第一章 《空間幾何體》
（一）多面體的體積（表面積）問題
1．【06上海·理】 在四稜錐p－abcd中，底面是邊長為2的菱形，∠dab＝60，對角線ac與bd相交於點o，po⊥平面abcd，pb與平面abcd所成的角為60．
（1）求四稜錐p－abcd的體積；
【解】（1）在四稜錐p-abcd中,由po⊥平面abcd,得
∠pbo是pb與平面abcd所成的角,∠pbo=60°.
在rt△aob中bo=absin30°=1,由po⊥bo,
於是，po=botg60°=,
而底面菱形的面積為2.
∴四稜錐p-abcd的體積v=×2×=2.
2．【06上海·文】 在直三稜柱中，.
（2）若與平面所成角為，求三稜錐的體積。
【解】 （2）∵aa1⊥平面abc,
∠aca1是a1c與平面abc所成的角，∠aca1=45°.
∵∠abc=90°，ab=bc=1，acaa1=。
∴三稜錐a1-abc的體積v=s△abc×aa1=。
3．【06四川·理】 如圖,長方體abcd-中，e、p分別是bc、的中點,m、n分別是ae、的中點，
（ⅲ）求三稜錐p－den的體積。
【解】（ⅲ）
作，交於，由麵得
∴面∴在中，
∴。（二）點到平面的距離問題—「等體積代換法」。
1．【06福建·理】 如圖，四面體abcd中，o、e分別是bd、bc的中點，
（iii）求點e到平面acd的距離。
【解】 （iii） 設點e到平面acd的距離為
，∴在中，
而點e到平面acd的距離為
2．【06湖北·文】 如圖，已知正三稜柱的側稜長和底面邊長為1，是底面邊上的中點，是側稜上的點，且。
（ⅱ）求點到平面的距離。
【解】（ⅱ）過在麵內作直線
，為垂足。又平面，所以am。於是h平面amn，故即為到平面amn的距離。在中，＝。故點到平面amn的距離為1。
3．【06湖南·理】 如圖4, 已知兩個正四稜錐
的高分別為1和2,。
（）求點到平面的距離。
【解】（ⅲ）由（ⅰ）知，ad⊥平面pqm，所以平面qad⊥平面pqm 。
過點p作ph⊥qm於h，則ph⊥qad，所以ph的長為點p到平面qad的距離。
鏈結om。因為om=ab=2=oq，所以∠mqp=45°。
又pq=po+qo=3，於是ph=pqsin45°=。
即點p到平面qad的距離是。
4．【06江西·文】 如圖，已知三稜錐的側稜兩兩垂直，且oa=1，ob=oc=2，e是oc的中點。
（1）求o點到面abc的距離；
【解】（1）取bc的中點d，連ad、od。
，則∴bc⊥面oad。過o點作oh⊥ad於h，
則oh⊥面abc，oh的長就是所要求的距離。
，。 ∴面obc，則。
，在直角三角形oad中，有
t': 'span', 'c': '另解', 'r': 'r_90'}]：由知：）
5．【06山東·理】 如圖，已知平面平行於三稜錐的底面abc，等邊△所在的平面與底面abc垂直，且∠acb=90°，設
（ⅱ）求點a到平面vbc的距離；
【解】（ⅱ）解法1：過a作於d，
∵△為正三角形， ∴d為的中點.
∵bc⊥平面 ∴，
又， ∴ad⊥平面，
∴線段ad的長即為點a到平面的距離.
在正△中，.
∴點a到平面的距離為.
解法2：取ac中點o鏈結，則⊥平面，且=.
由（ⅰ）知，設a到平面的距離為x， ，
即，解得.
即a到平面的距離為.所以，到平面的距離為.
