各位老師：大家好！
今天我說課的課題是《不等式的證明》的第一課時，現在我就教材、教法、教學過程、作業布置等四個方面進行說明，懇請各位在座的各位老師批評指正.
一、 說教材
1． 教材的地位與作用
（1）本章教材的地位
本章是在初中介紹了不等式的概念，學習了一元一次不等式，一元一次不等式組的解法，高一學習了一元二次不等式，簡單的分式不等式和含絕對值不等式的基礎上，研究不等式的性質不等式的證明和不等式的解法.
不等式與數、式、方程、函式、三角等內容有密切的聯絡. 討論方程或方程組的解的情況，研究函式的定義域、值域、單調性、最大值、最小值，討論線形規劃問題等，都要經常用到不等式的知識. 不等式在解決各類實際問題時也有廣泛的應用.
可見，不等式在中學數學中占有重要的地位，是進一步學習數學的基礎知識.
（2）本節教材的地位
《代數下冊》教學參考書明確指出：不等式的證明既是本章的重點，也是本章的難點. 為此安排5課時對不等式的證明進行**.
本小節教材通過七個例題，分別介紹了證明不等式最常用的方法——比較法、綜合法、分析法. 作為第一課時重點介紹比較法.
在證明不等式的各種方法中，比較法是最基本、最重要的方法. 比較法是利用不等式兩邊的差是正數或負數來證明不等式，因而其應用非常廣泛. 在這之前，比較兩個數或式子的大小，函式單調性證明中的作差比較等，都用過這種方法.
2．教學目標的確定
根據以上分析，我制定了本節課的教學目標：
（1） 知識目標：比較法證明不等式的原理，比較法證明不等式的一般
步驟，會用比較法證明簡單的不等式.
（2） 能力目標：培養學生觀察分析的能力、猜想證明的能力、邏輯思
維及推理的能力、，從而培養學生的創造能力. 同時注
意滲透轉化的數學思想.
（3） 德育目標：培養學生認真參與、積極交流的主體意識和樂於探索、
勇於創新的科學精神.
3、重點難點的確定及依據
由於這是不等式證明的第一課時，所以在教學過程中應注重基礎. 要求掌握求差比較和求商比較的兩種比較方法，尤其是求差比較，更是這節課的重中之重，它分四個步驟：作差、變形、判斷符號、結論.
用比較法證明不等式時，作差是依據，變形是手段，判斷符號才是目的. 變形的過程通常有配方、通分、因式分解等方法.
為此確定本節課的教學重點難點如下：
教學重點：用比較法證明不等式的原理思路及步驟
教學難點：證明過程中靈活的變形技巧和符號的準確判定.
二、 教學方法和手段
首先，對學生作一簡單的分析.
一位名師曾經說過：「不了解學生的教育，不是真正的教育. 」
從學生現有的知識體系來看，要搞好本節教學我認為：
有利因素：學生已經掌握了不等式的有關概念，同時初步具有一定的觀察能力和邏輯思維能力，這些將成為學生學習不等式證明的固定點，有利於同化新知識，因此學生已經具備了接受新知識的一定認識基礎.
不利因素：學生對等式比較熟悉，但對不等式容易搞錯方向，並且對不等式中合理地變形，準確地判斷符號還缺乏一定的技巧.
教給學生方法比教給學生知識更重要，本節課注重調動學生積極思考、主動探索，盡可能地增加學生參與教學活動的時間和空間，為激發學生的學習興趣，我採用如下的教學方法：
教學方法：引導發現法、探索討論法
（一）引導發現法
1.是符合辯證唯物主義觀培養學生認真參與、積極交流的主體意識和樂於探索、勇於創新的科學精神.
2.能充分調動學生的主動性和積極性.
（二）探索討論法
1.有利於學生對知識進行主動建構；
2.有利於突出重點、突破難點；
3.有利於調動學生的主動性和積極性，發揮其創造性.
