1. (2011 四川理) 如下圖，在直三稜柱中，，，是稜上的一點，是的延長線與的延長線的交點，且.
（1）求證：；
（2）求二面角的平面角的余弦值;
（3）求點到平面的距離.
答案：如下圖，以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角座標系，則，，，．
證明：設，.
由此可得
∴， ．
設平面的乙個法向量為，
則令，則．
∵∥平面.
，由此可得.
（2）解：由（1）知，平面的乙個法向量．
又為平面的乙個法向量．∴．
故二面角的平面角的余弦值為．
（3）解： 設平面的乙個法向量為，則
2. (2011 陝西理) 如圖，在△中，是上的高，沿把△折起，使．
（1）證明：平面⊥平面；
（2）設為的中點，求與夾角的余弦值．
答案：（1）證明：∵折起前是邊上的高，
∴當△折起後，．
又，∴．
∵，∴平面平面．
（2）解：由＝及（1）知兩兩垂直，不防設=1，以為座標原點，以所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角座標系，易得，
∴=，．
∴與夾角的余弦值為
=．3. (2011 遼寧文) 如下圖，四邊形為正方形，⊥平面，∥，.
（i）證明：⊥平面；
（ii）求稜錐的體積與稜錐的體積的比值.
答案：解：(i)由條件知為直角梯形.
因為平面，所以平面平面，交線為.
又四邊形為正方形，，所以平面,可得.
在直角梯形中可得,則.
所以平面
（ⅱ）設
由題設知為稜錐的高，所以稜錐的體積.
由（ⅰ）知為稜錐的高，而=，△的面積為．
所以稜錐的體積，
故稜錐的體積與稜錐的體積的比值為1 .
4. (2011 四川文) 如下圖，在直三稜柱abc－a1b1c1中，∠bac=90°，ab=ac=aa1=1，延長a1c1至點p，使c1p＝a1c1，連線ap交稜cc1於點d．
（1）求證：pb1∥平面bda1；
（2）求二面角a－a1d－b的平面角的余弦值；
答案：解法一：
（1）證明：鏈結ab1與ba1交於點o，鏈結od，
∵c1d∥平面aa1，a1c1=c1p，∴ad=pd，又ao=b1o，
∴od∥pb1，又od面bda1，pb1面bda1，
∴pb1∥平面bda1．
（2）解：過a作ae⊥da1於點e，鏈結be．如下圖
∵ba⊥ca，ba⊥aa1，且aa1∩ac=a，
∴ba⊥平面aa1c1c．由三垂線定理可知be⊥da1．
∴∠bea為二面角a－a1d－b的平面角．
在rt△a1c1d中，，
又，∴．
在rt△bae中，，
∴故二面角a－a1d－b的平面角的余弦值為．
解法二：如下圖，以a1為原點，a1b1，a1c1，a1a所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角座標系a1－，則，，，，．
（1）證明：在△paa1中有，即．
∴，，．
設平面ba1d的乙個法向量為，
則令，則．
∵，∴pb1∥平面ba1d.
（2）解：由（1）知，平面ba1d的乙個法向量．
又為平面aa1d的乙個法向量．∴．
故二面角a－a1d－b的平面角的余弦值為．
5. (2011 安徽文) 如下圖，為多面體，平面與平面垂直，點**段上，， ，△oab，△oac，△ode，△odf都是正三角形.
（1）證明直線；
（2）求稜錐的體積.
答案：（1）證明：如下圖，設g是線段da與eb延長線的交點.
由於△oab與△ode都是正三角形，所以∥且=，og=od=2，
同理，設是線段da與fc延長線的交點，有
又由於g和都**段da的延長線上，所以g與重合.
在△ged和△gfd中，由∥且=和oc∥且，可知b和c分別是ge和gf的中點，所以bc是△gef的中位線，故bc∥ef.
