２０１』年第 １期
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衛福山（上海市松江二中）
蠹蕞菱囊
摘要：從乙個不等式的簡單初等證明出發，並對幾種不同的初等證明方法加以比較分析，通過若干例項廈一些類似不等式，指出這些相似不等式的證明方法上的相似性，便於高中學
３ｘｙｚ＋２
令 ＝≤０，③
整理得（）：＋等｝ 一２、／丁
生特剮是參加競賽的學生學習與掌握．
關鍵詞：不等式；簡單初等證明；比較分析；相似不等式
對如ｆ的乙個不等式：
，由於 ≤｛半）＝，
於是拒（ｏ，孚ｌ，
從而不等式③即：￡＋
ｌ：一２、／丁｛≤０，④
已知 ，ｙ，∈且 ＋ｙ＋ｚ：ｌ，則《｝一）（一ｙ）
（｝一。）≥（爭ｊ３１①
文［１］利用高等數學的方法進行了證明，文用初等方法進行了證明，本文擬給出以上不等式的另一種初等證明，同時將對此不等式的幾種不同證法加以比較分析．
一而 ＋等ｔ２＿２ｌ等
、不等式的另一種初等證明
；一上顯然單調遞增，
從而等≤ｆ孚）。＋等丁ｖ３－一２＿ｏ，
注：以上證明中主要用到如下的三元不等式及三元代數恒等式：
即證一ｌ－ｚ２）≥（８
分解因式，結合 ＋ｙ＋ｚ＝１，
證明：將不等式①左邊通分，並將分母乘到不等式的右邊，說明不等式④，繼而不等式③、②也成立，於是所證不等式①成立．
，不等式：設８，ｂ，￡∈ ，則
即證爭）≥（爭）３（ａｂ＋舂￡＋ｃａ）．
ｘｙｚ』
由於一÷ｙｚ÷ｚ蘢一ｘｙｚ，
＝其變形
恒等式一
ａｂｃ．
即證一一ｘｙｚ）≥（丁８）
ｘｙ＇ｚ』
從中我們可以看出正確使用三元不等式，常可使得問題迎刃而鰓，
二、不同證陰方法的比較分析
也即證（ｘｙ＋ｙｚ＋就描）≥ （ｘｙｚ）＋
由於結合文獻［１］～［４］及本文給出的證明，不等式①目前為止有
五種證明方法，下面筆者將通過比較分析這五種證明方法，並
指出各自的特點及適用範圍。文［１］是利用高等數學微積分中偏導數的相關理論求不等式①左邊的最小值，這對中學數學教師及學生還是有一定困難的；文［２］給出了兩種初等證法，一種是
從兩一ｘ）￣，欲證不等式⑦，即證：
牧稿日期
作者簡介：衛福山（１９８０一），男，安徽壽縣人，中學一級教師，碩士，主要從事中學數學教學與解題研究３７塑
利用換元法，特別地，對於條件「＋ｙ＋ｚ＝１」作代換「＝
＿一＋—上，＿
ｚ＋ｘ＋蘭
＋ｙ＝± ±墨 ＋± ±蘭 ＋± ±一３
ｙ＋ｚｚ＋
ｘ÷ｙｔ
＿｛ｌ一，ｙ＝— 一，＝— 一」對處理一些整式分式口十０十ｃ口十ｄ十ｃ口十０＋ｃ
ｙ＋ｚ轉化問題中經常用到，另一種是採用調整法，其實質是通過不
ｚ）（擊＋＋）一ｓ
＝妨假定的序，將多元代數式的最值問題轉化為單元代數式的最值問題；文［３］是多次使用三元基本不等式，但其前提是對不等式①左邊的變形處理；文［４］仍然是使用三元基本不等式，只不
］（擊＋＋擊）一３
—≥ ９
３＝孚．
過對不等式①左邊的變形處理與文［３］不同，總體來說技巧較大，學生難以想到；本文的證明是在充分注意到含有三個正數
從而原不等式得證．三、一些類似的不等式
的代數式「ａｂｃ，曲等之間聯個變元）加以證明．文［２］及本文的證法在處理含有三個正數的對稱不等式的證明中經常用到，下面再舉幾個例子．
例１（第２０屆伊朗數學奧林匹克競賽試題）設。，６，ｃ∈ ，證