教學手段：常規教學手段
根據本節課比較法證明不等式中要求學生重點掌握用比較法證明不等式的四個步驟，為便於學生思路清晰，解題規範，我並不使用電化教學的手段，而是採用常規的直接板書的教學手段，這有利於加深學生解題印象，突出重點，突破難點.
三、教學過程
1、 課題匯入
同學們，前面我們學習了實數的運算性質與大小順序之間的關係，在此基礎上，我們掌握了比較兩個實數大小的方法——差值比較法. 例如，要證明，只要證明；要證明，只要證明. 這種證明不等式的方法通常叫做比較法.
今天，我們來探索研究比較法證明不等式.
2、 講授新課
我們先來看下面的兩個例子：
例1：求證：x2 + 3 > 3x
證：∵(x2 + 3) 3x
= ∴x2 + 3 > 3x
（教師引導學生合理配方，是本題變形的關鍵）
例2：已知a, b, m都是正數，並且a < b，求證：
證：∵a,b,m都是正數，並且a∴b + m > 0 , b a > 0
∴ 即：
（在變形的過程中用到通分）
變式：若a > b，結果會怎樣？若沒有「a < b」這個條件應如何判斷？
[師生共析]比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法 . 比較法有差值比較法和商值比較法兩種. 差值比較法尤為重要，我們用到的最多，而且很有效.
差值比較法的基本思路
（1） 作差：作差的目的是根據實數的運算性質與大小順序之間的關係，將證明不等式，轉化為證明.
（2） 變形：變形的目的在於判斷差的符號，它與一般的化簡有所不同，其常用的變形目標是①差變形為常數，或者變形為乙個常數與幾個平方和的形式，再運用實數這一特徵判斷差的符號；②將差變為幾個因式的積的形式，這樣便可判斷複雜的差值符號問題，簡化為判斷若干個簡單的因式的符號問題，再運用實數的符號運算法則得出差的符號.
（3） 判斷符號：這一環節往往被一些學生「省略」，要知道這是差值比較法的關鍵環節.判斷變形後的差值符號，要做到判斷嚴謹，表達規範.
（4） 得出結論.
例3：已知a, b都是正數，並且a b，求證：
a5 + b5 > a2b3 + a3b2
證：(a5 + b5 ) (a2b3 + a3b2) = ( a5 a3b2) + (b5 a2b3 )
= a3 (a2 b2 ) b3 (a2 b2)
= (a2 b2 ) (a3 b3)
= (a + b)(a b)2(a2 + ab + b2)
∵a, b都是正數，∴a + b, a2 + ab + b2 > 0
又∵a b，
∴(a b)2 > 0 (a + b)(a b)2(a2 + ab + b2) > 0
即：a5 + b5 > a2b3 + a3b2
（在變形的過程中用到因式分解）
例4：甲乙兩人同時同地沿同一路線走到同一地點，甲有一半時間以速度m行走，另一半時間以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m n，問：甲乙兩人誰先到達指定地點？
解：設從出發地到指定地點的路程為s，甲、乙兩人走完全程所需時間分別是t1, t2，依題意有
可得：∴
∵s, m, n都是正數，且m n，∴t1 t2 < 0 即
t1 < t2
從而：甲先到到達指定地點.
變式：若m = n，結果會怎樣？
例5：已知均為正數，求證：.
分析：由於要比較的兩式呈冪的結構，故採用作商比較法.
令，當時，，由指數函式的性質，得；
當時，，由指數函式的性質，得；
當時，顯然
均為正數且有,始終滿足．
即故．[師生共析]商值比較法的基本思路
在不等式兩端均為正值時，還可以考慮商值比較法.
它的依據是：
它的基本思路是：
作商→將商變形→判斷商與1的大小→得出結論.
四、 作業布置
書本p16習題6.3 1、2、3
這幾個習題都需要用到比較法，而且涉及到變形過程中的配方、通分、因式分解等，具有一定的典型性，有助與當堂學習內容的鞏固與提高.
不等式的證明說課稿
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