高中數學必修1知識點

第一章集合與函式概念

一、集合有關概念

1、集合的含義：某些指定的物件集在一起就成為乙個集合，其中每乙個物件叫元素。

2、集合的中元素的三個特性：

1.元素的確定性；

2.元素的互異性；

3.元素的無序性

說明：(1)對於乙個給定的集合，集合中的元素是確定的，任何乙個物件或者是或者不是這個給定的集合的元素。

(2)任何乙個給定的集合中，任何兩個元素都是不同的物件，相同的物件歸入乙個集合時，僅算乙個元素。

(3)集合中的元素是平等的，沒有先後順序，因此判定兩個集合是否一樣，僅需比較它們的元素是否一樣，不需考查排列順序是否一樣。

(4)集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性。

3、集合的表示：如，

1．用拉丁字母表示集合：a=,b=

2．集合的表示方法：列舉法與描述法。

注意：常用數集及其記法：

非負整數集（即自然數集）n 正整數集n*或 n+ 整數集z 有理數集q 實數集r

關於「屬於」的概念：集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示,如：a是集合a的元素，就說a屬於集合a 記作 a∈a ，相反，a不屬於集合a 記作 aa

列舉法：把集合中的元素一一枚舉出來，然後用乙個大括號括上。

描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合的方法。用確定的條件表示某些物件是否屬於這個集合的方法：

①語言描述法：例： ②數學式子描述法：

例：不等式x-3>2的解集是或

4、集合的分類：

1．有限集含有有限個元素的集合

2．無限集含有無限個元素的集合

3．空集不含任何元素的集合例： b= 「元素相同」

結論：對於兩個集合a與b，如果集合a的任何乙個元素都是集合b的元素，同時,集合b的任何乙個元素都是集合a的元素，我們就說集合a等於集合b，即：a=b

① 任何乙個集合是它本身的子集。aa

②真子集:如果ab,且a b那就說集合a是集合b的真子集，記作ab(或ba)

③如果 ab, bc ,那麼 ac

④ 如果ab 同時 ba 那麼a=b

3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為φ

規定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

三、集合的運算

1、交集的定義：一般地，由所有屬於a且屬於b的元素所組成的集合,叫做a,b的交集．記作a∩b(讀作＂a交b＂)，即a∩b=

．2、並集的定義：一般地，由所有屬於集合a或屬於集合b的元素所組成的集合，叫做a,b的並集。記作：a∪b(讀作＂a並b＂)，即a∪b=．

3、交集與並集的性質：a∩a = a, a∩φ= φ, a∩b = b∩a，a∪a = a,a∪φ= a ,a∪b = b∪a.

4、全集與補集

（1）補集：設s是乙個集合，a是s的乙個子集（即），由s中所有不屬於a的元素組成的

集合，叫做s中子集a的補集（或餘集）記作： csa 即 csa =

（2）全集：如果集合s含有我們所要研究的各個集合的全部元素，這個集合就可以看作乙個全集。

通常用u來表示。

（3）性質： cu(c ua)=a (c ua)∩a=φ (cua)∪a=u

四、函式的有關概念

1．函式的概念：設a、b是非空的數集，如果按照某個確定的對應關係f，使對於集合a中的任意乙個數x，在集合b中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那麼就稱f：a→b為從集合a到集合b的乙個函式．記作：

y=f(x)，x∈a．其中，x叫做自變數，x的取值範圍a叫做函式的定義域；與x的值相對應的y值叫做函式值，函式值的集合叫做函式的值域．

注意：如果只給出解析式y=f(x)，而沒有指明它的定義域，則函式的定義域即是指能使這個式子有意義的實數的集合；函式的定義域、值域要寫成集合或區間的形式．

定義域補充:能使函式式有意義的實數x的集合稱為函式的定義域，求函式的定義域時列不等式組的主要依據是：

(1)分式的分母不等於零；

(2)偶次方根的被開方數不小於零；

(3)對數式的真數必須大於零；

(4)指數、對數式的底必須大於零且不等於1.

(5)如果函式是由一些基本函式通過四則運算結合而成的.那麼，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.

(6)指數為零底不可以等於零

(7)實際問題中的函式的定義域還要保證實際問題有意義.(又注意：求出不等式組的解集即為函式的定義域。)

構成函式的三要素：定義域、對應關係和值域

再注意：

（1）構成函式三個要素是定義域、對應關係和值域．由於值域是由定義域和對應關係決定的，所以，如果兩個函式的定義域和對應關係完全一致，即稱這兩個函式相等（或為同一函式）

（2）兩個函式相等當且僅當它們的定義域和對應關係完全一致，而與表示自變數和函式值的字母無關。相同函式的判斷方法：①表示式相同；②定義域一致 (兩點必須同時具備)

值域補充:（1）、函式的值域取決於定義域和對應法則，不論採取什麼方法求函式的值域都應先考慮其定義域.

