函式的概念：一般地，我們有：設a、b是非空的數集，如果按照某個確定的對應關係f，使對於集合a中的任意乙個數x，在集合b中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那麼就稱f：
a→b為從集合a到集合b的乙個函式記作: y=f(x)，x∈a．
函式概念的理解：
函式的三要素：定義域、值域、對應關係
（1）定義域：它是自變數x的取值範圍，函式的定義域，就是使給出的解析式有意義的自變數的取值集合
（注意：對於復合函式而言:如果函式的定義域為a，則的定義域是使得函式的自變數的取值集合；如果函式的定義域為a,則的定義域是函式的值域）
例1 求下列函式定義域
(1)；；
（2）對應關係：y=f(x)」僅僅是函式符號，
（3）值域：函式的值域是由其對應法則和定義域共同決定的.
其型別依解析式的特點分可分三類：
(i)求常見函式值域；
(ii)求由常見函式復合而成的函式的值域；
(iii)求由常見函式作某些「運算」而得函式的值域.
求解函式值域方法：
直接法：利用常見函式的值域來求
配方法：轉化為二次函式，利用二次函式的特徵來求值；常轉化為型如：的形式；
分式轉化法（或改為「分離常數法」）
換元法：通過變數代換轉化為能求值域的函式，化歸思想；
數形結合：根據函式的幾何圖形，利用數型結合的方法來求值域.
例2 求下列函式的值域：
（1）；（配方法） （2）；（復合函式）
（3）；（分離變數法） （4）；（換元法）
（5）；（數形結合）（6）.（判別式法）
與的既有聯絡又有區別,一般而言,表示當時函式的值,是乙個常量；而是自變數的函式，在一般情況下，它是乙個變數，僅僅是的乙個特殊值，例如一次函式，當時，是乙個常數．）
除此之外，我們還需注意一點：相等函式的判斷。
由函式的定義可知，乙個函式構成的三個要素是：定義域、對應關係和值域。而值域是由定義域和對應關係決定的，所以，如果兩個函式的定義域和對應關係完全一致，即稱這兩個函式相等（或為同一函式）。
兩個函式相等當且僅當它們的定義域和對應關係完全一致，而與表示自變數和函式值的字母無關.
例3 下列四組函式中，表示相等函式的一組是
a．， b.
cd.函式解析式：
把兩個變數的函式關係，用乙個等式來表示，這個等式叫函式的解析式，簡稱解析式。
求函式解析式的題型有：
（1）已知函式型別，求函式的解析式：待定係數法；
（2）已知求或已知求：換元法、配湊法；
（3）已知函式影象，求函式解析式；
（4）滿足某個等式，這個等式除外還有其他未知量，需構造另個等式：解方程組法；
（5）應用題求函式解析式常用方法有待定係數法等。
【待定係數法】（已知函式型別如：一次、二次函式、反比例函式等）
若已知的結構時，可設出含引數的表示式，再根據已知條件，列方程或方程組，從而求出待定的引數，求得的表示式。
例4 已知函式f(x)是一次函式，且滿足關係式3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求f(x)的解析式。
例5 求乙個一次函式f(x)，使得f=8x+7
【換元法】（注意新元的取值範圍）
已知的表示式，欲求，我們常設，從而求得，然後代入的表示式，從而得到的表示式，即為的表示式。
例6 已知，試求的解析式。
【配湊法（整體代換法）】
若已知的表示式，欲求的表示式，用換元法有困難時，（如不存在反函式）可把看成乙個整體，把右邊變為由組成的式子，再換元求出的式子。
例7 已知，求。
【小結】待定係數法、換元法、配湊法是求函式解析式常用的方法，其中，待定係數法只適用於已知所求函式型別求其解析式，而換元法與配湊法所依據的數字思想完全相同--整體思想。
函式的性質：
函式奇偶性：若，則函式就是奇函式；
若，則函式就是偶函式。
函式單調性：函式的定義域內某區間為a，對於任意，
若，則稱函式在區間a內是增函式；
若，則稱函式在區間a內是減函式。
注意：奇函式的影象關於座標原點成中心對稱；
偶函式的影象關於y軸對稱。
函式週期性：對於函式，如果存在乙個常數t0，能使得當x 取定義域內的一切值時，都有，則函式叫做以t為週期的週期函式.
注意：週期函式具有無數多個週期，如果它的週期存在著最小正值，就叫做它的最小正週期.並不是任何週期函式都有最小正週期，如常量函式.
週期函式的定義域是無界的，
若t為的週期，則的週期
方法整理
奇偶性的判定方法：
(1) 定義法；（注意:若函式定義域不是關於原點對稱，則函式不具有奇偶性）
(2) 圖象法；（根據具體形象的影象觀察，判定函式奇偶性）
(3) 性質法：偶函式的和、差、積、商仍為偶函式；
奇函式的和、差仍為奇函式；
奇（偶）數個奇函式的積、商為（偶）奇函式；
乙個奇函式與乙個偶函式之積為奇函式。
抽象函式奇偶性的判定方法：
無具體解析式，需利用給定的函式方程關係式，對變數賦值，使其變為含有，的式子，再加以判定。
單調性的判定方法：
(1)定義法；（注意：的任意性，兩者的大小，同屬乙個單調區間，函式值作差）
(2)影象法；（根據函式的直觀影象，能清晰的判定其單調性）
(3)性質法：
(i)利用已知函式的單調性；
函式與函式（c為常數）
當時，與具有相同的單調性；
當時，與的單調性相反。
若，則（c為常數）
當時，與具有相反的單調性；當時，與的單調性相同
若函式和函式在相同區間同為增函式，則為增函式；
若函式在區間[a,b]上為增函式，且在[a,b]上為減函式，則為增函式。
(ii)利用復合函式的單調性規律： （同增異減）
經典例題講解
例1 判定下列函式的奇偶性，並說明理由.