第二章 《點、直線、平面之間的位置關係》
2.1空間中點、直線、平面之間的位置關係
（1）四個公理
公理1：如果一條直線上的兩點在乙個平面內，那麼這條直線在此平面內。
符號語言：。
公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有乙個平面。
三個推論：① ② ③
它給出了確定乙個平面的依據。
公理3：如果兩個不重合的平面有乙個公共點，那麼它們有且只有一條過該點的公共直線（兩個平面的交線）。
符號語言：。
公理4：（平行線的傳遞性）平行與同一直線的兩條直線互相平行。
符號語言：。
（2）空間中直線與直線之間的位置關係
1.概念 ：把不在任何乙個平面內的兩條直線叫做。
已知兩條異面直線，經過空間任意一點o作直線，我們把與所成的角（或直角）叫[, , , ]。（易知：夾角範圍）
：空間中如果乙個角的兩邊分別與另乙個角的兩邊分別平行，那麼這兩個角相等或互補。（注意：會畫兩個角互補的圖形）
2.位置關係：
（3）空間中直線與平面之間的位置關係
直線與平面的位置關係有三種：
（4）空間中平面與平面之間的位置關係
平面與平面之間的位置關係有兩種：
2.2 直線、平面平行的判定及其性質
（1）四個定理
（2）定理之間的關係及其轉化
兩平面平行問題常轉化為直線與直線平行，而直線與平面平行又可轉化為直線與直線平行，所以在解題時應注意「轉化思想」的運用。這種轉化實質上就是：將「高維問題」轉化為「低維問題」，將「空間問題」轉化為「平面問題」。
2.3 直線、平面平垂直的判定及其性質
（一）基本概念
1.直線與平面垂直：如果直線與平面內的任意一條直線都垂直，我們就說直線與平面垂直，記作。直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面。直線與平面的公共點叫做垂足。
2. 直線與平面所成的角：
角的取值範圍：。
3.二面角：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角。這條直線叫做二面角的稜，這兩個半平面叫做二面角的面。
（二）四個定理
三、高考考點解析
異面直線所成的角的大小是刻劃空間兩條異面直線的相關位置的乙個量，掌握好概念是解題的關鍵，其思維方法是把兩條異面直線所成的角通過「平移法」轉化為「平面角」，然後證明這個角就是所求的角，再利用三角形解出所求的角（簡言之：①「轉化角」、②「證明」、③「求角」）。以上三個步驟「轉化角」是求解的關鍵，因為轉化的過程往往就是求解的過程——其目的就是將「空間問題」轉化為「平面問題（角問題）」。
1．【06廣東】 如圖所示，、分別是、的直徑，與兩圓所在的平面均垂直，.是的直徑，
,。（）求直線與所成的角。
【解】（）第一步：將「問題」轉化為求「平面角」問題
根據定義和題設，我們只能從兩條異面直線的四個頂點出發作其中一條直線的平行線，此題我們只能從點d作符合條件的直線。
鏈結do，則∠odb即為所求的角。
第二步：證明∠odb就是所求的角
在平面adef中，de//af，且de=af，所以四邊形odef為平行四邊形所以do//ef
所以根據定義，∠odb就是所求的角。
第三步：求角
由題設可知：底面abcd為正方形
∵ da⊥平面abcd 平面da⊥bc
又 ∵af⊥bcbc⊥平面ado
∴ do⊥bcdob為直角三角形
∴ 在rt△odb，
∴（或用反三角函式表示為：）
2．【06山東·文】 如圖，已知四稜錐p-abcd的底面abcd為等腰梯形，
與相交於點，且頂點在底面上的射影恰為點，又.
（ⅰ）求異面直接與所成角的余弦值.
【解】平面，
又，由平面幾何知識得：
（ⅰ）過做交於於，鏈結，則或[, ]為異面直線與所成的角，
四邊形是等腰梯形，
又四邊形是平行四邊形。
是的中點，且
又， 為直角三角形，
在中，由餘弦定理得：
故異面直線pd與所成的角的余弦值為。
3．【06上海·理】 在四稜錐p－abcd中，底面是邊長為2的菱形，∠dab＝60，對角線ac與bd相交於點o，po⊥平面abcd，pb與平面abcd所成的角為60．
（2）若e是pb的中點，求異面直線de與pa所成角的大小（結果用反三角函式值表示）．
【解】（2）取ab的中點f，連線ef、df.
由e是pb的中點,得ef∥pa,
∴∠fed是異面直線de與pa所成角。
在rt△aob中ao=abcos30°==op,
於是,在等腰rt△poa中,pa=,則ef=.
在正△abd和正△pbd中，de=dfcos∠fed==
∴異面直線de與pa所成角的大小是arccos.
4．【06重慶·文】 如圖（上右圖），在正四稜柱中，
，為上使的點。平面交於，交的延長線於，求：
（ⅰ）異面直線與所成角的大小；
【解】解法一：由為異面直線所成的角。連線.因為ae和分別是平行平面與平面的交線，所以,由此可得,再由∽得
在。解法二：由為異面直線
高中數學知識梳理
第二章函式 一 函式的定義域 1 已知的定義域為，求的定義域 2 已知函式的定義域為，求的定義域 二 函式的解析式 1 已知，求 2 已知，求 3 已知，求 4 已知為一次函式，求 5 已知，求 6 函式為奇函式，求 7 已知函式，若，則的值為 三 函式的值域和最值 定義域優先 初等函式的值域，如一...
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