§6.3不等式的證明（一）
【一線名師精講】
基礎知識串講
證明不等式的基本方法如下：
1、 比較法
比較法包含作差比較法和作商比較法，又以作
差比較法最為常用。
1） 作差比較法：將a與b的大小轉化為判
斷他們的差與0的大小。
即： 證題要點：一般由作差、變形、判斷符號、得出結論等四步完成。其中變形最為關鍵，常用分解因式、配方等手法。
適用型別：多項式型的不等式或作差後易於判斷正負的不等式。
2） 作商比較法：將a與b的大小轉化為判
斷他們的商與1的大小。
即證題要點：一般由作商、變形、比較商與1的大小、得出結論等四步完成。應注意商是與1（而不是0）比較大小，同時應注意分母的正負。
適用型別：單項式型、指數型的不等式及其它適宜以商的形式轉化的不等式。
2、綜合法
綜合法是一種「由因導果」的常規解題方法。
用於證明不等式就是「由題設、公式、定理、公理等已知條件推出所證不等式」。
證題要點：注意觀察待證不等式與題設或其他已知不等式有無較為直接的聯絡，是否適合「正向」的推導。
適用型別：結構與有關定理、公式相似的不等式；易於由題設或其他已知向「目標」推導的不等式；一些由若干個不等式通過加、乘等運算形成的組合型不等式。
2、 分析法
分析法是一種「執果索因」的解題方法。用於
證明不等式就是從待證的不等式出發，去尋求它成立的充分條件，直至所尋求的充分條件顯然成立或可證明其成立。這樣，就間接的證明了原不等式。
證題要點：要注意避免將目標當成已知來用的邏輯性錯誤或書寫格式錯誤。必須保證每一步都是找的原不等式的充分條件。
適用型別：順向變形難但逆向變形易的不等式；已知條件少不易入手或已知難以使用的不等式；分式、根式型不等式。
基本題型指要
【例1】 已知：。
求證：.
思路導引：其多項式型的結構特點，可考慮作差比較法，而指數型的特點也可考慮作商比較法。
解析1：作差比較法：
解析2：作商比較法：
點評：具有多重特徵的不等式要抓住主要特徵選擇解法，但也可能具有多種解法。
【例2】 證明下列不等式：
（1）、
（2）、,
求證.(1)、思路導引：本題左邊可看成、
、三部分之和構成，屬於典型的「組合型」不等式，一般可考慮用綜合法分部分解決。
解析：因為，
(2) 思路導引： 本題為附加了條件的「條件不等式」，在證明時應注意使用附加條件。
解析：左端
【例3】
思路導引：易於看出，本題用比較法及綜合法均不好證明，但目標式較複雜，且易於變形，故用分析法轉為去尋求目標式的更簡便的充分條件。
證明：要證原式成立，
誤區警示：請看下面兩種書寫格式：
格式1:
格式2：
這是兩種在同學們中很常見的書寫格式，你對這兩種格式如何評價？
分析法是一種很優秀的解題方法，尤其在解答難題時作用更大。但在使用分析法解題時卻容易犯以下三種錯誤：
1、 書寫格式錯誤。如上面的格式1，錯把目
標式當作已知，邏輯完全混亂，根本就無法得分。格式2則連基本的連線文字都沒有，「一切盡在不言中」，誰知道他不言的到底是什麼？這樣的書寫格式在考試中其結果也是很糟的。
要解決書寫格式錯誤的問題，可在平時認真掌握1－2種好的格式。除例題的格式外，也可用進行闡述。
此外，用分析法找思路，用綜合法書寫也是一種簡便易行的好辦法。
2、 尋求的不是充分條件而是必要條件或其
它的錯誤條件。在用分析法解題時，應注意檢查所尋找的新目標是否為原目標的充分條件。
3、推導過程中說理不充分。比如：不寫出本例書寫過程中的（1）、（3）兩式。
【閱卷老師評題】
【例4】(2023年湖南高考)設則
以下不等式中不恆成立的是 （ ）
(a)(b)(c)(d)命題目的：考查不等式的基本性質、平均值不等式以及證明不等式的基本方法。
考情分析：本題雖本身不難，但由於採用了大家不太常用的敘述分式，仍造成了一些人的不適應，使之不能得分。
思路導引：首先應弄清楚「不恆成立」的命題就是假命題，也就意味著四個選項中有三個是正確的。因此，本題不太適合特例法，應以推證為主。
解析： 因為為正數，
所以,故ａ正確．
所以c正確．
因為所以,
即,所以，，
故d正確．
綜上所述，故選ｂ．
點評：做選擇題一定要注意選擇方法。
【例5】已知是實數，函式
當時，（ⅰ）證明：
（ⅱ）證明：當時，
（ⅲ）設當時，的最大值為2，求.