（2）解：由ob=1，oe=2，，而△oed是邊長為2的正三角形，故
所以過點f作fq⊥dg，交dg於點q，由平面abed⊥平面acfd知，fq就是四稜錐f—obed的高，且fq=，所以
6. (2011 安徽理) 如下圖，為多面體，平面與平面垂直，點**段上，△oab，,△，△，△都是正三角形.
（1）證明直線∥；
（2）求稜錐f—obed的體積.
答案： （1）證明：（綜合法）設g是線段da與eb延長線的交點.如下圖.
由於△oab與△ode都是正三角形，所以∥og=od=2，
同理，設是線段da與線段fc延長線的交點，有
又由於g和都**段da的延長線上，所以g與重合.
在△ged和△gfd中，由∥和oc∥，可知b和c分別是ge和gf的中點，所以bc是△gef的中位線，故bc∥ef.
（向量法）過點f作，交ad於點q，連qe，由平面abed⊥平面adfc，知fq⊥平面abed，以q為座標原點，為軸正向，為y軸正向，為z軸正向，建立如下圖所示空間直角座標系.
由條件知
則有所以即得bc∥ef.
（2）解：由ob=1，oe=2，，而△oed是邊長為2的正三角形，故
所以過點f作fq⊥ad，交ad於點q，由平面abed⊥平面acfd知，fq就是四稜錐f—obed的高，且fq=，所以
7. (2011 福建文) 如圖，四稜錐-中，⊥底面，，點**段上，且∥.
（i）求證：⊥平面；
（11）若，， =，∠=45°，求四稜錐-的體積
答案：（1）證明：因為平面，平面，
所以因為
又所以平面.
（2）由（1）可知，
在中，又因為，
所以四邊形為矩形，
所以又平面， =1，
所以8. (2011 湖南文) 如圖1，在圓錐中，已知的直徑，點在上，且∠=30°，
為的中點.
（1）證明：平面;
（2）求直線和平面所成角的正弦值.
答案：解：（1）如圖2，因為,是的中點，所以.
又底面，底面,所以,而，是平面內的兩條相交直線，所以平面.
（2）由（1）知，平面，又平面，
所以平面⊥平面，在平面中，過作於，則平面.鏈結，
則是在平面上的射影，
所以是直線和平面所成的角．
在△中，
在△中，
在△中，
故直線和平面所成角的正弦值為
9. (2011 湖北理) 如下圖，已知正三稜柱的各稜長都是，是的中點，動點在側稜上，且不與點重合.
（ⅰ）當時，求證：；
（ⅱ）設二面角的大小為，求的最小值.
答案：解法1：過作於，鏈結.
（i）證明：如圖1，鏈結，，由直稜柱的性質知，
底面側面.
又平面側面，且底面，
所以側面，為在側面內的射影，
在中， =1，
則由，得，
又故.由三垂線定理知
（ii）解：如圖2，鏈結，過作於，鏈結.
由（i）知側面，根據三垂線定理得
所以是二面角的平面角，即.
設.在中， 在故
又所以故當即當時，達到最小值，即，此時與重合.
解法2：（i）證明：建立如圖3所示的空間直角座標系，則由已知可得於是則
故（ii）解：設，
平面的乙個法向量為，
則由（i）得（0，4，）.
，於是由，可得
取 又由直三稜柱的性質可取側面的乙個法向量為，
於是由為銳角可得，
所以，由，得，即
故當，即點與點重合時，取得最小值
10. (2011 湖南理) 如圖1，在圓錐中，已知=，⊙的直徑,是的中點，為的中點．
（1）證明：平面平面;
（2）求二面角的余弦值.
答案：解法1：（1）如圖2，鏈結，因為，是的中點，所以.
又底面⊙， 底面⊙，所以，
因為，是平面內的兩條相交直線，所以平面，
而平面，所以平面平面.
（2）在平面中，過作於，由（1）知，平面平面.
所以平面，又平面，所以.
在平面中，過作於，鏈結，
則有平面，從而.
故為二面角的平面角.
在△中，
在△中，
在△中，
在△中，
所以故二面角的余弦值為
解法2：（1）如圖3所示，以為座標原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角座標系，則，
設是平面的乙個法向量，
則由，得
所以取得
設是平面pac的乙個法向量，
則由，得
所以得.
