1.點a在直線上,記作 ；點a在平面α內,記作 ；直線α在平面α內,記作 .
2.平面基本性質即三條公理的「文字語言」、「符號語言」、「圖形語言」列表如下：
3.公理的作用：（1）公理1作用：判斷直線是否在平面內；（2）公理2作用：確定乙個平面的依據；
（3）公理3作用：判定兩個平面是否相交的依據.
4. 空間兩條直線的位置關係：
5. 等角定理
6. 已知兩條異面直線，經過空間任一點作直線，把所成的銳角（或直角）叫異面直線所成的角（或夾角）. 所成的角的大小與點的選擇無關，為了簡便，點通常取在異面直線的一條上；異面直線所成的角的範圍為，如果兩條異面直線所成的角是直角，則叫兩條異面直線垂直，記作.
求兩條異面直線所成角的步驟可以歸納為四步：選點→平移→定角→計算.
7. 公理4
8. 公理4作用：判斷空間兩條直線的依據.
9.直線與平面有三種位置關係：
（1有無數個公共點
（2有且只有乙個公共點
（3沒有公共點
10. 兩個平面之間有兩種位置關係：
（1沒有公共點
（2有且只有一條公共直線2.2 直線、平面平行的判定及其性質
11.判定定理的符號表示為：.
12. 證明線面平行的根本問題是要在平面內找一直線與已知直線平行，此時常用中位線定理、成比例線段、射影法、平行移動、補形等方法，具體用何種方法要視條件而定.
13.麵麵平行判定定理用符號表示為：
14. 垂直於同一條直線的兩個平面平行.
15. 平面α上有不在同一直線上的三點到平面β的距離相等，則α與β的位置關係是
16.線面平行的性質定理
符號語言
18. 面面平行的性質用符號語言表示為
19. 其它性質：
①；②；
③夾在平行平面間的平行線段相等.
1．四面體abcd中，ab＝cd＝2，e、f分別是ac、bd的中點，且ef＝，則ab與cd所成的角為
2．在空間四邊形abcd中，已知ad＝1，bc＝，且ad⊥bc，對角線bd＝，ac＝，求ac和bd所成的角．
3．已知e、f、g、h分別是空間四邊形abcd各邊ab、ad、cb、cd上的點，並且有，，試證ef、gh、bd共點或兩兩平行．
4 已知異面直線a、b所成的角為60°，在過空間一定點p的直線中，與a，b所成的角均為60°的直線有多少條？過p與a、b所成角均為50°，或均為70°的直線又各有多少呢？
希望讀者通過對上述三個具體問題的求解，總結解題方法，然後再**關於與異面直線成等角的直線的存在性問題的一般性情況：
已知異面直線a，b所成的角為θ0且θ0＜90°，過空間一點p的直線中與a，b所成的角均為θ的直線有多少條？
5．已知長方體中，m、n分別是和bc的中點，ab=4，ad=2，，求異面直線與mn所成角的余弦值。
6．如圖，平面α∥平面β，a、c∈α，b、d∈β，點e、f分別**段aｂ、cd上，且，求證：ef∥平面β．
7．p是△aｂc所在平面外一點，a′，b′，c′分別是△pｂc、△pca、△paｂ的重心，
（1）求證：平面a′ｂ′c′∥平面aｂc；
（2）求s△a′ｂ′c′∶s△aｂc．
8．如圖，已知：平面α∥平面β，a、c∈α，b、d∈β，ac與ｂd為異面直線，ac＝6，ｂd＝8，aｂ＝cd＝10，aｂ與cd成60°的角，求ac與ｂd所成的角．
1、60°。2、證明：ab、cd、ad的中點e、g、f，連線ef、fg、ge，則∠efg或其補角為異面直線bd、ac所成的角，且ef＝bd＝，fg＝ac＝，再取ac的中點h，則eh∥bc，hg∥ad，
∵ad⊥bc，∴eh⊥hg，
∴eg2＝eh2＋hg2＝1．在△efg中，eg2＝ef2＋fg2＝1，