（2）應熟悉掌握一次函式、二次函式、指數、對數函式及各三角函式的值域，它是求解複雜函式值域的基礎。

2. 函式圖象知識歸納

(1)定義：在平面直角座標系中，以函式 y=f(x) , (x∈a)中的x為橫座標，函式值y為縱座標的點p(x，y)的集合c，叫做函式 y=f(x),(x ∈a)的圖象．c上每一點的座標(x，y)均滿足函式關係y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為座標的點(x，y)，均在c上 . 即記為c=。

圖象c一般的是一條光滑的連續曲線(或直線),也可能是由與任意平行與y軸的直線最多只有乙個交點的若干條曲線或離散點組成。

(2)畫法

a、描點法：根據函式解析式和定義域，求出x,y的一些對應值並列表，以(x,y)為座標在座標系內描出相應的點p(x, y)，最後用平滑的曲線將這些點連線起來.

b、圖象變換法（請參考必修4三角函式）常用變換方法有三種，即平移變換、伸縮變換和對稱變換

(3)作用：

1、直觀的看出函式的性質；

2、利用數形結合的方法分析解題的思路。提高解題的速度。發現解題中的錯誤。

3. 了解區間的概念

（1）區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間；（2）無窮區間；（3）區間的數軸表示．

4．什麼叫做對映

一般地，設a、b是兩個非空的集合，如果按某乙個確定的對應法則f，使對於集合a中的任意乙個元素x，在集合b中都有唯一確定的元素y與之對應，那麼就稱對應f：ab為從集合a到集合b的乙個對映。記作「f：

ab」給定乙個集合a到b的對映，如果a∈a,b∈b.且元素a和元素b對應，那麼，我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b 的原象

說明：函式是一種特殊的對映，對映是一種特殊的對應，①集合a、b及對應法則f是確定的；②對應法則有「方向性」，即強調從集合a到集合b的對應，它與從b到a的對應關係一般是不同的；③對於對映f：a→b來說，則應滿足：

（ⅰ）集合a中的每乙個元素，在集合b中都有象，並且象是唯一的；（ⅱ）集合a中不同的元素，在集合b中對應的象可以是同乙個；（ⅲ）不要求集合b中的每乙個元素在集合a中都有原象。

常用的函式表示法及各自的優點：

函式圖象既可以是連續的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等，注意判斷乙個圖形是否是函式圖象的依據；

解析法：必須註明函式的定義域；

圖象法：描點法作圖要注意：確定函式的定義域；化簡函式的解析式；觀察函式的特徵；

列表法：選取的自變數要有代表性，應能反映定義域的特徵．

注意：解析法：便於算出函式值。列表法：便於查出函式值。圖象法：便於量出函式值

補充一：分段函式：在定義域的不同部分上有不同的解析表示式的函式。

在不同的範圍裡求函式值時必須把自變數代入相應的表示式。分段函式的解析式不能寫成幾個不同的方程，而就寫函式值幾種不同的表示式並用乙個左大括號括起來，並分別註明各部分的自變數的取值情況．（1）分段函式是乙個函式，不要把它誤認為是幾個函式；（2）分段函式的定義域是各段定義域的並集，值域是各段值域的並集．

補充二：復合函式：如果y=f(u),(u∈m),u=g(x),(x∈a),則 y=f[g(x)]=f(x)，(x∈a) 稱為f、g的復合函式。

例如: y=2sinx y=2cos(x2+1)

5．函式單調性

（1）增函式

設函式y=f(x)的定義域為i，如果對於定義域i內的某個區間d內的任意兩個自變數x1，x2，當x1如果對於區間d上的任意兩個自變數的值x1，x2，當x1注意：函式的單調性是在定義域內的某個區間上的性質，是函式的區域性性質；

必須是對於區間d內的任意兩個自變數x1，x2；當x1（2）圖象的特點

如果函式y=f(x)在某個區間是增函式或減函式，那麼說函式y=f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性，在單調區間上增函式的圖象從左到右是上公升的，減函式的圖象從左到右是下降的.

（3）函式單調區間與單調性的判定方法

(a) 定義法：

任取x1，x2∈d，且x1作差f(x1)－f(x2)；

變形（通常是因式分解和配方）；

定號（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負）；

下結論（指出函式f(x)在給定的區間d上的單調性）．

(b)圖象法(從圖象上看公升降)_

(c)復合函式的單調性

復合函式f[g(x)]的單調性與構成它的函式u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規律如下：

注意：1、函式的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其並集.

2、還記得我們在選修裡學習簡單易行的導數法判定單調性嗎？

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