因為所以從而平面平面.
（2）因為軸平面，所以平面的乙個法向量為
由（1）知，平面pac的乙個法向量為.
設向量的夾角為，則
由圖3可知，二面角的平面角與相等，
所以二面角的余弦值為
11. (2011 江西文) 如圖1，在中， 為邊上一動點，交於點，現將沿翻折至，使平面平面.
（1）當稜錐的體積最大時，求pa的長；
（2）若點為的中點，為的中點，求證：.
答案：解：（1）令
因為，且平面平面，
故平面.
所以，令由，
.當單調遞增；
當單調遞減，
所以，當時，取得最大值，即當最大時，
（2）設為的中點，連線，則有∥，∥，且，
所以，又，
所以，故
12. (2011 江蘇理) 如下圖，在四稜錐中，平面pad⊥平面abcd，ab=ad，∠bad=60°，e、f分別是ap，ad的中點.
求證：（1）直線ef∥平面pcd；
（2）平面bef⊥平面pad.
答案：證明：如下圖.
（1）在△pad中，因為e，f分別為ap，ad的中點，所以ef//pd.
又因為ef平面pcd，pd平面pcd，所以直線ef//平面pcd.
（2）鏈結db，因為ab=ad，∠bad=60°，所以△abd為正三角形，因為f是ad的中點，所以bf⊥ad.因為平面pad⊥平面abcd，bf平面abcd，平面pad平面abcd=ad，所以bf⊥平面pad.又因為bf平面bef，所以平面bef⊥平面pad.
13. (2011 遼寧理) 如圖，四邊形為正方形，⊥平面，∥， ==.
（ⅰ）證明：平面⊥平面；
（ⅱ）求二面角的余弦值.
答案：解：如圖，以為座標原點，線段的長為單位長，射線為軸的正半軸建立空間直角座標系.
（i）依題意有（1，1，0），（0，0，1），（0，2，0）.則所以
即⊥，⊥.
故⊥平面.
又平面，所以平面⊥平面.
（ii）依題意有（1，0，1），
設是平面的法向量，則
因此可取
設是平面的法向量，則
可取所以
故二面角的余弦值為
14. (2011 江蘇文) 如下圖，在四稜錐中，平面pad⊥平面abcd，ab=ad，∠bad=60°，e、f分別是ap，ad的中點.
求證：（1）直線ef∥平面pcd；
（2）平面bef⊥平面pad.
答案：證明：如下圖.
（1）在△pad中，因為e，f分別為ap，ad的中點，所以ef//pd.
又因為ef平面pcd，pd平面pcd，所以直線ef//平面pcd.
（2）鏈結db，因為ab=ad，∠bad=60°，所以△abd為正三角形，因為f是ad的中點，所以bf⊥ad.因為平面pad⊥平面abcd，bf平面abcd，平面pad平面abcd=ad，所以bf⊥平面pad.又因為bf平面bef，所以平面bef⊥平面pad.
8 3空間點 直線 平面之間的位置關係
2 直線與直線的位置關係 1 位置關係的分類 2 異面直線所成的角 定義 設a，b是兩條異面直線，經過空間任一點o作直線a a，b b，把a 與b 所成的銳角 或直角 叫作異面直線a，b所成的角 或夾角 範圍 3 直線與平面的位置關係有平行 相交 在平面內三種情況 4 平面與平面的位置關係有平行 相...
點 直線 平面之間的位置關係知識點總結
一 線 面之間的平行 垂直關係的證明 書中所涉及的定理和性質可分為以下三類 1 平行關係與平行關係互推 2 垂直關係與垂直關係互推 3 平行關係與垂直關係互推。以線或面為元素，互推的本質是以某一元素為中介，通過另外兩元素與中介元素的垂直或平行關係，推導出該兩元素的關係，總共有21種情況，能得出結論的...
考點34空間點直線平面之間的位置關係
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