(12)；
(3)例2 已知是定義在r上的偶函式，當，求在r上的解析式。
例3 討論函式上的單調性。
例4 函式的遞減區間是（ ）
a、 b、 c、 d、
例5 已知偶函式在區間上單調增加，則滿足的x的取值範圍是（ ）
a、 b、 c、 d、
例6 定義在r上的增函式對任意都有.
（1）求 （2）求證：為奇函式
（3）若對任意恆成立，求實數k的取值範圍。
例7已知偶函式滿足，當時，，當時，解析式。
例8 已知是r上以2為週期的偶函式.若在區間上，則對任意，在區間上的表示式為＿＿＿＿＿
基本初等函式
有關根式的知識點：
n次方根：一般地，若，則x叫做a的n次方根，其中n ＞1，且＊,當n為偶數時，a的n次方根中，正數用表示，如果是負數，用表示，叫做根式.
n為奇數時，a的n次方根用符號表示，其中n稱為根指數，a為被開方數.
零的n次方根為零，記為
小結：乙個數到底有沒有n次方根，我們一定先考慮被開方數到底是正數還是負數，還要分清n為奇數和偶數兩種情況.
根據n次方根的意義，可得：
通過**得到：n為奇數，
n為偶數,
指數冪的運算法則:
實數指數冪，即：
例1、 計算：的結果
例2、 若
指數函式的定義：
一般地，函式（＞0且≠1）叫做指數函式，其中是自變數，函式的定義域為r.
根據指數函式的定義來判斷說明：因為＞0，是任意乙個實數時，是乙個確定的實數，所以函式的定義域為實數集r.
若＜0，如在實數範圍內的函式值不存在.
若=1,是乙個常量，沒有研究的意義，只有滿足的形式才能稱為指數函式，符合.
指數函式的影象特徵和性質：（如下圖所示）
指數函式影象：
利用函式的單調性，結合圖象還可以看出：
（1）在（＞0且≠1）值域是
（2）若
（3）對於指數函式（＞0且≠1），總有
（4）當＞1時，若＜，則＜；
例3 已知求的值
解： 例4. 已知定義域為r的函式是奇函式.
（1）求a,b的值；
（2）若對任意的，不等式恆成立，求k的取值範圍。
解：（1）因為是r上的奇函式，所以
從而有又由，解得
（2）解法一：由（1）知
由上式易知在r上為減函式，又因是奇函式，從而不等式
等價於因是r上的減函式，由上式推得
即對一切從而
解法二：由（1）知
又由題設條件得
即 整理得，因底數2>1，故
上式對一切均成立，從而判別式
有關指數的大小：
例5、已知按大小順序排列.
例6、 比較（＞0且≠0）.
指數函式的影象變換
例7 為了得到函式的圖象，可以把函式的圖象（ ）．
a．向左平移9個單位長度，再向上平移5個單位長度
b．向右平移9個單位長度，再向下平移5個單位長度
c．向左平移2個單位長度，再向上平移5個單位長度
d．向右平移2個單位長度，再向下平移5個單位長度
備註：用函式圖象解決問題是中學數學的重要方法，利用其直觀性實現數形結合解題，所以要熟悉基本函式的圖象，並掌握圖象的變化規律，比如：平移、伸縮、對稱等．
對數對數的概念：如果的b次冪等於n，就是，那麼數稱以為底n的對數，記作其中稱對數的底，n稱真數
1）以10為底的對數稱常用對數，記作，以無理數為底的對數稱自然對數，，記作
2）真數n為正數（負數和零無對數），，，對數恒等式：
對數函式：
①定義：函式稱對數函式，函式的定義域為；函式的值域為r；
3）當時函式為減函式，當時函式為增函式；
4）對數函式與指數函式互為反函式
②函式影象：
1）對數函式的圖象都經過點（0，1），且圖象都在第
一、四象限；
2）對數函式都以軸為漸近線
（當時，圖象向上無限接近軸；當時，圖象向下無限接近軸）；
4）對於相同的，
函式的圖象關於軸對稱。
對數性質：如果則
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2 角的頂點與原點重合，角的始邊與軸的非負半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角 第一象限角的集合為 第二象限角的集合為 第三象限角的集合為 第四象限角的集合為 終邊在軸上的角的集合為 終邊在軸上的角的集合為 終邊在座標軸上的角的集合為 3 與角終邊相同的角的集合為 4 已知是第幾象限角，確定...
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高一數學必修4知識點總結及小練習 第一部分 三角函式 三角函式內容規律 三角函式看似很多，很複雜，但只要掌握了三角函式的本質及內部規律就會發現三角函式各個公式之間有強大的聯絡。而掌握三角函式的內部規律及本質也是學好三角函式的關鍵所在.1 三角函式本質 三角函式的本質 於定義，如下圖 根據上圖，有 s...
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第一章三角函式 2 角的頂點與原點重合，角的始邊與軸的非負半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角 第一象限角的集合為 第二象限角的集合為 第三象限角的集合為 第四象限角的集合為 終邊在軸上的角的集合為 終邊在軸上的角的集合為 終邊在座標軸上的角的集合為 3 與角終邊相同的角的集合為 4 長度等...