∴∠efg＝90°，∴ac與bd所成的角為90°．
3．證明：如圖，連ac、eg、fh，在△abc中，
∵＝，∴eg∥ac．同理fh∥ac，於是根據公理4可知：eg∥fh．
∴e、f、h、g四點共面於α，於是ef與hg只有相交與平行兩種可能．
（ⅰ）若ef與hg相交，設交點為p，則p∈ef平面acd．
∴p∈平面acd，同理可知：p∈平面bcd．
∴p是平面abd與平面bcd的公共點．
∴兩平面的交線bd必過p點．
∴fe、gh、bd共點．
（ⅱ）若ef與hg平行，則必有ef∥bd．
∵ef、bd平面abd，
∴若ef與bd不平行，則ef與bd就相交，設交點為q，則ef平面efhg，q∈bd平面bdc，
∴q是平面efhg與平面bdc的公共點．
又∵hg是這兩個平面的交線，
∴q∈hg，
∴ef∩hg＝q．
這就與ef∥hg相矛盾，故假設錯誤．
∴ef∥bd．
同理可證：hg∥bd．故由公理4知：ef、hg、bd兩兩平行．
4解：①3條；②2條；③4條．
④如圖10，過點p分別作异面直線a、b的平行線a′、b′．
設l1、l2是a′、b′確定α內，由a′、b′所成角的角平分直線．
於是，當θ＜時，滿足條件的直線不存在；
當θ＝時，滿足條件的直線僅有一條，就是l1；
當＜θ＜90°－時，滿足條件的直線有2條；
當θ＝90°－時，滿足條件的直線有3條；
當90°－＜θ＜90°時，滿足條件的直線有4條；
當θ＝90°時，滿足條件的直線僅有1條．
6．證明：（1）若直線ab和cd共面，
∵α∥β，平面abdc與α、β分別交於ac、bc兩直線，
∴ac∥bd．又∵＝，
∴ef∥ac∥bd，∴ef∥平面β．
（2）若ab與cd異面，連線bc並在bc上取一點g，使得＝，則在△bac中，eg∥ac，ac平面α，
∴eg∥α．又∵α∥β，
∴eg∥β；同理可得：gf∥bd，而bdβ，
又∵gf∥β．∵eg∩gf＝g，∴平面egf∥β，
又∵ef平面egf，∴ef∥β．
綜合（1）（2）得ef∥β．
7．證明：（1）連線pa′、pb′、pc′，分別交bc、ca、ab於k、g、h，連線gh、kg、hk．
∵b′、c′均為相應三角形的重心，
∴g、h分別為ac、ab的中點，且＝＝，
∴b′c′∥gh，同理a′b′∥kg，a′b′∩b′c′＝b′且gh∩kg＝g，
從而平面a′b′c′∥平面abc．
（2）由（1）知△a′b′c′∽△kgh，
∴＝＝，
又∵s△kgh＝s△abc，∴s△a′b′c′＝s△abc，
∴s△a′b′c′∶s△abc＝1∶9．
8．由α∥β作beac，鏈結ce，則abec是平行四邊形．∠dbe是ac與bd所成的角．∠dce是ab、cd所成的角，故∠dce＝60°．
由ab＝cd＝10，知ce＝10，於是△cde為等邊三角形，
∴de＝10．
又∵be＝ac＝6，bd＝8，
∴∠dbe＝90°．
∴ac與bd所成的角為90°．
8 3空間點 直線 平面之間的位置關係
2 直線與直線的位置關係 1 位置關係的分類 2 異面直線所成的角 定義 設a，b是兩條異面直線，經過空間任一點o作直線a a，b b，把a 與b 所成的銳角 或直角 叫作異面直線a，b所成的角 或夾角 範圍 3 直線與平面的位置關係有平行 相交 在平面內三種情況 4 平面與平面的位置關係有平行 相...
考點34空間點直線平面之間的位置關係
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