教學分析
空間中直線與直線的位置關係是立體幾何中最基本的位置關係，直線的異面關係是本節的重點和難點.異面直線的定義與其他概念的定義不同，它是以否定形式給出的，因此它的證明方法也就與眾不同.公理4是空間等角定理的基礎，而等角定理又是定義兩異面直線所成角的基礎，請注意知識之間的相互關係，準確把握兩異面直線所成角的概念.
三維目標
1.正確理解空間中直線與直線的位置關係,特別是兩直線的異面關係.
2.以公理4和等角定理為基礎，正確理解兩異面直線所成角的概念以及它們的應用.
3.進一步培養學生的空間想象能力，以及有根有據、實事求是等嚴肅的科學態度和品質.
重點難點
兩直線異面的判定方法，以及兩異面直線所成角的求法.
教學過程：
一、複習引入：
在初中平面幾何裡，我們已經知道平面內的兩條直線的位置關係只有兩種---平行和相交；在空間裡，還有一種情況，兩條直線既不平行也不相交，這時這兩條直線一定不可能共面，這樣的兩條直線我們稱之為異面直線。
二、講解新課：
【**1】空間兩直線的位置關係有幾種？
⑴相交——在同一平面內，有且只有乙個公共點；
⑵平行——在同一平面內，沒有公共點；
⑶異面——不在任何乙個平面內，沒有公共點既不平行也不相交的直線；
【**2】能否說「分別在兩個平面內的兩條直線叫異面直線」？（不能）
畫圖表示兩條異面直線時，通常用乙個或兩個平面襯托顯示出它們不共面的特點。
如圖1，直線是異面直線，經過空間中任意一點，作直線所成的角的大小與點的選擇無關，把所成的銳角（或直角）叫異面直線所成的角（或夾角）。因為點是任意選取的，所以在具體運用時，為了簡便，點通常取在其中一條異面直線上。異面直線所成的角的範圍：。
如果兩條異面直線所成的角是直角，則叫兩條異面直線垂直，記作．以後我們在說兩條直線相互垂直，既有共面垂直又有異面垂直這樣兩種情形。
異面直線的公垂線---和兩條異面直線都垂直相交的直線。
【**3】如何求異面直線所成的角？
⑴通過平移，在一條直線上找一點，過該點做另一直線的平行線；
⑵找出與一條直線平行且與另一條相交的直線，那麼這兩條相交直線所成的角即為所求
【**4】（異面直線定理）鏈結平面內一點與平面外一點的直線，和這個平面內不經過此點的直線是異面直線嗎？
【推理模式】與是異面直線。
【證明】（反證法）假設直線與共面，∵，∴點和確定的平面為，∴直線與共面於，∴，與矛盾，所以，與是異面直線．
提問5、在初中平面幾何中，如果兩條直線都和第三條直線平行，那麼這兩條直線位置關係如何？（平行）
【練習】正方體中．那些稜所在的直線與直線是異面直線？求與夾角的度數．那些稜所在的直線與直線垂直？
【解析】⑴由異面直線的判定方法可知，與直線成異面直線的有直線；
⑵由，可知等於異面直線與的夾角，所以異面直線與的夾角為；
⑶直線與直線都垂直。
【總結】求異面直線的夾角的一般步驟是：「作—證—算—答」
在立體幾何中的三條直線，此規律仍然成立，我們把這乙個規律作為公理4。
【公理4】平行於同一條直線的兩條直線互相平行。
【推理模式】．
【說明】①公理4表述的性質叫做空間平行線的傳遞性；這個公理表明，空間平行於一條已知直線的所有直線都互相平行；②幾何學中，通常用互相平行的直線表示空間裡乙個確定的方向；③如果空間圖形的所有點都沿同乙個方向移動相同的距離到的位置，則就說圖形作了一次平移，圖形平移後與原圖形全等。
◆ 空間四邊形：順次鏈結不共面的四點所組成的四邊形叫空間四邊形，相對頂點的連線叫空間四邊形的對角線。空間四邊形的兩條對角線為異面直線。
◆ 等角定理：如果乙個角的兩邊和另乙個角的兩邊分別平行並且方向相同，那麼這兩個角相等。
【分析】在平面內，這個結論我們已經證明成立了。在空間中，這個結論是否成立，還需通過證明．要證明兩個角相等，常用的方法有：①證明兩個三角形全等或相似，則對應角相等；②證明兩直線平行，則同位角、內錯角相等；③證明平行四邊形，則它的對角相等，等等．根據題意，我們只能證明兩個三角形全等或相似，為此需要構造兩個三角形，這也是本題證明的關鍵所在．
【**6】如果乙個角的兩邊和另乙個角的兩邊分別平行，那麼這兩個角的大小關係是什麼？（相等或互補）
【**7】（等角定理的推論）如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行,那麼這兩條直線所成的銳角(或直角)大小關係如何？（相等）
【說明】等角定理及其推論,說明了空間角通過任意平行移動具有保值性,因而成為異面直線所成角的基礎.