一我們可以找到很多類似的不等式，它們有完全類似的證明問題１（文［５］）：已知 ，ｙ，ｚ是求
系的基礎之上，將原不等式①的證明轉化為解不等式（含有一方法，現列舉部分供讀者研究．
（一）（一ｙ）（一ｚ）≥（芋
提示：可以利用函式的凸凹性及構造解不等式加以證明等．問題２：
６』ｃ＞０，且＋ｃ則
＋且求證：口＋ｂ＋ｃ≤３．
分析：聯絡已知與求證及三元基本不等式，把條件中均轉化為含有ｎ＋ｂ＋ｃ的形式，但＋ｂ＋ｃ≥旦，
ｊａｂ≤（旦、ｊ，
３顯然方向不一致，如何變形
、／｝一＋、／一ｃ≥２、／．
問題２是宋慶老師在文［６］提出的乙個猜想，實際上在不等
使得使用不等式後方向一致是解決此題的關鍵．
證明：將已知等式變形為（。＋６＋ｃ）一即（口＋ｂ＋ｃ）一（２一日）（２一ｂ）（２一ｃ）一由已知易得
式①的基礎上結合三元基本不等式以上結論顯然成立，即
＿ｂ＋於是（２一。）（２—６）（２一ｃ）≤ｆ魚＿（３⑥
≥ｓ（一ｎ）（｝一）（一ｃ）
≥３（＝２，
顯然問題２比不等式①要弱，當然讀者可以研究問題２的其他證法．
』令 ＝。＋ｂ＋ｃ，結合⑤⑥得一（２一手）一＋４≤０，
變形得（＋６）（一３）≤０，注意到 ＞０，故 ≤３，即０＋６＋ｃ≤３．
注：通過合適的變形將已知等式轉化為只含有ｔ７，＋ｂ＋ｃ的不等式，通過解不等式得出結論．
例２已知。，ｂ，ｃ是正數，且ｔｔ丁
１，問題３：設。，ｂ，ｃ＞０，且ⅱ＋ｂ＋ｃ：１，求證：ｆ、ｎ＋０１／
（｝＋＋ｃ）≥．
問題３即２００８年南京大學自主招生試題，可以利用函式的
求證：。＋ｂ＋ｃ≥手．
分析：已知條件「丁
凸凹性及均值不等式等加以證明．
丁參考文獻：
１十ｒ上ｌ十丁ｃ１十ｃ＿１」，可作分式
０［１］楊先義．乙個不等式的推廣［ｊ］．數學通訊
２９．代換擊
設＿ｉ＝—ｌ一 ＿ｉ
，擊，—』—丁＝—ｌｉ＿一一 ＿
，擊，÷』＿ｉ百
十［２］梁麗平，安振平．乙個代數不等式的兩種初等證法［ｊ］．
中學數學研究
［３］馬占山，薛衛華．乙個不等式的簡單初等證明［ｊ］．數
學通訊，２０１０（５下半月）：３３．
證明：由於擊ｊ＋＋ｂ＋擊ｃｊ＋ｊ＋１，
＝—ｌ一一ｘ＋ｙ＋，』，十ｙ
其中 ，ｙ，＞０，則０＝
ｙ十三，ｂ＝上，ｃ＝上
［４］李歆．也談乙個不等式的簡單初等證明［ｊ１．數學通訊，
２０１０（９下半月）：２９．
於是即證 ＿＋上
ｙ＋ｚ＋
＋ｒ＿≥妻，＋ｙｚ
［５］安振平．高中問題１７３及解答［ｊ］．中等數學，２００６（４）：
４８－４９．
以上不等式即１９６３年莫斯科數學奧林匹克試題，很多期刊與數學競賽資料上均有其證明，下面利用基本不等式給出其簡
單證明．
［６］宋慶．兩個優美的無理不等式［ｊ］．中學數學研究，３８
例談不等式證明
不等式證明是不等式的重點和難點，其方法靈活多變，不拘一格，對學生的思維的靈活性和發散性幫助很大，下面我通過一道習題的講解，讓大家體會不等式證明方法的靈活與多變，啟發學生思維。題目 已知a，b r，且a b 1.求證 分析一 作差比較法 作差比較的步驟 作差 對要比較大小的兩個數 或式 作差.變形 對...
不等式 用比較法證明不等式
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不等式的證明及著名不等式
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