例談不等式證明

不等式證明是不等式的重點和難點，其方法靈活多變，不拘一格，對學生的思維的靈活性和發散性幫助很大，下面我通過一道習題的講解，讓大家體會不等式證明方法的靈活與多變，啟發學生思維。

題目： 已知a，b∈r，且a+b=1. 求證：

分析一：作差比較法：作差比較的步驟：

①作差：對要比較大小的兩個數（或式）作差.

②變形：對差進行因式分解或配方成幾個數（或式）的完全平方和.

③判斷差的符號：結合變形的結果及題設條件判斷差的符號.

注意：若兩個正數作差比較有困難，可以通過它們的平方差來比較大小.

證法一：

即（當且僅當時，取等號）.

分析二：分析法是由結果出發，逐步尋求使上一步成立的充分條件，最後與已知、定理、恆成立的結論統一。

用分析**證「若a到b」這個命題的模式是：

欲證命題b為真，

只需證命題b1為真，

只需證命題b2為真，

……只需證命題a為真，

今已知a真，

故b必真．

證法二：（分析法）

點評：分析法是基本的數學方法，基本思想是」由果索引」，使用時，要保證「後一步」是「前一步」的充分條件.

分析三：綜合法是由已知出發，經過逐步推理，得到結論的方法。

分析四：放縮法是對原式進行適當的放大或縮小，進行證明的方法。

（放縮法）∵

∴左邊＝＝右邊.

點評：根據欲證不等式左邊是平方和及a+b=1這個特點，選用基本不等式.

另證：（放縮法）∵

點評：根據欲證不等式左邊是平方和及a+b=1這個特點，選用基本不等式

分析五：反證法

假設，則.

由a+b=1，得，於是有.

所以，這與矛盾.

所以.點評：反證法的優勢在於證明含有「至少乙個」「至多乙個」等正面不易證明的命題，本題的反證法並沒有多大優勢，但不失為一種證法。

分析六：（均值換元法）∵，

所以可設，，

∴左邊＝

＝右邊.

當且僅當t=0時，等號成立.

點評：形如a+b=1結構式的條件，一般可以採用均值換元.

分析七：構造法（利用一元二次方程根的判別式法）

設y=(a+2)2+(b+2)2，由a+b=1，有，

所以，因為，所以，即.

故.分析八：柯西不等式

有柯西不等式得：

分析九：構造法（構造二次函式）

設y=(a+2)2+(b+2)2，由a+b=1，有，

由二次函式的值域得：

分析十：三角換元法（構造三角公式，利用三角函式的有界性）

設：，因為所以：

分析十一：幾何法（構造點到直線的距離公式）

設直線l：

顯然：直線l過原點o(0,0),那麼，p(1,1)點到直線l的距離為

=如圖：

分析十二：幾何法（直線外一點到直線上所有點的距離中，垂線段最短）

設x=a+2,y=b+2,則x+y=5

設p（x，y）為直線x+y=5上任意一點，d為原點o到直線x+y=5的距離。

則d=因為

分析十三：向量法（兩個向量的模之積不小於其數量積）

所謂處處留心皆學問，希望大家從此題的證法中領悟證明不等式的思維方法，從中得到啟迪。

例談不等式證明的一題多解

從一道不等式的證明談一題多解 例談已知a 0,b 0且a b 1求證 a b 山東省萊蕪市第一中學劉志 這是一道常見的題目，證明方法很多，這裡結合具體證明方法談談一題多解及該不等式的推廣。證法一 得 又所以 之所以要把拆成是因為當我們把 a b 展開成後，加起來大於或等於 達不到要求的.進一步分心這...

例說不等式的證明

湖北省郭松 不等式的證明方法眾多，使許多同學感到無所適從，以下筆者通過一常見例題加以剖析 例 已知 1 x，yr 求證x y4 解 分析1 已知條件是分式，求證的是整式。通過結構分析可得以下方法方法1 x y x y 2 4評注 通過結構分析可能得x y x y 2 證明錯誤的原因在於等號不能同時成...

例說建構函式證明不等式

作者 劉清國 構造法是數學解題過程中常用的方法,它以其特有的技巧 技法,使人感到趣味盎然,並深受啟發.本文略舉幾例在證明不等式方面的應用以供讀者參考.例1 設a 1,a 2,b 1,b 2 r,求證 a2 1 a2 2 b2 1 b2 2 a 1b 1 a 2b 2 2.分析 本題若用作差法則比較麻...