三、講解範例：
【例1】 判斷下列命題的真假，真的打「√」，假的打「×」
⑴平行於同一直線的兩條直線平行
⑵垂直於同一直線的兩條直線平行
⑶過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行
⑷與已知直線平行且距離等於定長的直線只有兩條
⑸四邊形的一邊不可能既和它的鄰邊垂直，又和它的對邊垂直
⑹在正方體中，相鄰兩側面的一對異面的對角線所成的角為60
⑺向量與，與是兩組方向相同的共線向量，那麼． （ √ ）
⑻兩條直線和第三條直線成等角，則這兩條直線平行
⑼和兩條異面直線都垂直的直線是這兩條異面直線的公垂線 （ ×）
⑽平行移動兩條異面直線中的任一條，它們所成的角不變
⑾四邊相等且四個角也相等的四邊形是正方形
⑿垂直於兩條異面直線的直線有且只有一條
⒀兩線段不在同一平面內，如果，則（× ）
【例2】 如圖，在正方體中，分別是的中點，試判斷下列各對線段所在直線的位置關係：
⑴與異面；⑵與平行；⑶與相交
⑷與異面；⑸與相交。
【點評】兩條直線平行，在空間中不管它們的位置如何，看上去都平行（或重合）.兩條直線相交，總可以找到它們的交點.作圖時用實點標出.
兩條直線異面，有時看上去像平行，有時看上去像相交.所以要仔細觀察，培養空間想象能力，尤其要學會兩條直線異面判定的方法.
【例3】 已知四邊形是空間四邊形，分別是的中點，分別是邊上的中點，且，求證：四邊形是梯形。
【例4】 如圖，是平面外的一點分別是的重心，求證：．
【證明】鏈結分別交於，鏈結分別是的重心，∴分別是的中點，∴，又∵，∴，由公理4知．
【例5】 如圖，已知不共面的直線相交於點，是直線上的兩點，分別是上的一點，求證：和是異面直線
【法一】假設和不是異面直線，則和在同一平面內，設為，
，又，同理共面於，與已知不共面相矛盾，所以，和是異面直線
【法二】∵，∴直線確定一平面設為，
∵，∴，∴且，
又不共面，，∴，所以，與為異面直線。
【總結】證明兩直線異面的一般方法是「反證法」或「判定定理」。
【例6】 如圖是乙個正方體的展開圖，在原正方體中，有下列命題：
①與所在直線垂直；②與所在直線平行；③與所在直線成60°角；④與所在直線異面.其中正確命題的序號是（ ）【】
abcd.③④
【例7】 在長方體中，分別為的中點，則直線與所成的角為
【例8】 如圖，已知正方體，⑴求異面直線與所成的角的度數異面直線和所成的角的度數 .
