－abcd的底面是平行四邊形，點e、f 分別為稜ab、 pd的中點．求證：af∥平面pce；
分析：取pc的中點g，連eg.，fg，則易證aegf是平行四邊形
6、（平行的傳遞性）已知正方體abcd-a`b`c`d`中，e，f分別是a`b`，b`c`的中點。求證：ef∥面ad`c。
高中數學必修2知識點與例題
一立體幾何之點線面之間的位置關係 考試要求 1 熟練掌握點 線 面的概念 2 掌握點 線 面的位置關係，以及判定和證明過程 3 掌握點 線 面垂直 平行的性質 知識網路 知識要點 1 公理 1 公理 1 對直線 a 和平面 若點 a b a a b 則 2 公理 2 若兩個平面 有乙個公共點p，則 ...
高中數學必修二 知識點總結
高中數學必修2 第一章立體幾何初步 特殊幾何體表面積公式 c為底面周長，h為高，為斜高，l為母線 柱體 錐體 台體的體積公式 4 球體的表面積和體積公式 v s 第二章直線與平面的位置關係 2.1空間點 直線 平面之間的位置關係 1 平面含義 2 三個公理 1 符號表示為 a lb l l a b ...
高中數學必修二知識點 全
一 圓柱是由矩形旋轉得到，圓錐是由直角三角形旋轉得到，圓台是由直角梯形旋轉得到，球是由半圓旋轉得到.二 中心投影的投影線相交於一點，平行投影的投影線互相平行.三 圓柱的正檢視和側檢視都是矩形，俯檢視是圓 圓錐的正檢視和側檢視都是等腰三角形，俯檢視是圓和圓心 圓台的正檢視和側檢視都是等腰梯形，俯檢視是...