命題目的：本題綜合考查一次函式、二次函式、和絕對值不等式的相關知識，以及靈活運用數學知識和方法分析、解決問題的能力。
考情分析：本題屬於難度較大的綜合題。失分原因主要是綜合運用所學知識分析問題、解決問題的能力差距。
思路導引：（ⅰ）由易於得證.
（ⅱ）若注意到數形結合易知,要證,只需證明它的端點值均屬於即可.
（ⅲ）求的表示式實際就是求.由,接下來若發現再進一步推得的圖象對稱軸為,就能順利求解.
解析:（ⅰ）證明：由已知，當時，，取x=0得，即
（ⅱ）證明：①當時，已知在[-1，1]上是增函式，所以,故只需證明
②當時，在[-1，1]上是減函式，,證明即可.易知:
③時，綜上所述:
（ⅲ）因為時，在[-1，1]上是增函式，所以當x=1時取得最大值2。
即又因為當時，，即
根據二次函式的性質，直線x=0為的圖象的對稱軸，由此得
由（1）得
所以點評：在高考中，常常會遇到這種不等式的綜合型解答題，具有綜合性強、難度大的特點，解答時往往要綜合法與分析法結合，進行反覆的實驗探索。
【好題優化訓練】
基礎鞏固
1、 已知下列不等式，：
答案：c
解析：2、則實數_____.
答案：解析：
答案：解析：轉為比較的大小，再轉為比較它們平方的大小。
答案：解析：
5、__
答案：9
解析：因為
技能培訓
6、答案：c
解析：因為
7、若實數,
,則：（ ）
答案：b
解析：答案：b。
解析：9、有甲乙兩個工廠，同時在某地以同一**購買
鋼材，他們各採購兩次，每次**互不相同。若甲工廠每次採購1萬kg，乙工廠每次用1萬元購買，問哪家工廠購得的鋼材平均**較低？
答案：乙工廠。
解析：設他們兩次購得的鋼材**為,則他們購得鋼材的評價**分別為：
10、解析:因為,
11、函式
,求證：
證明：12、(2023年天津市高考試題) 已知，函式
。設，記曲線在點處的切線為。
（1）求的方程；
（2）設與軸交點為,證明：
（ⅰ）；
（ⅱ）若則。
答案：的方程為。
解析： (1)、解：求的導數：，
由此得切線的方程：
。(2)證明：依題意，切線方程中令y=0，1 .
② 思維拓展
13、已知,且對
.證明:函式在區間內是減函式,在區間上是增函式,若同屬於區間,則由應該有
,若同屬同樣有,
綜上所述，.
14、已知求證.
證法1:由已知，,
證法2:由已知，二次方程有實根所以.
不等式的證明 1
教學目的 掌握一種方法 比較法 作差法與0比較，作商法與1比較 重點難點 比較法的應用 教學過程 一 複習引入 1.判斷兩個實數大小的充要條件 對於任意兩個實數a b，在a b，a b，a b三種關係中有且僅有一種成立 判斷兩個實數大小的充要條件是 由此可見，要比較兩個實數的大小，只要考察它們的差的...
均值不等式與不等式的證明
一 已知不等式的關係，求目標式的取值範圍 例1 2010遼寧理14 已知的取值範圍變式1 已知且，求的範圍。變式2 2010江蘇12 設為實數，滿足則的最大值是二 利用均值不等式求函式的最值 利用均值不等式求最值要注意條件的驗證 例1 1 若，求函式的最小值 2 若，求函式的值域 變式1.1 求函式...
不等式的證明及著名不等式
1 基本不等式 1 定理 如果a，b r，那麼a2 b2 2ab，當且僅當a b時，等號成立 2 定理 基本不等式 如果a，b 0，那麼 當且僅當 時，等號成立 也可以表述為 兩個 的算術平均它們的幾何平均 3 利用基本不等式求最值 對兩個正實數x，y，如果它們的和s是定值，則當且僅當 時，它們的積...