【例9】 已知分別是空間四邊形四條邊的中點，
⑴求證：四邊形是平行四邊形；
⑵若時，求證：為矩形；
⑶若，求；
⑷若成角，，求四邊形的面積；
⑸若，求與間的距離.
【證明】⑴鏈結，∵是的邊上的中點，
∴，同理，，∴，同理，，
所以，四邊形是平行四邊形
⑵由⑴四邊形是平行四邊形，∵，∴由得，，∴為矩形.
⑶由⑴四邊形是平行四邊形。
∵，∴∴由平行四邊形的對角線的性質.
⑷由⑴四邊形是平行四邊形，
∵，∴，又∵成角，∴成角，∴四邊形的面積；
⑸分別取的中點,連線，
是的公垂線段，且與間的距離為。
【例10】 空間四邊形中，分別是的中點，，求異面直線所成的角。
【解析】取中點，鏈結，∵分別是的中點，
∴且，∴異面直線所成的角即為所成的角，
在中，，
∴，異面直線所成的角為．
【說明】異面直線所成的角是銳角或直角，當三角形內角是鈍角時，表示異面直線所成的角是它的補角翰林匯
◆ 設計感想
空間中直線與直線的位置關係是立體幾何的基礎，本節通過空間模型讓學生直觀感受兩直線的位置關係，進一步培養學生的空間想象能力.兩直線的異面關係是本節的重點和難點，本節選用大量典型題目訓練學生求兩異面直線所成的角，使學生熟練掌握直線與直線的位置關係.另外,本節加強了三種語言的相互轉換，因此這是一節值得期待的精彩課例.
◆ 課後作業：
1. 在空間，有下列命題：①有兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形；②四邊相等的四邊形是菱形；③平行於同一條直線的兩條直線平行；④有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等.
其中正確的個數為（ ）【】
a.1b.2c.3d.4
2. 三個角是直角的四邊形（ ）【】
a.一定是矩形 b.一定是空間四邊形們 c.是四個角為直角的空間四邊形 d.不能確定
3. 以下四個命題：①圓上三點可確定乙個平面；②圓心和圓上兩點可確定乙個平面；③四條平行線確定六個平面；④不共線的五點可以確定乙個平面，則必有三點共線.其中正確的是（ ）【】
abcd.①②④
4. 一條直線與兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條的位置關係是（ ）【】
a.平行或異面b.相交或異面 c.異面d.相交
5. 若和異面，和異面，則（ ）【】
和c異面 和c相 與c或平行或相交或異面
6. 若直線滿足a∥b，b⊥c，則a與c的關係是（ ）【】
《2 1 2空間中直線與直線之間的位置關係》導學案
高一數學必修二 2.1 02 編撰崔先湖姓名班級組名 學習目標 1 了解空間中兩條直線的位置關係 2 理解異面直線的概念 畫法，培養學生的空間想象能力 3 理解並掌握公理4 4 理解並掌握等角定理 5 異面直線所成角的定義 範圍及應用。學習重點 1 異面直線的概念 2 公理4及等角定理。學習難點 異...
空間中直線與直線的位置關係新
使用說明及學法指導 1.先速讀一遍教材p44 47，再結合 預習案 進行二次閱讀並回答.2.本課必須記住的內容 空間兩直線的位置關係。等角定理異面直線所成的角的方法 學習目標 1.了解空間兩直線的三種位置關係並能用圖形表示。2.理解異面直線 既不平行也不相交 的位置關係，培養空間想象能力。3.掌握公...
《空間中點 直線 平面之間的位置關係》知識點總結
1.概念異面直線及夾角 把不在任何乙個平面內的兩條直線叫做異面直線。已知兩條異面直線，經過空間任意一點o作直線，我們把與所成的角 或直角 叫異面直線所成的夾角。易知 夾角範圍 定理 空間中如果乙個角的兩邊分別與另乙個角的兩邊分別平行，那麼這兩個角相等或互補。注意 會畫兩個角互補的圖形 2.位置關係 ...